高中數學“學科育人”的五個維度
——以“導數在函數單調性中的應用”教學為例

廣西南寧市第三中學（530021）王學建

教育部于2017 年8 月17 日發布的《中小學德育工作指南》，要求將育人目標細化落實到各學科課程的教學目標之中，滲透到教學全過程。數學學科具有高度抽象、邏輯嚴密、廣泛應用的顯著特點，對培養學生解決問題的態度、方法、能力有很大的幫助。數學教學有助于學生樹立勇于創新、求真求實的思想品質。數學教學在學科育人中發揮著重要的作用。本文以“導數在函數單調性中的應用”的教學為例，從知識、技能、活動、思想、生活五個維度闡述高中數學“學科育人”的實施途徑。

一、教學設計

（一）新課引入

師：在本章的前兩節中，大家學習了導數的概念和運算，知道了導數是關于瞬時變化率的數學表達，它定量地刻畫了函數的局部變化。大家能否利用導數更加精確地研究函數的性質呢？

師：觀察視頻中佩奇家汽車的燈光變化（如圖1），你有什么發現？

圖1

問題1：能不能從這個動畫中看出數學問題？試抽象出數學模型。

分析：汽車燈光的方向在汽車行進過程中發生變化，引導學生利用這一常見的生活現象抽象出數學問題，即將行進路線抽象為函數的圖像，將光線抽象為函數的切線，將山坡抽象為函數y=f(x)在某區間D上的圖像，將汽車抽象為圖像上一點，將汽車的燈光抽象的過這一點的切線（如圖2）。

圖2

問題2：當汽車在行進的過程中，燈光的變化對應的函數具有怎樣的性質？

引導學生利用圖表提取關鍵信息，將生活實際與數學問題對應，完成數學建模過程（如圖3）。

圖3

設計意圖：這節課的教學難點在于將導數與函數的單調性聯系起來，并抽象出兩者的關系。借助生活中常見的實例，引導學生抽象出數學知識，不僅能順利引出課題，激發學生的學習興趣，培養學生的“數學抽象”核心素養，還能滲透數學建模的基本思想，體現“生活育人”的重要作用。

（二）概念形成

問題3：導數與函數的單調性有什么聯系？

拖動點M，觀察點M在增區間和減區間上運動時切線斜率的變化情況（如圖4）。

圖4

引導學生得出以下結論。

函數f(x)的單調性與導函數f′(x)的正負之間具有如下關系：

在某個區間（a，b）上，如果f′(x)＞0，那么函數y=f(x)在區間（a，b）上單調遞增；

在某個區間（a，b）上，如果f′(x)＜0，那么函數y=f(x)在區間（a，b）上單調遞減。

設計意圖：引導學生從實際可操作的“形”出發，著眼于導數與函數單調性之間的聯系，歷經實際觀察、大膽猜想、細致歸納、嚴格證明等過程，體驗數學知識的產生、發展過程，提煉出一般性結論，從而使學生真正成為“育人”對象。

（三）概念深化

問題4：將生活實際抽象為一個數學問題是了解數學知識的常用方法。剛才通過觀察與分析，大家得出了結論。那么，這個結論是否具有一般性，如何探究結論是否正確？

分析：函數的單調性是“形”上的特性，要想驗證結論最直接的方法是另外找幾個函數來分析，更精確的方法是從“數”的角度，結合導數和函數單調性之間的聯系來推導。

活動一：請同學們研究學過的函數，然后與小組同學討論總結出導數與函數單調性之間的聯系，驗證前面的猜想，并填寫表1。

表1

啟示：從特殊到一般，再從一般到特殊，是認識事物的基本規律，也是重要的數學思想方法。

活動二：從導數和函數的單調性的定義出發，進行小組探究。

分析：函數y=f(x)在區間（a，b）上單調遞增，等價于?x1,x2∈(a,b),f(x)在x1與x2之間函數的平均變化率恒為正，即?x1,x2∈(a,b)，恒有該式的幾何意義是經過點A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))的割線AB的斜率。

因為f(x)在區間（a，b）上處處有導數，所以函數y=f(x)的圖像在區間（a，b）上處處有切線。?x1,x2∈(a,b)，不妨設x1＜x2，當x在區間(x1,x2)上從左端點x1變化到右端點x2時，函數圖像的切線也會隨著變化。從直觀上看，能找到一點T(x0,f(x0))，使函數y=f(x)的圖像在點T處的切線與直線AB平行。因此，存在x0∈(x1,x2)，使得從而函數y=f(x)在區間（a，b）上單調遞增。

問題5：如果在某個區間上恒有f′(x)=0，那么函數f(x)有什么特性？

分析：如果在某個區間I上恒有f′(x)=0，那么對于區間I上任意一點x0，函數y=f(x)的圖像在點(x0,f(x0))處的切線的斜率為0，從而函數圖像在該點處的切線平行于x軸，在(x0,f(x0))附近幾乎沒有升降。因為x0是區間I上任意一點，所以函數y=f(x)的圖像在任意一點(x0,f(x0))，x0∈I附近幾乎沒有升降，從而函數y=f(x)在區間I上為常數函數，即f(x)=c（c為常數）。

設計意圖：引導學生結合已學過的函數，驗證猜想的正確性，加深對結論內涵的理解。利用函數單調性的定義給出嚴格的證明，既體現了數形結合思想，又突出了數學學科的嚴謹性。在這個環節中，合作探究是重要的教學手段，契合“活動育人”的要求。

（四）應用探索

［例1］利用導數判斷下列函數的單調性。

（1）f(x)=x3+3x；

（2）f(x)=sinx-x,x∈(0,π)；

（3）f(x)=

（4）f(x)=ex-x。

活動：用幾何畫板畫出這四個函數的圖像，觀察、驗證得到的結論。

圖5

圖6

圖7

圖8

一般情況下，可以通過如下步驟判斷函數y=f(x)的單調性。

第一步，確定函數的定義域。

第二步，求出導數f′(x)的零點。

第三步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f′(x)在各區間上的正負，由此得出函數y=f(x)在定義域內的單調性。

［例2］已知導函數f′(x)的下列信息。

當1＜x＜4時，f′(x)＞0；

當x＜1或x＞4時，f′(x)＜0；

當x=1或x=4時，f′(x)=0。

試畫出函數f(x)圖像的大致形狀。

活動：在同一坐標系中同時畫出f(x)與f′(x)的圖像（如圖9），并進行比較。

圖9

設計意圖：例1 利用導數法判斷函數的單調性，并畫出圖像檢驗，規范了利用導數研究函數單調性的步驟。例2 結合圖像展現原函數與導函數的關系，體現出用導數法研究函數單調性的優越性。這兩個例題重點引導學生用導數法解決函數的單調性的問題，深化學生對結論的理解。

（五）歸納總結

問題6：通過本節課的學習，你有哪些感想？具體學到了什么？為什么有這樣的結論？應該如何應用這些結論？

教師小結：

1.本節課從曲線切線斜率與函數單調性的聯系入手，研究了導數與函數的單調性的關系。在某個區間（a，b）上，如果f′(x)＞0，那么函數y=f(x)在區間（a，b）上單調遞增；在某個區間（a，b）上，如果f′(x)＜0，那么函數y=f(x)在區間（a，b）上單調遞減。

2.可以通過導數f′(x)的正負判斷函數f(x)的單調性以及確定其單調區間。

3.通過由“形”到“數”、由“數”到“形”的數學建模過程，展現“數形結合”這一重要數學思想。

設計意圖：培養學生總結反思的良好習慣，升華本節課的教學內容；讓學生通過自我評價來獲得成就感，培養學習的興趣與信心。

二、教學評析

“育人”是教育的最終目標，是教師的職責，也是課堂教學的價值所在。本節課的各個環節充分凸顯了以提高學科核心素養為使命的育人取向。

（一）知識育人——傳授學科知識，使學生形成學科語言

學科教學最基本的任務是傳授學科知識，導數既是中學數學的重要知識，又是高等數學的基本概念，還是研究函數的重要工具，更是研究其他自然科學的法寶。

通過必修一的學習，學生了解了函數單調性的定義，能借助函數圖像和函數單調性的定義來研究函數的單調性，同時發現某些較復雜的函數難以從圖像和定義得到單調性。

本節課從生活實際出發，通過觀察發現函數的單調性與函數圖像的切線斜率有關，抽象出導數與函數的單調性有關。從生活實際問題中抽象出的“導數與函數的單調性有什么聯系？”解決了“為什么要學習本節內容”的問題，激發了學生求知的主動性和自覺性。

本節課基于導數的定義和幾何意義提出了新問題，以引導學生利用已掌握的知識來研究新的問題，并為后面教學函數的極值、最值做了鋪墊。教師的安排讓知識之間建立了聯系，讓學科知識有了前后依托，為學生形成學科語言提供了基礎條件。

（二）技能育人——使學生習得技能，發展能力

整個教學過程，基本遵循研究數學問題的一般思路：實際問題—抽象建模—實例驗證—證明結論—應用探索—回顧反思。通過本節課的學習，學生能了解研究的步驟和方法，明確解決一般新問題的思路，提升解決問題的能力。

解答例1 后，教師引導學生總結解題步驟，增強學生利用導數判斷函數y=f(x)的單調性的能力。例2 要求學生依據導函數f′(x)的正負信息分析原函數f(x)的圖像特征，并畫出圖像的大致形狀，這相當于讓學生從結論的反面入手研究問題，極大地提高了學生的解題技能。通過兩個例題，差異化設置問題，讓學生從多個角度理解導數與函數單調性的關系，使學生習得了技能，發展了能力。

（三）活動育人——開展實踐活動，讓學生體驗學習過程

本節課中教師充分考慮學生的最近發展區，從學生的認識能力出發，創設合適的教學情境，鼓勵學生積極參與課堂活動，讓學生在小組合作中動手操作、總結經驗、體會思想、體驗過程。

在“概念形成”環節，教師通過演示幾何畫板，從一個實例發現問題，并通過猜想得出結論。在“概念深化”環節，教師根據認知規律及數學研究的思路設計了兩個活動，以驗證這一結論。

活動一：請同學們研究學過的函數，然后與小組同學討論總結出導數與函數單調性之間的聯系，驗證前面的猜想，并填寫表1。這一活動引導學生經歷從特殊到一般的過程，符合學生的認識水平，強調合作學習，體現出一定的實踐性、探究性和綜合性。

活動二：從導數和函數單調性的定義出發研究導數與函數單調性之間的關系。這一活動以小組探究形式開展，致力于讓學生體會“勞動”才能出“碩果”，讓學生在與同伴的合作中懂得尊重別人和改變自己，實現“自我育人”。

（四）思想育人——重視思維培養，促進學生生命成長

本節課以實際情境引入，問題1 引導學生將生活實際問題抽象為數學問題的過程，體現了培養學生“數學建模”核心素養的數學課堂教學要求；利用圖表精煉問題中的核心要素，建立導數與函數單調性之間的聯系，體現了培養學生“數學抽象”核心素養的數學課堂教學要求。

在“概念深化”環節，問題4 強調由特例得出的結論不具有一般性，因此必須驗證結論是否普遍適用。設置的兩個活動，分別從“形”與“數”的角度深化問題研究，滲透數形結合思想，又從特殊化推演到一般性，契合數學學科嚴謹的特點，同時點明從特殊到一般，再從一般到特殊，既是認識事物的基本規律，又是重要的數學思想方法。

問題5 從概念的外延設問，如果不滿足結論的條件，又將如何？這種質疑精神也是數學思維的獨有特質。

例1 的4 個小題對應滿足條件的不同情形，是結論一般化的體現。答題后，再通過圖像驗證結論，進一步體現了數形結合思想；例2 要求結合性質畫出函數的大致圖像，是一個開放性問題，核心仍然體現了數形結合思想。

通過典型例題的教學，多角度、多層次進行思維訓練，學生在對比分析、歸納總結中，學習解題方法，領悟數學思想。

（五）生活育人——提煉生活經驗，引導學生解決實際問題

數學知識除了來源于數學本身的邏輯推理，還有很大一部分來源于人們生活經驗的積淀和提煉。教師通過教學，將數學知識、技能、思想轉化為學生的生活經驗，以達到引導學生解決實際問題的目的。

本節課的問題提出本身就是一個難點，學生難以將導數和函數的單調性這兩個抽象的概念聯系在一起。在新課引入環節，教師通過播放動畫片《小豬佩奇》的片段，引導學生觀察上下坡時汽車燈光的變化規律，既吸引了學生的注意力，又為實際問題的數學建模鋪設了道路，激發了學生的求知欲。

教師在教學中注意提煉生活經驗，在數學思想的指導下設計合理的活動，讓學生掌握數學知識和技能，提升核心素養，在面對生活難題時有膽量、有辦法，進而過上有意義、有品質的生活。這能實現數學學科育人的價值。