中英高中數學教材二項式定理內容的比較研究及啟示

劉曉宇，郭 蕊

(長春師范大學，吉林 長春 130032)

二項式定理作為計數原理與計數公式的應用，是高中數學的重要內容。從新課程的三維目標來看，在知識與技能上，二項式定理與其他知識點相結合可以解決許多問題。人教版教材利用二項式定理計算集合子集的個數，Edexcel P2教材利用它估算高階數值，發揮二項式定理的價值迫在眉睫；在過程與方法上，二項式定理運用“歸納—猜想—證明”的思維模式，為培養學生的數學思維創造了契機；在情感態度與價值觀方面，二項式定理出自我國《詳解九章算法》中的“楊輝三角”，二項式定理的學習是高中數學教學中開展德育教育的有利途徑，實現二項式定理數學史在教學中的德育價值刻不容緩[1]。

本文將著眼于中英兩國教育在教材內容上的異同，選取二項式定理部分進行比較分析，以期對兩國材有更深的認識，并得出啟示。本文所選取的教材以中英兩國現試行版本為藍本，分別是《2019年新人教A版高中數學選擇性必修三》以及2018年由英國劍橋大學出版社出版的Edexcel P2。兩本教材在中英國家課程中占有重要地位，為本研究提供了有效的、可操作的材料[2]。

1 中英高中數學二項式定理的相關比較

1.1 教學要求比較

教育教學離不開課程標準的指導。選取我國《普通高中數學課程標準》和英國《2017年A-Level教學考試大綱》中的二項式定理部分教學要求進行比較，見表1。

表1 中英高中數學教學中二項式定理教學要求的比較

從整體上看，我國課程標準對二項式定理部分的要求分為三個目標維度，更加注重學生的全面發展，是深刻完整的；英國數學考試大綱只在二項式定理的知識與技能方面作出了相應要求，偏向于對學生智育的培養，是具體詳細的[3]。例如，在知識與技能方面，我國課程標準要求運用不同方法證明二項式定理，解決與二項式定理有關的簡單問題；在過程與方法方面，我國課程標準鼓勵學生通過學習二項式定理的證明過程感受從特殊到一般、從個別到整體的歸納思想，培養學生發現問題、分析問題和解決問題的數學思維能力；在情感態度與價值觀方面，我國課程標準通過對“楊輝三角”的學習感受中華數學史的博大精深，體會中國古代的數學文化，提高學生的數學學習興趣，培養學生的愛國情懷。而在英國數學考試大綱中，教學重點放在對二項展開式的運用及二項式系數的計算上，要求通過帕斯卡三角形探索二項展開式，靈活運用二項展開式的規律求單個系數，進而探索二項式定理的用途，包括估算高階數值、求表達式的近似值等。相比中國的課程標準，英國數學考試大綱中沒有提到二項式定理的證明方法，也沒有提到數學教學的德育滲透，不夠全面和深刻。

1.2 內容分布設置比較

從內容選取來看，中英兩國對二項式定理的證明都運用了數學歸納法，先給出式子(a+b)3、(a+b)4及(a+b)5，由特殊到一般，歸納總結二項展開式指數和系數的規律，然后對其內容拓展練習。但在探究(a+b)n展開式的證明過程中，兩本教材采用了不同的數學史知識。人教版教材選取了我國南宋數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中給出的數字三角形陣——“楊輝三角”；而英國教材中則引用了法國數學家帕斯卡的“帕斯卡三角形”。兩者在內容上如出一轍，但究竟是誰首先發現了二項展開式系數的規律？對于這一爭論，中國學者作出考證，“楊輝三角”最早出現于《釋鎖》一書，可推斷我國數學家發現此表不晚于11世紀；而帕斯卡的算術書出版于1527年，“楊輝三角”的發現比歐洲要早500年左右。二項式定理的發展之路詳見表2。“楊輝三角”是中國數學史上的一個偉大成就，中國教材將數學知識與數學歷史相結合，使學生感受到了數學史強大的文化魅力[4]。

表2 二項式定理的發展歷程

在內容編排順序上，兩國教材前后章節的連接有所不同。從整個章節來看，人教版教材將二項式定理作為第六章計數原理中的一節，前后貫穿排列組合與隨機分布，優勢是便于運用組合總結二項式定理的一般式，但缺點是本小節內容缺乏存在感，學生容易忽視二項式定理的深入學習；而在Edexcel P2教材中，二項式定理作為獨立的章節供學生學習，這樣可以加深學生對二項式定理的重視程度，有利于深入探索和學習。從章節內部來看，人教版分為二項式定理、二項式系數的性質和“楊輝三角”的性質與應用三個部分；Edexcel P2則分為五個小節，分別是帕斯卡三角形、階乘符號、二項式定理展開式、解二項式定理問題、利用二項式定理估值。可見，人教版對二項式定理的研究更廣泛，Edexcel P2教材對二項式定理的研究更深入。

1.3 教材編排方式比較

中英兩國教材在編排方式上有所不同。人教版教材主要采用螺旋式排列，以引導探究式教學為主，教材設立了探究模塊，先總結常見冪級數二項展開式的規律，隨后引導學生用所學的計數原理寫出其展開式，由簡到繁層層深入。這種方法有益于學生具備邏輯思維，逐步獲取知識經驗；但缺點是重復過多，浪費時間。英國Edexcel P2教材則大多采用直線式排列，以目標接受式教學為主，開篇交代本章的學習目標，進入課程后將帕斯卡三角形呈現給學生，學生將知識點加以內化。結尾給出要點總結，包括帕斯卡三角形規律、二項式系數的性質、排列、組合、二項展開式、第n項的一般式和估值七個部分。教科書的很多知識點都是通過學生自行探究、動手交流實現的。優點是它可以避免不必要的重復，易于鞏固所學的知識；但這種方式適合思維能力較強的學生，不利于激發學生學習數學的興趣。

1.4 教材例題習題比較

對于二項式定理例題和習題，兩教材都是先舉出例題解析，每小節末尾搭配對應的練習，章節最后給出習題，由淺到深，由易到難，層層遞進，但題量和題型難度略有不同[5]。

從題量來看，兩本教材的習題數量差異較大。人教版教材的題量少，習題具有代表性；而英國教材題量大，詳細具體。如中國《選擇性必修三》中有28道習題；英國Edexcel P2中有94道習題。從細節來看，英國教科書多數習題設置在課時訓練中，中國教科書的習題大多設置在章節復習中。中國教科書中習題的分布為3道例題、9道課時練習、16道章節復習；英國教科書的習題包括9道例題、66道課時練習、28道章節復習。

中英高中數學教學中二項式定理例題的比較見表3。從題型來看，中英兩國教材都提到求正整數冪的展開式，如中國教材要求求奇數項和偶數項的二次項系數的和，英國教材要求列出展開式的前幾項，都是二項式定理展開式的應用。不同點是中國教科書的習題在英國教科書中都能找到，但是英國教科書中的一些習題在中國教科書中沒有體現[6]。比如，英國教材利用近似函數估算高階數值、求取高階多項式乘積的展開式、計算概率的近似表達式等，中國教材的這些內容被安排在大學階段的數學分析中進行學習，在高中教材中沒有提及。可以看出英國教科書比較注重二項式定理的深入學習，除了要求利用二項式定理解決生活中的實際問題外，還附帶高階數值等更高層級的知識點。

表3 中英高中數學教學中二項式定理典型例題的比較

2 中英兩國高中數學二項式定理內容比較研究的啟示

2.1 在教材要求的設置上，教科書需要注意知識的整合性

中國課程標準對二項式定理部分的要求貫穿知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三個維度，比較全面；英國考試大綱雖然只在知識與技能上作出了相應要求，卻比較注重知識的整合性，包括第一課時中二項式定理與多項式和多項式乘積的整合，第三課時中二項式定理與估值的整合，以及章節練習中二項展開式與概率的整合等。二項式定理是解決數學問題的有力工具，如何將新舊知識有效地結合起來值得我們思考，如何發揮教科書知識間的整合性值得深入研究。

2.2 在內容分布的設置上，教科書要處理好數學史的培養教育問題

英國教科書不惜篇幅地講解帕斯卡三角形，強調帕斯卡三角形在歐洲數學史上的教學地位[7]，但事實上，“楊輝三角”的發現比歐洲要早500年左右，是中國數學史的文化瑰寶。我國教科書對“楊輝三角”的相關數學史內容并不是沒有考慮，只是全都設計在數學探究中，將“楊輝三角”的性質與應用以研究報告的形式進行展示，與教科書正文內容的聯系不夠密切。很多學校的教師沒有為學生開設相關專題講座，其原因主要是高考不涉及這些內容，很多一線高中教師對數學史的重視程度不夠。中國數學史是我國優秀傳統文化的一部分，是需要我們學習并傳承的。在教學中，可以指導學生通過對“楊輝三角”的學習，感受中華文化的博大精深，將智育與德育相結合，培養學生的愛國情懷。

2.3 在編排方式的設置上，教科書應注重培養學生的“四基”及核心素養

新課標下的“四基”是指培養學生的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗。英國教科書總體遵循直線順序編排幾何知識內容，但也存在小螺旋編排結構。比如，“引言”交代學習目標，“結語”總結教學任務。我國高中數學課程采用以呈螺旋式上升方式編寫的教科書，比如采用設問的方法計算常見冪級數的二項展開式等。兩種編寫方式各有所長。教科書可以將探究式學習與目標總結式教學聯系起來，這樣既可以引導學生自主探究學習，又可以使學生明確自己的學習任務。在強調知識點的同時，潛移默化地指導學生學會自我探究、歸納總結。

2.4 在例題習題的設置上，教科書要注意學生認知發展規律

英國教科書將二項式定理與估值、概率相結合，設置了一些具有創新性、挑戰性、綜合性的題目。中國教科書不涉及估值的學習，所以習題的難度相對簡單，題型的選擇相對統一。例題習題的設置要遵循學生認知發展規律，由簡到繁，由易到難。中學生對客觀世界的認識具有循序發展的規律，即由感知、理解、識理、會通到靈活運用。例題習題的設置要根據難易程度合理安排，不同類型的題量設置也要不同，因材施教才能做到靈活貫通。另外，題型的選取不能過于單調，要注重熟能生巧，培養學生的數學思維，提升其數學學習能力。

3 結語

本文對我國新人教A版高中數學選擇性必修三和英國的Edexcel P2兩本教材中的二項式定理進行比較研究。中外教材各有所長，我們不能一味地肯定國外教材的優點，空泛地學習他國文化[8]。應在對本國教材認同的基礎上對國外教材進行研究，取其精華，棄其糟粕，逐步完善我國高中數學教科書的編寫。