基于區間算術的多項式函數值域的簡捷求法

呂 鑫，侯國亮

(長春師范大學數學學院，吉林 長春 130032)

1 問題的提出

“求函數值域”是一個古典的數學問題，在科學研究和工程計算中都有廣泛應用.迄今為止，經過一代又一代數學人的努力，所總結出的函數值域求法種類繁多、形式各異.但對于表達式復雜的函數，傳統的求法需要借助微積分、極值、利普希茨性質、函數的性態和曲線走勢等復雜深奧的高等數學知識才能完成，過程繁瑣耗時，還不易掌握以及廣泛應用和推廣.區間算術是一門用區間變量代替點變量進行運算的數學分支，其代數四則運算法則是實數四則運算的推廣，但運算結果是一個包含原問題精確解的區間集合，所以應用區間算術初等理論可以給出計算函數值域的簡單便捷、極易掌握的方法.

應用區間算術理論求解函數值域的思想只在一些經典文獻著作[1-3]中被提及過，沒有進行過全面系統的研究.又因為任意一個函數都可由多項式函數去進行逼近，所以本文主要研究多項式函數值域的簡捷求法.

2 準備知識

今記實數集R上所有區間構成的集合為I(R).進而，如果D為R的子集(即D?R)，則D上的所有區間所成之集合，可表示為

I(D){X∈I(R)|X?D}.

事實上，點區間就是實數.當然，為了區間運算的需要，任何實數在任何時候都可以看作一個點區間.

顯然，對稱區間X的中點mid(X)=0.

由定義2.2可知，如果參與運算的區間均為點區間(即實數)，上述定義的區間四則運算即為普通的實數四則運算.也就是說，區間四則運算是實數四則運算的推廣.

從集合論角度看，上述給出的區間四則運算法則有如下等價形式：

X⊙Y={x⊙y|?x∈X,?y∈Y}，

其中，⊙表示“+、-、·、/”四則運算符，且當⊙表示“/”時，要求0?Y.

由此可知，兩區間之間的代數四則運算本質是這兩個區間中的任意兩個元素均進行相應的實數四則運算. 本文形象地稱其為區間代數運算的遍歷性.

進而，如果X,Y均為對稱區間，那么X·Y也仍是對稱區間，且有

根據區間四則運算法則，結合實際情況，給出如下任意包含數零的區間X的正偶數次冪的定義.

其中，n=2k，k∈Z+.

下面首先給出區間代數四則運算遍歷性的優點.

x⊙y∈X⊙Y.

當⊙表示“/”時，要求0?Y.

定理2.1(區間運算的包含單調性)[1]已知任意的X1,X2,Y1,Y2∈I(R)，如果X1?X2，Y1?Y2，那么，

X1⊙Y1?X2⊙Y2.

當⊙表示“/”時，要求0?Y1，0?Y2.

定義2.7(實值函數的區間擴展) 設函數f:D?R→R，如果存在區間值映射

F：I(D)→I(R)，

對任意x∈X，X∈I(D)，有

F([x,x])=f(x)

成立，那么稱F為函數f的區間擴展.顯然，F(X),X∈I(D)是一個以區間X為變量而取值是區間的函數，則稱F(X)為區間值函數.

根據區間四則運算法則，容易看出實值函數f(x),x∈D的區間擴展F(X),X∈I(D)不是唯一的. 例如，若F是f的某一區間擴展，則

F1(X)=F(X)+X-X

是f的另一不同的區間擴展.

由上述定義易知，當區間變量X為點區間時，F即為f.

定義2.8 已知區間值函數F:I(D)→I(R).對于任意X,Y∈I(D)，如果

X?Y?F(X)?F(Y)，

那么稱區間值函數F具包含單調性.

定義2.9 表達式由有限多個區間變量的四則運算組合而成的函數稱為區間有理函數.

定理2.2[4]區間有理函數具包含單調性.

證明 反復應用定理2.1有限多次即可得證.

定理2.3(泰勒中值定理)[5]如果函數f(x),x∈D?R在x0的某個鄰域U(x0)內具有n+1階導數，那么對任意x∈U(x0)，有

(1)

式(1)稱為函數f在x0處按(x-x0)的冪展開的帶有拉格朗日型余項的n階泰勒公式.

推論2.1 設x0∈R，n次冪多項式函數pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0在x0處的泰勒公式為

其中，ai∈R，i=0,1,2,…,n.

證明 因為多項式函數pn(x)在任一實數x0處任意階可導，且當k≥n+1時，有

所以式(1)中的拉格朗日型余項Rn(x,ξ)≡0.

定義2.10[6]設n次冪多項式函數pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，ai∈R，i=0,1,2,…,n.表達式anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的等價形式

(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0

稱為pn(x)的秦九韶算法形式，即

pn(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.

定理2.4(多項式函數區間擴展的Lipschitz性質) 設區間值函數Pn(X),X∈I(D)是n次冪多項式函數pn(x),x∈D的區間擴展，則存在一常數k>0，有

wid(Pn(X))≤kwid(X)，?X∈I(D).

證明 根據區間有理函數的Lipschitz性質[1]和定義2.9即可得證.

3 主要工作

根據定義2.7、定義2.8、定義2.9和定理2.2，可得如下結論.

定理3.1 設區間有理函數Pn(X),X∈I(D)是n次冪多項式函數pn(x),x∈D的一區間擴展，那么，

pn(X)?Pn(X)，

其中，pn(X)表示多項式函數pn(x)在區間X∈I(D)上的值域.

由定理3.1表明，多項式函數pn(x)在區間X上的值域可借助Pn(X)求得.但這里還有一個問題，就是區間Pn(X)和pn(X)差別有多大.這個問題十分重要，自區間算術誕生以來一直是一個重要的研究方面. 因篇幅限制，本文不打算對此作深入討論，只介紹一些基本的計算方法，為讀者提供一定的解題思路，起到拋磚引玉的作用.

例3.1[5]計算3次冪多項式函數p3(x)=x3+3x2-9x+12在區間X0=[-4,-2]上的值域.

解 解法一(傳統求法)

然后確定p3(x)的單調區域：

判斷區間X0=[-4,-2]與各個單調區域的關系：

X0∩(-∞,-3]=[-4,-3]≠?，X0∩[-3,1]=[-3,-2]≠?，X0∩[1,+∞)=?，

因此，X0=[-4,-2]既不是p3(x)的單調遞增區域，也不是其單調遞減區域，而是既含有p3(x)單調遞增區域，也含有其單調遞減區域.

最后，根據p3(x)在R內的連續性可知其在X0=[-4,-2]上的值域等于其在區間[-4,-3]和[-3,-2]上的值域的并集，而p3(x)在[-4,-3]和[-3,-2]上的值域可分別根據單調性求出：

p3([-4,-3])=[32,39]，p3([-3,-2])=[34,39]，

所以，

p3(X0)=p3([-4,-3])∪p3([-3,-2])=[32,39].

解法二(自然區間擴展求法)

首先給出p3(x)的自然區間擴展:

P3-0(X)=X·X·X+3X·X-9X+12.

然后依據區間四則運算法則計算出區間值函數P3-0(X)在X0=[-4,-2]的函數值：

P3-0(X0)=[-4,-2]·[-4,-2]·[-4,-2]+3[-4,-2]·[-4,-2]-9[-4,-2]+12=[-22,88].

結果分析：雖然

P3-0(X0)=[-22,88]?[32,39]=p3(X0)，

但是

wid(P3-0(X0))=110?wid(p3(X0))=7，

所以，P3-0(X0)=[-22,88]是一個沒有實用價值的計算結果.

上述無用結果產生的原因是區間代數運算遍歷性造成的區間擴張不足.控制區間運算擴張最有效的措施之一是減少區間參與運算的次數.

解法三(秦九韶型區間擴展求法)

首先根據p3(x)的秦九韶算法形式p3(x)=((x+3)x-9)x+12寫出其又一區間擴展(本文稱其秦九韶型區間擴展)：

P3-1(X)=((X+3)·X-9)·X+12.

然后計算P3-1(X)在X0=[-4,-2]的函數值:

P3-1(X0)=(([-4,-2]+3)·[-4,-2]-9)·[-4,-2]+12=[22,64].

結果分析：雖然

wid(P3-1(X0))=42>wid(p3(X0))=7，

但與wid(P3-0(X0))=110相比，計算結果P3-1(X0)=[22,64]已有很大改進，這是一個好現象.

考慮到多項式函數的泰勒公式的特殊性和對稱區間運算的簡化性，又有如下方法.

解法四(泰勒公式型區間擴展求法)

p3(x)=(x+3)3-6(x+3)2+39.

然后基于上述泰勒公式寫出p3(x)的另一區間擴展(本文稱為泰勒公式型區間擴展)：

P3-2(X)=(X+3)3-6(X+3)2+39.

接著，結合性質2.1計算P3-2(X)在X0=[-4,-2]的函數值：

P3-2(X0)=[-1,1]-6[-1,1]+39=[32,46].

容易看出，該方法計算的結果較解法三又有很大改進.

除了減少區間參與運算的次數外，定義2.6給出的一類特殊區間正偶數次冪運算規則也是控制區間擴張的最有效措施之一.以下方法綜合了解法三和解法四，并運用定義2.6.

解法五(綜合求法)

首先給出p3(x)的又一區間擴展：

P3-3(X)=(X+3)2(X-3)+39.

然后，結合性質2.1和定義2.6計算P3-3(X)在X0=[-4,-2]的函數值：

P3-3(X0)=(X0+3)2(X0-3)+39=[0,1]·[-7,-5]+39=[-7,0]+39=[32,39]，

即有

P3-3(X0)=p3(X0).

結果分析：上述結果的出現并不是偶然現象，因為解法五的每一個步驟都是在最優的控制區間運算的擴張(即區間擴張).

4 結語

綜上所述，利用區間算術可以實現簡化多項式函數值域求法的目的，但由于區間運算具有區間擴張的不足，一般情況下要想一蹴而就給出函數值域有些不現實.但是，根據定理2.4，可以通過細分定義區間，計算多項式函數在各小區間上的值域來得到其在原來定義區間上的值域，但計算量會相應增大.下一步的研究是將本文提出的多項式函數值域新求法及其計算過程形成理論結果，并應用于更一般的函數類.