圓錐曲線焦點弦的特別結論及應用

四川宜賓市敘州區第二中學校（644600）嚴肅

（注：當雙曲線的焦點弦交于同支時也適合此公式；拋物線的焦點弦同樣適合，只是在拋物線中離心率取1即可，其證明同橢圓。）

點評：本題是直線與橢圓的綜合題，通過向量的關系求坐標。解法一，由橢圓的方程可得到B，F的坐標，求出直線BF的方程，與橢圓聯立求出A的坐標，進而求出向量，由題意得到結果。不難看出，這種傳統解法計算煩瑣，容易出錯。而解法二則直接通過公式，兩步得出結果，省去了繁雜的計算。

點評：本題主要考查橢圓的性質，涉及向量的坐標運算性質，考查學生的運算能力。解法一通過焦點三角形，利用橢圓的定義以及余弦定理，再利用向量坐標，計算煩瑣，容易出錯。而解法二巧妙，易得結果。

小結：這兩道題主要考查的是圓錐曲線焦點弦所在直線的傾斜角和離心率以及焦半徑之間的關系，運用上述結論1，省去了繁雜的計算。

（注：過焦點且垂直于焦點所在軸的焦點弦稱為通徑。橢圓和雙曲線的通徑長是，拋物線的通徑長是2p。雙曲線的焦點弦交于同支時也適合此公式，使用時為保證弦長為正數，加上絕對值即可；拋物線的焦點弦同樣適合，只是在拋物線中離心率取“1”即可，其證明同橢圓。）

［例3］已知橢圓C的焦點為F1(-1,0)，F2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點。若|AF2|=2|F2B|，|A B|=|BF1|，則C的方程為（）。

圖6

解法一：由已知可設|F2B|=n，則|AF2|=2n，|BF1|=|AB|=3n，由橢圓的定義有2a=|BF1|+|BF2|=4n，則|AF1|=2a-|AF2|=2n，在△AF1B中，由余弦定理，得

在△AF1F2中，由余弦定理得

點評：本題考查了直線和橢圓的基本性質以及橢圓的定義、橢圓的方程和余弦定理的應用，考查了學生的數學運算能力。解法一通過設|F2B|=n，利用橢圓的定義分別表示出|AF2|=2n，|B F1|=|AB|=3n，又在△AF1B與△AF1F2中利用余弦定理得出n的值，從而求出a的值，再利用b2=a2-c2，最后得到所求方程。整個過程計算量太大，對比解法二，利用焦點弦長公式，大大減少了運算量。顯然對于考生來說，運用解法二更好。

［例4］斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則||AB=___________。

解法一：∵拋物線的方程為y2=4x，∴拋物線的焦點F坐標為F(1,0)，

點評：本題主要考查拋物線的簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系的應用，考查學生的計算能力。解法一和解法二都是由題意求出直線的方程，聯立直線和拋物線方程，利用拋物線的性質轉化求解得出結果，而解法三則只用了一下弦長公式就一步到位，真正達到“小題小做”的目的。

［例5］已知拋物線C：y2=2px(p＞0,p≠4)，過點A(2,0)且斜率為k的直線與拋物線C相交于P，Q兩點。

（Ⅰ）設點B在x軸上，分別記直線PB，QB的斜率為k1，k2。若k1+k2=0，求點B的坐標；

（Ⅱ）過拋物線C的焦點F作直線PQ的平行線與拋物線C相交于M，N兩點，求的值。

解：（Ⅰ）略。

（Ⅱ）解法一：由題意y2=2px與y=k(x-2)，

聯立可得k2x2-(4k2+2p)x+4k2=0，即xQ+

如圖8 所示，不妨設∠MFA=θ，即有k=tanθ，因為PQ ∥MN，即∠PAP′=θ。

圖8

解法二：如圖8 所示，不妨設∠MFA=θ，即有k=tanθ因為PQ ∥MN，即∠PAP′=θ。

小結：這兩道題主要考查的是圓錐曲線焦點弦所在直線的傾斜角和焦點弦之間的關系，解這類題型的方法有多種，運用結論2，無疑省去了繁雜的計算，很容易就能得出結果。