基于核心素養的導學案設計研究
——以“線面垂直的判定”教學為例

廣東廣州市第八十六中學（510700）魏勇

《普通高中數學課程標準（2017 年版）》中提到，高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養。教師應將這項目標全面滲透到教學活動中，進而使學生的思維能力得到有效提升，使學生的潛力得到有效挖掘，使學生的發展需求得到滿足。

數學導學案是一種比較重要的學習方案，它能夠引導學生有針對性地學習，使學生的學習能力得到有效提升。對于學生的學習來說，導學案發揮著十分重要的作用，因此數學教師應該在導學案設計中有意識地落實核心素養。

下面以“線面垂直的判定”教學為例，談談如何將數學學科核心素養滲透到導學案設計中。

一、教學目標

1.利用直觀感知對直線與平面垂直的畫法形成正確的認識。

2.利用“直觀感知—動手操作—思辨論證”的認識方法對直線與平面垂直的定理進行判斷。

3.熟練掌握直線與平面垂直的判定方法。

4.能夠從實際生活中找出幾何圖形之間的聯系，提升邏輯思維能力和觀察能力。

二、教學過程

（一）發放導學案，引導學生預習

教師發放導學案，引導學生課前預習完成導學案并由小組合作檢驗，課堂上進行展示、質疑，教師進行點評。

附：導學案（局部）

一、學習目標（略）

二、重點與難點

重點：直線與平面垂直的定義；

難點：直線與平面垂直的判定定理的探究。

三、學習過程

（一）直線與平面垂直的定義

有關概念：直線l叫平面α的__________，平面α叫作直線l的__________。直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫作__________。

（二）直線與平面垂直的判定定理

（三）例題講解

［例1］如圖3 所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，點M是PD的中點。求 證：（1）BD⊥平面PAC；（2）AM⊥平面PDC。

圖3

總結：

（1）證明線面垂直轉化為證明_____________；

（2）證明異面直線垂直轉化為證明_____________。

［例2］如圖4 三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中點。

圖4

（1）求證：AC⊥平面VKB；

（2）求證：VB⊥AC。

思路：（1）

（二）創設情境，建構概念

知識點：直線與平面垂直的定義。

復習1：直線與平面有幾種位置關系？

生1：平行、相交、線在面內。

復習2：為什么沒有直線與平面垂直呢？

生2：垂直是相交的一種特殊情況。

引入課題：既然“垂直”那么重要，我們今天就來一起研究“直線與平面垂直”。

問題1：在陽光下對垂直插在地面上的旗桿AB及其在地面上的影子BC進行仔細的觀察，這時能夠觀察到隨著時間的變化，影子的位置也在不斷移動，而旗桿所在的直線AB與其影子所在的直線BC的夾角隨著時間的變化是不是也會產生變化？角度又是如何變化的？

生3：旗桿所在的直線AB與其影子所在的直線BC的夾角始終保持不變，都是直角。

問題2：旗桿AB和地面上任意一條不過旗桿底部B的直線m之間形成怎樣的位置關系？

生4：旗桿AB和地面上任意一條不過旗桿底部B的直線m都垂直。

問題3：通過旗桿AB和地面垂直、旗桿AB和地面上任意一條直線垂直關系的思考，哪位同學可以說出直線與平面垂直的定義？

生5：如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直。直線l叫作平面α的垂線，平面α叫作直線l的垂面。直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫作垂足。

（三）實驗探究，操作確認

實驗探究：準備三角形紙片，如圖5，在△ABC的頂點A將紙片翻過來折起來，折痕AD，然后將其放到桌面上（BD，DC和桌面接觸）。

圖5

問題4：折痕AD與桌面一定垂直嗎？

生6：不一定。

問題5：怎樣翻折才能使折痕AD與桌面垂直？

學生7：折痕AD⊥BC時，AD與桌面垂直。（如圖6和圖7）

圖6

圖7

問題6：由折痕AD⊥BC，翻折之后的垂直關系AD⊥CD，AD⊥BD發生變化嗎？由此你能得到什么結論？

生8：由折痕AD⊥BC可知，翻折之后AD⊥CD，AD⊥BD，由此可以得到直線AD與桌面是垂直關系。

問題7：哪位同學可以總結歸納直線與平面垂直的判定定理？

生9：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。

（四）數學引用，鞏固新知

［例1］如圖8，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，點M是PD的中點。求證：（1）BD⊥平面PAC；（2）AM⊥平面PDC。

圖8

思路：（1）要證BD⊥平面PAC，即證BD⊥AC（已知），BD⊥PA；

要證BD⊥PA，即證PA⊥面ABCD（已知）。

（2）要證AM⊥平面PDC，即證AM⊥PD，AM⊥CD；

要證AM⊥PD，即證PA=AD（已知）且PM=DM；

要證AM⊥CD，即證CD⊥面PAD。

總結：

（1）證明線面垂直轉化為證明線線垂直；

（2）證明異面直線垂直轉化為證明線面垂直。

設計意圖：理解直線與平面垂直的判定定理，掌握直線和平面垂直的本質，即直線和平面內的兩條相交直線都垂直，從而將線面垂直問題轉換為線線垂直問題。線線垂直可分為共面垂直和異面垂直，共面垂直屬于平面幾何問題，異面垂直可轉化為線面垂直。通過倒推的方式讓學生理解立體幾何證明的思維模式，培養學生的邏輯推理能力。

［例2］如圖9，三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中點。

圖9

（1）求證：AC⊥平面VKB；（2）求證：VB⊥AC。

思路：（1）要證AC⊥平面VKB，即證AC⊥VK，AC⊥BK；

要證AC⊥VK，即證VA=VC，AK=CK（已知）；

要證AC⊥BK，即證BA=BC，AK=CK（已知）。

（2）要證VB⊥AC，即證AC⊥平面VKB（已知）。

設計意圖：理解并掌握共面垂直的常見類型，矩形、正方形的鄰邊，菱形的對角線，等腰三角形的中線等；了解異面直線垂直的證明方法。

三、導學案設計反思

（一）導學案的學習目標需立足“四基”

提升學生的數學學科核心素養，要通過豐富學生的數學基本活動經驗，培養學生的數學基本思想、基本技能以及基本知識來實現。如果沒有“四基”，很難提升學生的數學學科核心素養。在設計導學案時，需要引導學生對數學基本知識形成全面的了解，能夠領悟其中蘊含的基本思想、基本技能等，只有這樣才能夠有效地提升學生的數學學科核心素養。引導學生根據直觀感知及已有經驗（兩條相交直線確定一個平面），進行合情推理，獲得直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。

（二）導學案需創設合適的情境

只有在合適的數學情境中，學生才能進行深度思考與交流，學生的數學學科核心素養才能得到提升。本文主要圍繞直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理來設計導學案。學生通過完成導學案能夠使自身的數學學科核心素養得到顯著提升。教師需要結合學生的實際需求，為學生創建良好的學習環境，引導學生合理利用數學語言和數學思想，解決數學學習中遇到的問題。只有創設合適的情境，學生才能夠將新舊知識聯系在一起，進而對新知識有更加全面的理解，同時激活已有經驗，建立新舊知識之間的聯系。有研究者認為，學生只有在具體的情境中完成知識的建構，才會認識到知識的價值，這是學科核心素養形成的前提。

（三）導學案應重視探究活動

要提升學生的數學學科核心素養，最重要的就是開展數學探究活動。本節課的導學案結合兩個探究活動展開設計。通過對地面和旗桿的位置關系進行觀察，進而總結出線面垂直的概念；通過對地面垂直和三角形折疊的折線之間的關系開展實驗，進一步總結出直線和平面垂直的判定定理。

教師要發揮主導作用，從任務確定到任務探究、任務分配、流程安排到活動組織、成果展示、結果評價等諸多環節，都要去設計和安排，保證探究活動的有效開展，減少探究的盲目性，避免課堂的無序性，準確把握學生探究學習的深度。

（四）導學案應著力引導學生思考

數學教學中，教師組織學生展開數學活動，能使學生的思維能力得到提升，使學生懂得運用數學思維解決實際問題。教師應該充分發揮學生的主體作用，采取多樣化的教學方式，促使學生更主動地學習。導學案的設計越貼近學生的思維，課堂就越能按照預設的主線前進。當然，有時也會遇到一些生成性問題，學生對某些例題可能會形成多種解題思路。學生學習過程中的生成性問題都是由學生原有經驗與新知識之間的沖突形成的，是非常寶貴的教學資源。閱讀自學、動手實踐、獨立思考、自主探究、合作交流、展示質疑等都是導學案的學習方式，教師應通過多種方式引導學生思考，以促進學生數學學科核心素養的發展。