千淘萬漉，沙盡見金
——基于經歷數學“再發(fā)現”的微專題復習的教學分析

裘秀琴

浙江省余姚市子陵中學教育集團世南校區(qū) 315400

張良江

浙江省寧波市北侖區(qū)顧國和中學 315800

引言

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新標準》）明確提出了關于數學核心素養(yǎng)的相關要求，在初中學段，數學核心素養(yǎng)的內涵及構成主要有：①會用數學的眼光觀察現實世界；②會用數學的思維思考現實世界；③會用數學的語言表達現實世界.在初中數學教學中，應努力促使學生“能夠探究自然現象或現實情境所蘊含的數學規(guī)律，經歷數學‘再發(fā)現’的過程，發(fā)展質疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學態(tài)度，逐步養(yǎng)成講道理、有條理的思維習慣和理性精神”.與此同時，中共中央辦公廳、國務院辦公廳關于“雙減”的意見中，強調要大力提升教育教學質量，確保學生在校內學足學好.這就指示教師應著力提高課堂效率，所以提高初中數學中考復習課的效益尤其迫切.筆者認為，在中考數學復習中就某些相似、相近、相關的問題進行微專題的整合與設計，是提高復習課效益的重要抓手.微專題的整合與設計應基于一類問題，遵循從簡單到復雜、從特殊到一般的路徑進行，并基于不同的知識背景展開研究，在變化探究中善于提取出問題的本質.同時，教師要注重引導學生對問題條件進行整合分析、合情猜想，合理建構并及時歸納總結，習得探究問題的一般方法和思維路徑.學生在數學新情境下的進一步探索，其實就是“再發(fā)現”的過程.筆者試以“一線三垂直”型基本圖形的微專題復習設計為例，結合多年教學實踐進行詳細解析.

教學案例呈現與分析

1.關注母題，重視基本圖形

浙教版八年級上冊第2章“2.8 直角三角形全等的判定”書本習題第2題第一次出現了“一線三垂直”型基本圖形.

已知：如圖1所示，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，P是BD上一點，且AP=PC，AP⊥PC.求證：△ABP≌△PDC.

圖1

教材是課程標準主要的外顯載體，是實施課堂教學的主要素材來源.教師要善于從教材中挖掘體現思想、探究性的材料，幫助學生積累基本圖形，感悟數學思想.教師引導學生從書本習題中提煉“一線三垂直”型基本圖形（如圖1所示），并探究其相關變式，讓學生認識到其建模本質是過直角頂點引一條直線，分別過兩銳角頂點向該直線引垂線段，即可構造出“一線三垂直”型基本圖形，得到一對全等三角形（如圖2所示）；通過進一步探究，將條件一般化，使學生再認識“一線三垂直”型基本圖形只是特殊情況，它的實質是由“一線三等角”構造形狀相同的三角形（全等或相似，相似為一般情形，全等為特殊情形）（如圖3所示）.

圖2

圖3

2.自然聯想，構建基本圖形

例1如圖4所示，已知點A（-4，4），一個以A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別與x軸正半軸、y軸負半軸相交于E，F，連接EF.當△AEF是直角三角形時，點E的坐標是________.

圖4

教學分析由于沒有明確E，F誰為直角頂點，故需要進行分類討論.不論E，F誰為直角頂點，學生不難發(fā)現本題已具備“一線三垂直”型中的“一垂直”，故要向坐標軸作垂線，構造其余兩垂直線，得到一對全等三角形，并利用全等三角形的對應邊相等來解決問題.①當∠AEF=90°時，如圖5所示，△ADE≌△EOF（或如圖6所示，△ADE≌△ECF），得到點E的坐標為（4，0）；②當∠AFE=90°時，得到點E的坐標為（8，0）.例1從簡單的圖形入手，讓學生初步感受到，在坐標系的背景下，構造“一線三垂直”型基本圖形，可化斜線段為水平或豎直的線段來解決問題，培養(yǎng)學生在簡單的背景下識別、構造基本圖形的能力，發(fā)展學生的幾何直觀能力，為進一步處理復雜圖形問題做好準備.

圖5

圖6

3.變換背景，去迷霧探本質

（1）函數背景下的探究.

例2如圖7所示，拋物線y=x2-6x+8與x軸相交于A，B兩點，過點B的直線與拋物線相交于點C（C在x軸上方），過A，B，C三點的⊙M滿足∠MBC=45°，則點C的坐標為________.

圖7

圖8

教學分析相較例1而言，例2增加了圓和拋物線這樣的背景，情境相對復雜，需要利用拋物線的軸對稱性得到AF=FB=1，利用圓的半徑相等得到∠MCB=∠MBC=45°，從而得到∠CMB=90°，這樣就出現了“一線三垂直”中的“一垂直”.學生自然會聯想到構造另外的“兩垂直”，得到△EMC≌△FBM，可得EM=FB=1，EC=FM.令EC=FM=a，于是點C的坐標為（3+a，a+1），利用點C在拋物線y=x2-6x+8上，得方程（3+a）2-6（3+a）+8=1+a，解得a1=2，a2=-1（不符合題意，舍去）.故點C的坐標為（5，3）.

例2的目的是讓學生進一步感受到，利用“一線三垂直”“化斜為直”處理線段長度問題，培養(yǎng)學生在相對復雜的背景中識圖、構圖的能力，以及綜合分析問題和解決問題的能力.

例3將正方形ABCD繞點O旋轉一定的角度，使得正方形的兩個頂點A，B恰好落在函數的圖像上，求正方形的面積.

圖9

教學分析 例3在反比例函數的背景下，結合了旋轉變換，學生需要一定的直觀想象能力，構造當正方形的兩個頂點恰好落在反比例函數圖像上的情形.當A，B兩點落在反比例函數圖像上時（如圖10所示），∠BAO=∠ABE=90°，出現了“一線三垂直”中的“一垂直”，得到△AOG≌△BAH，可得BH=AG，AH=OG.令BH=a，AH=b，則點A的坐標為（b，a），利用矩形對邊相等得到FH=OG=b，得到點B的坐標為（b-a，a+b）.因為點A，B在反比例函數的圖像上，可得方程組解得故同時，解決本題需要學生具備較強的運算能力和利用整體思想處理復雜代數問題的意識，從而充分體驗數形結合思想.

圖10

例4如圖11所示，點A是反比例函數（x＞0）的圖像上一點，點B的坐標為，點C在x軸正半軸上，且△ABC是等邊三角形，則點A的坐標為________.

圖11

教學分析例4沒有現成的直角，基本圖形缺失，不易形成思路.學生可能會嘗試過點A向坐標軸作垂線，試圖表示點A的坐標，但由于未知量過多，而且這些量之間也沒有必然的聯系，更沒有發(fā)揮等邊三角形的功能，故這條路會比較難走.

雖然思路受挫，但通過前面3個例題的鋪墊，學生逐漸認識到利用“一線三垂直”型基本圖形可以“化斜為直”，構造相似三角形或全等三角形解決問題.從整體的角度來看，從等邊三角形容易聯想到構造直角三角形.故嘗試過B作BE⊥BC交CA的延長線于點E，過E作EF⊥y軸于F（如圖12所示），構造以點B為直角頂點的“一線三垂直”，得到△OCB∽△FBE.頂角為30°的直角三角形的兩條直角邊，則EF=9；令OC=t，則，則所以點E的坐標為由A 是斜邊CE的中點，得點A的坐標為，將其代入反比例函數解析式可解.

圖12

（2）特殊四邊形背景下的探究.

例5如圖13所示，在Rt△ABC中，AB=BC=3，D是BC邊上任意一點，分別作D關于AB，AC的對稱點E，F，作平行四邊形AEGF，FG交BC于點H，則BH的最小值為________.

圖13

教學分析首先，學生要明白這些點是怎么運動的.例5中的動點是點D，BD的變化會引起B(yǎng)H隨之變化.故不妨設BD=x，目標是要建立BH關于x的函數關系式.其次，學生仔細觀察圖形結構，從聯系的角度想到弦圖，補全圖形（如圖14所示）.由對稱性得D，B，E三點共線，且DB=BE=x，利用三角形全等的性質以及矩形對邊相等可得EN=MG=CM=x，CF=3-x；再由△FCH∽△FMG，得到方程，于是，求得BH的最小值為

圖14

在例5中，學生不僅能清晰地識別題圖的結構特征，而且進一步認識到了“一線三垂直” 的本質是構造相似三角形或全等三角形，再由相似或全等的性質借助方程或函數解決幾何求值或幾何最值問題.這樣，能使學生的數學建模能力得以彰顯與提升，促進其高階思維的發(fā)展.

例6Rt△BEF和Rt△DFG是一副三角板，且BE=DG，按圖15的方式恰好放置在矩形ABCD內，點E，G 分別在邊AD，BC上，點B，D恰好與矩形的頂點重合，則的值為（ ）

圖15

教學分析設計驅動性問題啟發(fā)學生思考，自然聯想，構造基本圖形，利用兩塊三角板的邊之間的比例關系，結合三角形全等和相似的性質解決問題.

問題1：兩塊三角板按圖15的方式放置，你會聯想到構造什么基本圖形？

問題2：這兩塊三角板的邊之間有怎樣的數量關系？

問題3：45°和30°的三角板的邊之間有怎樣的數量關系？

在驅動性問題的推動下，學生的思維自然成長，解法自然生成.從條件來看，如圖16所示，過點F作FP⊥BC，交BC，AD于點P，H，出現了兩處“一線三垂直”型基本圖形，一是△DFH ≌△FGP，二是△HFE∽△AEB.為了方便計算，建議學生按照頂角為30°的直角三角形直角邊的比值關系設置未知數.由△HFE ∽△AEB 得，不妨設，則GP=，則，從而得

圖16

（3）去蕪存菁，感悟通性通法.

例7【基礎鞏固】

（1）如圖17 ①，∠ABC=∠ACD=∠CED=α，求證：△ABC∽△CED.

【嘗試應用】

（2）如圖17②，在菱形ABCD中，∠A=60°，點E，F分別是邊AD，AB上的點，將菱形ABCD沿EF翻折，點A恰好落在對角線DB上的點P處.若PB=2PD，求的值.

【拓展提高】

（3）如圖17③，在矩形ABCD中，點P是AD邊上的一點，連接PB，PC，若PA=2，PD=4，∠BPC=120°，求AB的長.

圖17

教學分析（1）（2）兩問從特殊的“一線三垂直”到一般化的“一線三等角”，結合相似三角形對應邊成比例，不難解決問題.第（3）問沒有現成的“一線三等角”可用，但由于受前面問題的啟發(fā)，學生將前面例題中習得的方法進行了遷移，嘗試構造“一線三等角”，利用相似三角形的性質解決線段長度問題.即在AD上取點E，F，如圖17④所示，使∠ABE=∠DCF=30°，則∠BEP=∠BPC=∠PFC=120°，得到△BEP∽△PFC，所以設AB=CD=m，則，解得（舍去），所以AB=例7從特殊的“一線三垂直”到一般化的“一線三等角”，讓學生充分經歷觀察、猜想、發(fā)現、推理和計算，感悟從特殊到一般的數學研究方法，歸納解決問題的通性通法，明晰一般的思維路徑.

感悟與思考

1.立足基本圖形，合理靈活建構

教師要引導學生關注課本基本圖形的提煉，熟練掌握圖形的特征，加強圖形建構教學，精心設計典型例題，幫助學生積累圖形建構的基本策略與經驗.學生認識與理解基本圖形，其思維是從具體到抽象的；而能夠辨識和應用基本圖形，其思維是從抽象到具體的.有些題目給出的圖形比較復雜，或者由于基本圖形缺失（或隱藏）部分元素，往往具有一定的迷惑性，教師要教會學生從四個角度思考輔助線的添加方法：整體的角度、聯系的角度、條件有效利用的角度、補充完整圖形的角度.比如在正方形中補全圖形聯想到弦圖，由等邊三角形聯想到直角三角形，等等.本節(jié)微專題在圓、三角形、正方形、矩形等不同的幾何圖形及函數背景下，既關注相等的角度這個“數”，又構造“一線三等角”這個“形”，然后結合三角形全等或相似的性質，利用邊的數量關系，在這樣的“數形結合”的過程中解決問題.

2.關聯不同背景，善于聯想遷移

在當前的“雙減”背景下，“題海戰(zhàn)術”更無立足之地，大量重復地“刷題”，不僅會扼殺學生對數學學習和探究的興趣，而且只要題目稍加變換，學生就會束手無策.本節(jié)微專題，站在學生思維能力發(fā)展的角度，在反比例函數、二次函數、圓、四邊形和三角形等不同的背景下，設計類型一致、由淺入深的一系列問題，解決每個問題學生都要聯系背景下的相關知識.如函數的背景下既要善于利用函數圖像的直觀性，又要適時利用“數”與“形”的有機結合.在特殊四邊形的背景下，識別或構造“一線三等角”型基本圖形，利用全等三角形或相似三角形邊和角的關系解決問題，使學生學會有序思考、理性探究，思維發(fā)展拾階而上，使問題解決自然流暢.

3.積累活動經驗，提升關鍵能力

課堂是教學的主陣地，解題是數學教與學的重要抓手.數學解題就是尋找問題的答案，亦即尋找條件與題目結論之間的數學聯系，它表現為溝通條件與結論的一系列演算或推理，本質是探索和發(fā)現.本節(jié)微專題設置的例題由易到難、層層深入、步步推進，能提升學生識圖和構圖的能力，積累活動經驗.通過本節(jié)微專題的學習，教師不僅要讓學生會做一道題、一類題，而且當其碰到一個新的問題時，會運用類比、轉化等方法來分析問題，自己搭建臺階，尋找突破口.也就是說，教師教會學生解決當下的數學問題，目的是創(chuàng)造條件讓學生在經歷數學活動的過程中優(yōu)化思維方式、發(fā)展思維能力，最終提升數學能力，使學科核心素養(yǎng)落實有真正的著力點.