4-維冪零李代數的Hom-Lie代數結構

林麗芳，曾月迪，陳梅香

(莆田學院數學與金融學院，福建 莆田 351100)

0 引言

在研究向量場上Witt代數和Virasoro代數的量子形變時，Hom-Lie代數的結構得到了學者的關注與研究[1].Hom-Lie代數作為李理論的一個重要研究方向，與李代數有著十分密切的關系.近年來一些特殊李代數上的Hom-結構得到了充分研究，比如一個5-維可解李代數[2]、(n-3)-filiform李代數[3]、扭Heisenberg李代數[4]、李代數W(2,2)[5].作為一類重要的李代數，冪零李代數的結構和表示在李理論的研究中占有重要地位.GRAAF[6]通過確定基元的方法給出了低維冪零李代數的分類.本文根據低維冪零李代數在同構意義下的分類，確定了4-維冪零李代數的Hom-李代數結構.

1 預備知識

定義1[1]設L為域上的向量空間，帶有線性映射α:L→L，L上定義一個乘法運算[-,-]:L×L→L(稱為方括號)，如果滿足以下條件：

(i)α[x,y]=[α(x),α(y)], ?x,y∈L；

(ii)[λ1x1+λ2x2,y]=λ1[x1,y]+λ2[x2,y], ?λ1,λ2∈, ?x1,x2,y∈L；

(iii)[x,y]=-[y,x],?x,y∈L；

(iv)Hom-Jacobi等式：

[(α+Id)(x),[y,z]]+[(α+Id)(y),[z,x]]+[(α+Id)(z),[x,y]]=0, ?x,y,z∈L，

則稱(L,[-,-],α)為域上的一個Hom-Lie代數，當α=Id時，Hom-Lie代數就為Lie代數.

GRAAF[6]對低維冪零李代數的結構做出了如下分類：

引理[6]設L是特征為0的代數閉域上維數等于4的冪零李代數，e1,e2,e3,e4是L的一組基，則在同構的意義下，僅有如下三類(其中沒有寫出來的基元方括號運算為0)：

L4,1:[ei,ej]=0；L4,2:[e1,e2]=e3；L4,3:[e1,e2]=e3, [e1,e3]=e4.

下面研究4-維冪零李代數L4,1,L4,2,L4,3上的Hom-Lie代數結構，也就是確定其上的滿足Hom-Jacobi等式的自同態.

2 主要結論

定理1 對于任何一個雙線性同態映射α，(L4,1,α)均可構成一個Hom-Lie代數.

證明 因為L4,1是可交換李代數，基元上的方括號運算等于0，即[ei,ej]=0,i,j=1,2,3,4，所以對于任何一個雙線性同態映射α，α保持基元的方括號運算和Hom-Jacobi恒等式，也即(L4,1,α)構成一個Hom-Lie代數.

定理2 若(L4,2,α)是一個Hom-Lie代數，則Hom-同態α在L4,2的基元上的作用可表示為

其中，a11a24-a21a14=0，a12a24-a22a14=0，a31,a32,a41,a42,a34,a44為任意常數.

證明 假設Hom-同態α在L4,2的基元上的作用為

將α作用在[e1,e2]=e3上，可得[α(e1),α(e2)]=α(e3)，即

[a11e1+a21e2+a31e3+a41e4,a12e1+a22e2+a32e3+a42e4]=a13e1+a23e2+a33e3+a43e4.

根據L4,2的基元運算，比較兩邊系數有

a13=a23=a43=0，a33=a11a22-a21a12.

(1)

將α作用在[e1,e4]=0上，可得[α(e1),α(e4)]=0，比較兩邊系數有

a11a24-a21a14=0.

(2)

將α作用在[e2,e4]=0上，可得[α(e2),α(e4)]=0，比較兩邊系數有

a12a24-a22a14=0.

(3)

因為L4,2上的基元運算為[e1,e2]=e3，而e3與其他基元的方括號運算為0，所以α顯然滿足Hom-Jacobi等式：

[α(ei),[ej,ek]]+[α(ej),[ek,ei]]+[α(ek),[ei,ej]]=0, 1≤i,j,k≤4.

結合(1)(2)(3)式，即得Hom-同態α在L4,2的基元上的作用如定理2.

定理3 若(L4,3,α)是一個Hom-Lie代數，則Hom-同態α在L4,3的基元上的作用可表示為如下四種情況：

證明 假設Hom-同態α在L4,3的基元上的作用為

由于[e1,e2]=e3，[e1,e3]=e4，即方括號運算結果僅含有e3,e4，而α保持方括號運算，比較運算兩邊系數可知α(e3),α(e4)中含有e1,e2的系數都為0，即

b13=b23=b14=b24=0.

(4)

將α作用在[e1,e2]=e3上，可得[α(e1),α(e2)]=α(e3)，比較兩邊系數，并結合(4)有

b11b22-b21b12=b33，

(5)

b11b32-b31b12=b43.

(6)

將α作用在[e1,e3]=e4上，可得[α(e1),α(e3)]=α(e4)，比較兩邊系數并結合(4)有

b34=0，

(7)

b44=b11b33.

(8)

將α作用在[e2,e3]=0上，可得[α(e2),α(e3)]=0，比較兩邊系數并結合(4)有

b12b33=0.

(9)

因為L4,3上的基元運算為[e1,e2]=e3，[e1,e3]=e4，e4與其他基元的方括號運算為0，α(e3),α(e4)中e1的系數為0，所以α顯然滿足Hom-Jacobi等式：

由(9)可知，b12,b33的取值分為b12=0,b33≠0；b12≠0,b33=0；b12=0,b33=0三種情況.

當b12=0,b33=0時，式(5)(6)(8)可化為

b11b22=0,

(10)

b11b32=b43，

(11)

b44=0.

(12)

由(10)可知，b11的取值分為b11=0和b11≠0兩種情況.

當b11=0時，由(11)可知，b43=0，結合(4)(7)(12)，即得定理3中第三種情況.

當b11≠0時，由(10)可知，b22=0，結合(4)(7)(11)(12)，即得定理3中第四種情況.