4-SPRR-SPR 并聯機構運動性能評價與尺寸優化

郭強，崔國華，魚海東，程禛溢

（201620 上海市 上海工程技術大學 機械與汽車工程學院）

0 引言

并聯機構的構型確定后，性能評價和尺度綜合是必須要解決的問題[1]。并聯機構的性能分析方法有很多，如靈巧度分析、剛度分析、運動/力傳遞性能分析等[2]。通過文獻[3]可知，當并聯機構既具有轉動又具有移動等4 個及以上自由度時，并聯機構的靈巧度性能指標將因為量綱不統一而失效。由于并聯機構在工作時需要提供比較大的推力，因此要求該機構具有較高的剛度和優秀的力傳遞性能。

本文擬采用運動/力傳遞性能指標[4]作為并聯機構的性能評價指標，對并聯機構進行尺度綜合。運動/力傳遞性能指標是計算機構的瞬時功率，這種概念最早由Ball[5]首次提出，但未對結果進行單位化，在此基礎上后經Liu 和Wang[4]的發展，建立了并聯機構分支的局部傳遞指標（Local transmission index，LTI）。該指標是無量綱指標，且與坐標系的建立沒有影響，是首個通過力傳遞性能對并聯機構進行評價的指標。

4-SPRR-SPR 并聯機構的構型最早由德國Metrom 公司提出，并研發了Pentapod PG 2000 切削機床[6]。Pentapod PG 2000 自設計出以來，取得了奪目的成就，但因其結構復雜，構型困難，國內外少有人對其進行研究。Pentapod PG 2000是一款適用于切削的機床，靈活度較大，但是存在剛度以及力傳遞性能不足的問題，不能應用于攪拌摩擦焊工況，所以需要對其進行尺寸優化。G.F.B?r[6]等介紹了該機床的構型基礎，推導了該機構運動學逆解和動平臺的速度，但是未考慮機構的伴隨運動；謝福貴[7]等以該機構為參考原型，衍生為2（UPRPU）S-UCR 構型，并命名為啄木鳥機構，并且對該衍生機構進行了運動學逆解推導，根據運動/力性能指標進行了機構尺寸優化。

本文以5 自由度4-SPRR-SPR 并聯機構為研究對象，將其用于汽車零部件攪拌摩擦焊接機器人的主進給機構，運用螺旋理論和運動/力性能評價指標對其進行性能評價和尺寸優化，優化后的機構不僅其優質工作空間GTW 明顯增大，出現0.9 的區域，而且全域傳遞指標GTI 也得到相應的提高。

1 并聯機構描述及坐標系建立

4-SPRR-SPR 并聯機構三維簡圖如圖1 所示，樣機如圖2 所示。該并聯機構由定平臺、動平臺、驅動桿和各種運動副構成，定平臺和動平臺通過第1 支鏈-SPR 支鏈和第2，3，4，5 支鏈-SPRR支鏈構成。第1 支鏈自上而下通過球副（S）、移動副（P）、轉動副（R）連接，第2—5 支鏈自上而下通過球副（S）、移動副（P）、2 個轉動副（R）連接。

圖1 4-SPRR-SPR 三維模型圖Fig.1 4-SPRR-SPR 3D model

如圖3 所示，建立的定坐標系O-XYZ 和動坐標系o'-x'y'z'。Ai為機架上第i 支鏈球副S 的圓心，以A1，A3連線的中點為原點，建立絕對坐標O-XYZ，OY 軸與水平面平行且指向A1，OZ 軸豎直向上。

圖2 4-SPRR-SPR 樣機Fig.2 4-SPRR-SPR prototype

圖3 4-SPRR-SPR 機構簡圖Fig.3 4-SPRR-SPR mechanism sketch

建立運動平臺坐標o'-x'y'z'。oy'軸與P1J1重合，o'z'與動平臺軸線重合。Ji為第i 支鏈上轉動副R1軸線中心點。P1與o'點重合，P2-P5為第2～5 支鏈轉動副R2軸線中心點，與P1距離分別為c2-c5。因此J1點相對動平臺固定,而J2-J5點可以繞o'z'軸以動平臺半徑r 轉動。

2 并聯機構的運動性能評價

2.1 運動/力傳遞性能介紹

并聯機構的運動/力傳指標包括輸入傳遞性能指標和輸出傳遞指標兩部分[8]。根據文獻[9]可知，非冗余并聯機構的LTI 計算公式為

式中：λi——第i 個支鏈的輸入傳遞性能指標；ηi——第i 個支鏈的輸出傳遞性能指標；$Ti——第i 個支鏈的傳遞力螺旋；$Ii——第i 個支鏈的輸入力螺旋；$Oi——第i 個支鏈的輸出力螺旋

從式（1）可得，機構輸入/輸出傳遞性能指標取值范圍為λi，ηi∈（0，1]，兩種指標的值越大，表示機構的力傳遞性能越好，值越小表示機構力傳遞性能越差。當值接近于0 時，機構會發生輸入/輸出傳遞奇異。

機構的輸入、輸出傳遞性能指標能同時反應出機構瞬時的傳遞效率，任何一個性能指標的值過低，都會影響機構的傳遞性能。并且，每個分支中的輸入、輸出傳遞性能指標在不同位型下一般不同，因此，機構的最終傳遞效率由輸入、輸出傳遞性能指標值最低的分支決定，在文獻[10]中，定義了LTI 的計算公式：

式（2）中，γ的取值范圍為（0，1），且為一個無量綱常數，與坐標系無關，γ越大，表示該機構在該點的力傳遞性能越好，機構的傳遞效率越高。

文獻[11]中，通過傳遞角的概念，定義當γ≥0.7 時，表征該機構傳遞效率較高，這些位置點的合集定義為運動/力的優質工作點（GPW）。

2.2 運動/力傳遞性能分析

如圖3 所示，在文獻[12]中，作者已經分析得出該機構只存在一個約束力螺旋：

式（3）中，螺旋$c軸線過球副中心A1點且與支鏈1 中的轉動副R1軸線平行。

由于該并聯機構具有5 個主動的移動副，因此具有5 個輸入運動螺旋$I和5 個傳遞力螺旋$T，其中輸入運動螺旋為

接下來對4-SPRR-SPR 并聯機構的傳遞力螺旋$T進行求解。以第1 支鏈為例，當第1 支鏈的驅動副對應的螺旋$14被鎖定，可得此時第1 支鏈運動副旋系U1為

以第2 支鏈為例，當第2 支鏈的驅動副對應的螺旋$24被鎖定，可得此時第2 支鏈運動副旋系U2為

由于第3 支鏈、第4 支鏈、第5 支鏈構型與第2 支鏈構型相同，可得其余支鏈驅動副被鎖定后的新反螺旋為

通過上述步驟，可求出每條支鏈在局部坐標系下的力傳遞螺旋$Ti。傳遞力螺旋的大小會受坐標系的影響，但不會影響其軸線方向。為了將力螺旋坐標統一，因此需要將其從局部坐標統一轉化到固定坐標系O-XYZ，可得

設并聯機構的單位輸出運動螺旋為$oj=（LojMojNoj；PojQojRoj）（j=1，2，3，4，5），通 過文獻[13]可知，單位輸出運動螺旋$oj與傳遞力螺旋$Ti和約束力螺旋$c存在以下關系：

可采用文獻[14]提出的利用增廣矩陣的方法求解單位輸出運動螺旋$Oj，本文不再詳細描述。

綜上所述，并聯機構的輸入傳遞指標ILI 為

從式（12）可得，機構在任何位置時，λi恒 為1。即該機構輸入傳遞效率為100%。

并聯機構的的輸出傳遞指標OLI 為

綜上所述，并聯機構局部傳遞指標（LTI）為

3 并聯機構的尺寸優化與結果分析

3.1 并聯機構的尺寸優化

并聯機構的尺寸優化過程的第1 步是要確定該機構的主要參數。如圖1 所示機構的主要參數有：l1——機構的定平臺的長；l2——機構的定平臺的寬；r ——動平臺的半徑；h1——動平臺的高度；h2——支鏈3，4，5 與支鏈1，2 的高度；L——支鏈驅動桿長度。

在實際中，機構體積、奇異位置、加工成本等，機構桿件參數不可能為無限長度，因此需要根據實際條件對桿長參數進行約束，如式（15）所示：

根據已有的運動/力傳遞性能及文獻[15]，GTW 表示的是機構優質工作空間大小，機構的全域傳遞指標（GTI）如式（16）所示，描述的是機構在整體優質工作空間。

式中：V——機構的GTW 區域；Γ——無量綱常數，Γ∈（0.7，1.0）。Γ越大，表明機構在GTW范圍內運動/力傳遞性能越好。

因此，本文選定GTW 以及GTI 作為機構尺度的優化目標函數。

3.2 并聯機構的尺寸優化的結果分析

3.1 節已經定義了優化目標函數、約束條件以及優化算法。因為該并聯機構具有5 個自由度，因此，動平臺末端即使在相同位置，不同姿態下的機構GTW 以及GTI 也會不同，所以，優化目標函數通過搜尋可達空間下的GTW 以及GTI 的極值并不會找到不同工況下的尺寸最優值。因此，運用運動/力傳遞性能指標對于4，5，6 自由度的并聯機構進行尺度優化，需要以并聯機構的實際工況為基礎，具體工作方式具體分析。如圖4所示，本文以并聯機構焊接汽車輪轂鋁合金輪轂為例（β=70°，D=38 cm），進行尺度優化。設優化目標GTW ≥4 000（由加工工作空間決定）、GTI ≥0.78，進行多次遺傳算法求解最優尺寸，其12 組數據如表1 所示。

圖4 輪轂FSW 焊縫Fig.4 FSW weld of hub

表1 優化后機構參數Tab.1 Optimized mechanism parameters

由表1 可知，第8 組的并聯機構尺寸擁有較大工作空間以及較高的性能，因此，選定第8 組數據為樣機的最終尺寸。如圖5 所示，并將機構初始參數與優化后尺寸進行LTI 指標對比發現，不僅機構的優質工作空間GTW 明顯增大出現0.9 的區域，而且GTI 也得到相應的提高。

圖5 運動/力傳遞性能圖譜Fig.5 LTI map

4 結束語

對攪拌摩擦焊機器人主進給機構——4-SPRR-SPR 并聯機構進行運動性能評價與尺寸優化，得到如下結論：

（1）根據攪拌摩擦焊實際工況，確定4-SPRR-SPR 并聯機構的運動評價指標。

（2）得到了機構的輸入螺旋、輸出螺旋和傳遞力螺旋，然后將其從局部坐標系進行坐標統一，通過增廣矩陣法，得到機構的單位輸出運動螺旋。

（3）以焊接汽車鋁合金輪轂為實例，設定優化目標，并通過遺傳算法得到并聯機構的尺寸最優值，繪制LTI 性能圖譜，優化后的機構運動/力傳遞性能得到明顯提升。