關注思維過程 提升教學效能
——以“單項式的乘法”教學為例

盧德均

重慶市北碚區朝陽中學 400700

學習過程是知識的自主建構過程，在此過程中教師應以學生已有知識和經驗為出發點，借助最近發展區的認知引導學生經歷知識生成、發展的過程，從而通過適時地引導幫助學生完成知識的系統化建構.不過，在現實教學中，尤其在運算法則、概念、定理等內容的教學中，大多數教師常感覺這部分內容就是客觀事實，沒有經歷探究過程的必要，因此對運算法則、概念、定理等內容的教學常常以“灌輸和背誦”為主，很少關注其生成、發展的過程.久而久之，容易造成概念混淆，從而影響解題效果.筆者教學“單項式的乘法”時，以學生認知為出發點，借助情境創設、追問等教學活動引導學生經歷知識形成的過程，獲得了學生和同行的認可，現將教學過程分享給各位同人，供參考.

教學實錄

1.明晰研究問題

師：大家想一下，我們學校的操場是什么形狀的？

生齊聲答：長方形.

師：如果想要估算一下操場的面積，你們有什么好辦法呢？（學生開始積極交流）

生1：可以用步量法.

師：很好！有一次我用這種方法測量了一下，從南往北大約走了1200步，從西往東大約走了800步，假設我的步長為a（單位：m），你能用含字母a的代數式來表示操場的面積嗎？

生2：若以南北方向為長，東西方向為寬，則長為1200a（單位：m），寬為800a（單位：m），面積為1200a·800a（單位：m2）.

師：這個就是最終的答案嗎？是否需要計算一下呢？

生齊聲答：要.

師：這個能計算嗎？（學生沉思）

生3：可以計算，因為含字母a的代數式表示的是數，也就是說數的運算規律在代數式的運算中也是適用的，而數能計算，所以代數式也能計算.

師：很好，這就是我們今天要研究的主題——“單項式的乘法”.

設計意圖借助生活情境先是引導學生用字母表示數，繼而引發學生對運算進行思考，從而揭示課程主題.

2.探索單項式與單項式相乘

師：我們根據經驗知道單項式可以計算，但是該如何計算呢？

師：首先，我們從數中尋找一點靈感，請計算（3×102）×（2×103）（結果用科學計數法表示）.（筆者預留2分鐘讓學生獨立思考）

生4：結果為6×105.

師：你能寫出具體的運算過程嗎？（學生板書演示）

生4：（3×102）×（2×103）=（3×2）（102×103）=6×105.

師：你運算的依據是什么？

生4：乘法交換律和乘法結合律.

師：很好，大家認可生4的方法嗎？（學生點頭表示贊成）

師：現在思考一下，如何計算1200a·800a呢？

生5：1200a·800a=（1200×800）（a·a）=960000a2.

師：看來大家不僅熟練地掌握了乘法交換律和乘法結合律，而且已經將數的運算遷移到了單項式的運算中，非常棒.接下來，請大家計算（學生一時不知該如何入手）

師：是否可以轉化為同底數冪的乘法運算呢？（教師及時啟發）

師：好的，誰能總結一下運算過程呢？

生7：先將各單項式的系數相乘，接下來再進行同底數冪相乘.

生8：其余字母（如c）保持不變.（學生補充道）

師：接下來，請大家思考一下，下列各題該如何計算呢？

（1）3b3·

論證區水樣經云南地質工程勘察設計研究院測試研究所檢測，水中陰離子以重碳酸根HCO3-、硫酸根SO42-為主，陽離子以鈉(Na+)為主，pH值7～7.1地下水化學特征為HCO3-·SO42--Na+型。

（2）（-6ay3）·（-a2）；

（3）（-3x）3·（5x2y）；

（4）（2×102）×（6×104）×105（結果用科學計數法表示）.

筆者預留3分鐘讓學生獨立完成運算，接下來引導學生進行交流展示.

師：誰來說一說問題（1）是如何求解的.

生9：3b3·

師：說一說你的計算依據是什么.

生9：單項式與單項式相乘法則.

生10：問題（2）與剛剛探究的問題類似，結果為6a3y3.

師：好的，下一個.

生11：（-3x）3·（5x2y）=（-27x3）·（5x2y）=[（-27）×5]（x3·x2）·y=-135x5y.

師：在單項式與單項式相乘之前先是進行了乘方運算，將（-3x）3轉化為了-27x3，這樣就將原問題轉化為我們熟悉的問題了，非常好.

師：最后一個問題又是如何求解的呢？

生12：（2×102）×（6×104）×105=（2×6）×（102×104）×105=12×106×105=12×1011=1.2×1012.

師：你是分步應用單項式與單項式相乘法則進行運算的，那這樣求解可以嗎？（2×102）×（6×104）×105=（2×6×1）×（102×104×105）=12×1011=1.2×1012.

生齊聲答：可以.

師：觀察以上運算過程，你有什么收獲？

生13：由此可以看出，以上法則也可以應用于多個單項式相乘.

設計意圖先是借助學生熟悉的“數與數相乘”過渡到“單項式與單項式相乘”，借助問題（4）引發學生對多個單項式相乘的思考，這樣從學生的認知出發，通過循序漸進的引導，讓學生的思維盤旋上升，為接下來探究“單項式與多項式相乘”的運算法則奠定了堅實的基礎.

3.探究單項式與多項式相乘

師：剛剛我們已經熟練掌握了“單項式與單項式相乘”的運算法則，現在我們一起思考一下這個問題（用多媒體展示題目）：

問題：如圖1所示，請求出陰影部分的面積（用兩種方法解答）.（問題給出后，學生很快有了答案）

圖1

生14：方法1：a（b-2m）；方法2：ab-2am.

師：很好，方法1直接利用公式得到了陰影部分的面積；方法2通過大小面積相減得到了陰影部分的面積.由此你能寫出一個等式嗎？

生15：兩種解法所求的都是陰影部分的面積，根據面積相等可得a（b-2m）=ab-2am.

師：這個等式如何用運算律來解釋呢？

生16：可以用乘法分配律來解釋.

師：很好.由此可知，當我們在計算單項式與多項式相乘時可以應用乘法分配律，這樣可以將問題轉化為單項式與單項式相乘.想一想，計算-3b3·

設計意圖根據上面的經驗，筆者接下來帶領學生總結歸納出了單項式與多項式相乘的法則.整個過程中，筆者充分調動了學生的積極性，引導學生積極建構并及時進行總結歸納，有效鍛煉了學生數學應用能力，有助于學生數學素養的提升.

4.借助練習實現知識內化

雖然學生全程參與了運算法則的生成過程，但是在應用過程中還會遇到多種問題，因此借助練習實現知識的內化自然成了數學教學的重要一環.基于此，經歷了運算法則的探究后，筆者給出了如下題目讓學生進行強化訓練：

（1）2a2b·（3ab-4a3b）；

設計意圖從結果反饋來看，大多數學生都能順利完成運算，對于個別存在問題的學生，筆者給予了單獨的指導，繼而讓全員得到了有效的發展和提升.最后筆者又給出了一個思考題：計算這樣讓有余力的學生思考多項式與多項式相乘的過程，既為下節課的探究埋下了伏筆，又讓學優生能夠“跳一跳”，從而有效提升其學習能力.

教學反思

本節課為整式運算的繼續，雖然較之前所學難度有所提升，但是中學生已具備了一定的運算能力，因此在本節課的探究中，筆者“以生為主”，從實際問題出發，誘發學生對單項式的乘法進行思考，以此激發其思維活力.在探索乘法法則的過程中，筆者從學生熟悉的內容出發，通過循序漸進地引導，幫助學生總結歸納出了運算法則，接下來又借助一些具體練習進行了有效的強化訓練，進而完成知識的內化.以上研究方法符合學生的認知規律，具有普適性.同時，探究過程中蘊含著多種思想方法，如化歸思想、抽象思想、演繹思想等，這對發展學生的學習能力具有重要的作用.

雖然在本課的教學過程中沒有新穎別致的問題，也沒有跌宕起伏的教學情境，亦沒有爭論、交流的熱鬧場面，但是通過“低起點、小坡度”地引導，不僅讓學生熟練地掌握了運算法則，而且使其可以靈活應用運算法則解決實際問題.教學中筆者也充分發揮了學生的主導作用，每次提出問題后都會預留一定的時間讓學生進行思考、實踐、交流，從而通過及時引導、追問、評價將問題引向深處，進而讓學生對運算法則的認識達到一定的“深度”，讓學生可以對新知形成更加完整的、全面的認識，從而完成知識的系統化建構，提升教學有效性.

總之，在實際教學中，教師應善于應用一些啟發性問題來引導學生經歷一些實質性的思維活動，從而在幫助學生完成知識的自主建構的同時，促進學生全面、和諧發展.