基于大單元設(shè)計(jì)信息科技課程“身邊的算法”的探索
——以“探秘古數(shù)之趣”為例

劉渝霞 鄧秀華 山東省濰坊市濰城區(qū)濰州麓臺(tái)學(xué)校

中華文明，燦若星河、綿延閃耀，中華民族先輩經(jīng)過(guò)大量理論研究和實(shí)踐探索，編寫(xiě)了如《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》《算法統(tǒng)宗》《海島算經(jīng)》等數(shù)學(xué)名著，為世界數(shù)學(xué)和人類(lèi)文明的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)。著眼當(dāng)下，《義務(wù)教育信息科技課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“信息科技新課標(biāo)”）的頒布，進(jìn)一步凸顯全面提升學(xué)生數(shù)字素養(yǎng)與技能，培養(yǎng)學(xué)生用算法思維分析解決生活中的問(wèn)題的能力。本單元的設(shè)計(jì)將帶領(lǐng)學(xué)生穿梭時(shí)空，探尋歷代數(shù)學(xué)家及其偉大成就，感受古代算學(xué)故事中蘊(yùn)藏的巧思與奧妙。

● “身邊的算法”教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)背景

“身邊的算法是信息科技新課標(biāo)第三學(xué)段（5～6年級(jí)）中的內(nèi)容，包括算法的描述、算法的執(zhí)行、算法的效率等。信息科技新課標(biāo)在教學(xué)提示中提到：從學(xué)生的生活體驗(yàn)或《九章算術(shù)》等典籍中的適當(dāng)問(wèn)題出發(fā)，將算法學(xué)習(xí)的要點(diǎn)貫穿問(wèn)題求解的過(guò)程，讓學(xué)生在不同算法的具體討論中養(yǎng)成算法思維，避免空洞地講授抽象概念。5～6年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展正處于從具象思維到抽象思維的過(guò)渡時(shí)期，所以，筆者在編制《信息科技學(xué)生學(xué)習(xí)手冊(cè)》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“學(xué)習(xí)手冊(cè)”）時(shí)，對(duì)“身邊的算法”模塊，注重了具象內(nèi)容和抽象內(nèi)容的關(guān)系與平衡。

● 學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)流程及語(yǔ)言選擇

學(xué)習(xí)手冊(cè)中的“身邊的算法”設(shè)計(jì)流程如圖1所示。在選擇算法實(shí)現(xiàn)語(yǔ)言時(shí)，充分考慮到新課標(biāo)弱化編程語(yǔ)言和具體的完整代碼實(shí)現(xiàn)，更加重視算法思想和用編程思維解決問(wèn)題的設(shè)計(jì)原理。真正要實(shí)現(xiàn)算法，需要運(yùn)用代碼進(jìn)行描述，在中小學(xué)一般使用C++或Python語(yǔ)言來(lái)實(shí)現(xiàn)。在學(xué)習(xí)中，筆者選擇利用C++作為范例，是因?yàn)樗鼡碛胸S富的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、運(yùn)算符和表達(dá)式，解決問(wèn)題時(shí)可以通過(guò)多種途徑，其語(yǔ)法限制不太嚴(yán)格，所以在設(shè)計(jì)時(shí)更加主動(dòng)、靈活。當(dāng)然，真正落實(shí)到教學(xué)中，教師可以根據(jù)自己的區(qū)域教育環(huán)境和教學(xué)要求來(lái)選擇不同的語(yǔ)言。

圖1

● “古數(shù)之趣”單元內(nèi)容與實(shí)施

從5～6年級(jí)小學(xué)生的知識(shí)、思維水平、學(xué)習(xí)能力等因素出發(fā)，選定的古代算法問(wèn)題包括雉兔同籠、盈不足術(shù)、物不知數(shù)、河上蕩杯、有女善織五大類(lèi)問(wèn)題。按由易到難的梯度設(shè)置，知識(shí)點(diǎn)螺旋式上升，逐步加深。

1.雉兔同籠

數(shù)學(xué)問(wèn)題：雉兔同籠。通過(guò)閱讀《孫子算經(jīng)》的算學(xué)題目讓學(xué)生用現(xiàn)有知識(shí)解題，引導(dǎo)學(xué)生化難為易尋找規(guī)律解決問(wèn)題。

師：我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一道趣題——今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？同學(xué)們嘗試猜測(cè)一下雞兔各有幾只？

（1）算法體驗(yàn)

①枚舉法（窮舉法）：學(xué)生填寫(xiě)表1找出答案。

表1 雉兔同籠算法1

②圖示法：使用符號(hào)替代頭和腳的方式，按提示步驟進(jìn)行繪畫(huà)得出結(jié)果。（“○”表示頭，“|”表示一只腳）

第一步：先畫(huà)8只動(dòng)物的頭。第二步：分腳，為每只動(dòng)物畫(huà)兩只腳，共__________只腳。第三步：把剩下的__________只腳用完，要給其中的__________只動(dòng)物各添2只腳變成兔子。

根據(jù)畫(huà)圖，我們可以看出：雞為_(kāi)_____ 只，兔為_(kāi)______ 只。

③假設(shè)法：根據(jù)題目中給出已知條件或結(jié)論作出某種假設(shè)，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

a.假設(shè)全為雞，則共有腳_______。b.實(shí)際腳數(shù)與假設(shè)腳數(shù)之差_______（總腳差）。c.每只兔子比每只雞多______（單只腳差）。d.兔子只數(shù)=總腳差_______ ÷單只腳差____ 。e.雞的只數(shù)=_____ 。

學(xué)生再通過(guò)試一試，假設(shè)全為兔時(shí)的求解過(guò)程，鞏固本部分學(xué)習(xí)。

④抬腳法：古代數(shù)學(xué)中的“術(shù)”，即解題方法。通過(guò)給出原文，學(xué)生體會(huì)古代數(shù)術(shù)的有趣和思想。

術(shù)曰：上置頭，下置足；半其足，以頭除足，以足除頭，即得。

古人讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳，還剩____ 只腳，此時(shí)每只兔比每只雞腳數(shù)多_____ ，這時(shí)腳與頭之差______ 就是_____ 的只數(shù)。

（2）練習(xí)拓展

通過(guò)“練一練”的兩道題，加深學(xué)生對(duì)算法的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用。

練習(xí)鞏固：在一個(gè)停車(chē)場(chǎng)，停了汽車(chē)和三輪車(chē)一共32輛，這些車(chē)一共有108個(gè)輪子。求汽車(chē)和三輪車(chē)各幾輛？

思維拓展：雞兔共有100只腳，若將雞的只數(shù)和兔的只數(shù)互換后，則共有腳86只。問(wèn)原有雞和兔的數(shù)量各是多少只？

（3）編程驗(yàn)證

在掌握了雉兔同籠的多種算法后，將枚舉法的原理應(yīng)用到現(xiàn)代編程中，結(jié)合for循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)枚舉過(guò)程。

①用流程圖引導(dǎo)學(xué)生思考解決問(wèn)題的過(guò)程，分析流程圖（如圖2）判定框中的條件。

圖2

②將流程轉(zhuǎn)換為代碼，并將分析的條件補(bǔ)充完整（如圖3）。

圖3

③提高難度，優(yōu)化思想。如何把雙重循環(huán)簡(jiǎn)化為單層循環(huán)，從而降低程序的時(shí)間復(fù)雜度。

假設(shè)雞的數(shù)量為i，則兔的數(shù)量為：35-i。寫(xiě)出簡(jiǎn)化結(jié)果。

（4）思維進(jìn)階

給出一個(gè)同類(lèi)進(jìn)階問(wèn)題——百僧百饃，進(jìn)行實(shí)操演練。通過(guò)分組法的啟示，編寫(xiě)程序輸出答案驗(yàn)證分組法的結(jié)果正確與否。

“1個(gè)大和尚3個(gè)小和尚”為一組，每組需要饅頭____個(gè)；100個(gè)饅頭可供給____組；大和尚__人；小和尚_____ 人。

2.盈不足術(shù)

“盈不足術(shù)”是我國(guó)古代勞動(dòng)人民首創(chuàng)的解題方法。通過(guò)對(duì)《九章算術(shù)》中“盈不足”“盈適足和不足適足”“兩盈和兩不足”三類(lèi)盈虧問(wèn)題的計(jì)算，感悟古人智慧，體會(huì)古代算法的高效有趣，理解算法對(duì)學(xué)習(xí)生活帶來(lái)的便利。其中，“盈適足和不足適足”問(wèn)題，原文如下：今有共買(mǎi)豕（shǐ）。人出一百，盈一百；人出九十，適足。問(wèn)人數(shù)、豕價(jià)各幾何？

（1）算法體驗(yàn)

①將問(wèn)題用圖例進(jìn)行展示（如圖4），使學(xué)生對(duì)算法的理解更加形象。

圖4

②引導(dǎo)學(xué)生思考，豬的價(jià)格和人數(shù)都不變，為什么第一種情況總錢(qián)數(shù)會(huì)多出100元呢？

③通過(guò)分析推導(dǎo)，得出解決辦法：

第一種情況比第二種情況一共多出了____元，則每人多出了___ 元。因此，可以知道一共有____（列式）人，豬的價(jià)格是___ 元。

（2）編程驗(yàn)證

①在“試一試”環(huán)節(jié)，運(yùn)用解析法，找出問(wèn)題的前提條件與結(jié)果之間關(guān)系的表達(dá)式，并通過(guò)cout輸出語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解的方法。

小科給同學(xué)們分文具，如果每人分9套，還多12套，如果每人分10套正好分完，小科班里有多少個(gè)同學(xué)？一共有多少套文具？

cout＜＜"小科班里有"＜＜ 12/(10-9) ＜＜"個(gè)同學(xué)。"＜＜endl;

cout＜＜"一共有"＜＜ 12/(10-9)*10 ＜＜"套文具。"

②在學(xué)生對(duì)三類(lèi)盈虧問(wèn)題探究完成后，給出了“練一練”環(huán)節(jié)，通過(guò)三個(gè)問(wèn)題加深學(xué)生對(duì)盈不足術(shù)的理解和應(yīng)用。

某校五、六年級(jí)要乘車(chē)去人工智能體驗(yàn)中心參加實(shí)踐活動(dòng)。如果每車(chē)坐65人，則有5人不能坐上車(chē)；如果每車(chē)多坐5人，正好多余了一輛車(chē)。請(qǐng)問(wèn)一共有幾輛車(chē)？學(xué)生有多少人？

本題屬于哪類(lèi)問(wèn)題？

□盈不足 □兩盈 □兩不足□盈適足 □不足適足 （輸出結(jié)果）

3.物不知數(shù)

“物不知數(shù)”問(wèn)題出自《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問(wèn)物幾何?”本課通過(guò)明代數(shù)學(xué)家、珠算發(fā)明家程大位在其《算法統(tǒng)宗》中《浪淘沙》一詞，展開(kāi)“物不知數(shù)”問(wèn)題算法的推導(dǎo)與學(xué)習(xí)。內(nèi)容如下：昨日獨(dú)看瓜，因事來(lái)家，牧童盜去眼暈花。信步廟東墻外過(guò)，聽(tīng)得爭(zhēng)差。兩兩數(shù)（shǔ）余一，三三余二，四四數(shù)之余三瓜。借問(wèn)至少盜幾瓜，已會(huì)先答。

（1）算法體驗(yàn)

①篩選法：學(xué)生通過(guò)填寫(xiě)滿(mǎn)足三個(gè)條件的數(shù)，觀(guān)察得到具有相同的數(shù)字，即得到答案。了解其思想與編程中的枚舉異曲同工。

②補(bǔ)湊法：通過(guò)體驗(yàn)“補(bǔ)湊法”的推導(dǎo)，感受該算法形成的過(guò)程。從余數(shù)與除數(shù)的數(shù)值規(guī)律，通過(guò)加、減的形式將多個(gè)條件的余數(shù)變?yōu)橄嗤瑪?shù)，即補(bǔ)湊法中的“缺同”“和同”和“余同”問(wèn)題，從而使用一個(gè)最小公倍數(shù)將多個(gè)條件合而為一，使問(wèn)題簡(jiǎn)化，快速得到答案。探究的過(guò)程遵循“從生活到算法”“從簡(jiǎn)單到復(fù)雜”的規(guī)律，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生分層學(xué)習(xí)，盡量滿(mǎn)足不同學(xué)習(xí)能力學(xué)生的需求。

（2）編程驗(yàn)證

①經(jīng)典問(wèn)題“韓信點(diǎn)兵”是“物不知數(shù)”問(wèn)題的一個(gè)應(yīng)用。在本項(xiàng)目中，通過(guò)《孫子歌訣》（如下頁(yè)圖5）的算法思路進(jìn)行解題。

圖5

②用分治算法將“點(diǎn)兵”問(wèn)題的條件進(jìn)行逐一突破，編寫(xiě)程序用枚舉的方式找到多個(gè)答案，在此過(guò)程中對(duì)算法不斷進(jìn)行迭代和優(yōu)化，找到最優(yōu)解。

4.河上蕩杯

《孫子算經(jīng)》中有一個(gè)有趣的問(wèn)題——蕩杯問(wèn)題，原題如下：今有婦人河上蕩桮，津吏問(wèn)曰：“桮何以多？”婦人曰：“家有客。”津吏曰：“客幾何？”婦人曰：“二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用桮六十五，不知客幾何。”

（1）算法體驗(yàn)

學(xué)生進(jìn)行題意解讀，感受古代數(shù)學(xué)文字之美，提煉關(guān)鍵數(shù)學(xué)信息。（術(shù)曰：“置六十五只杯，以一十二乘之，得七百八十，以一十三除之，即得?！保┩ㄟ^(guò)對(duì)“術(shù)”中兩個(gè)關(guān)鍵數(shù)學(xué)信息“一十二”“一十三”的推演，將原題為多人合用一個(gè)碗，轉(zhuǎn)變思維，利用擴(kuò)大12倍數(shù)（保證每人所用的碗為整數(shù)）的方法，改變?yōu)橐蝗耸褂枚鄠€(gè)碗（13個(gè)碗），從而巧妙地解決問(wèn)題。

（2）編程驗(yàn)證

通過(guò)枚舉法，引導(dǎo)學(xué)生理解for循環(huán)語(yǔ)句的解題思路（如圖6），從如何確定人數(shù)范圍、如何提高效率減少循環(huán)次數(shù)、如何找到成立條件等問(wèn)題上去樹(shù)立學(xué)生的編程意識(shí)和對(duì)循環(huán)語(yǔ)句的使用規(guī)則。進(jìn)一步通過(guò)古“術(shù)”解謎讓學(xué)生感受古代數(shù)術(shù)的奧妙，發(fā)現(xiàn)公倍數(shù)對(duì)程序編碼的優(yōu)化作用，用理論指導(dǎo)實(shí)踐，用實(shí)踐發(fā)展理論，不斷提升學(xué)生對(duì)算法思想的認(rèn)識(shí)。

圖6 用以體現(xiàn)兩種歌唱情境狀態(tài)變化的折線(xiàn)圖

圖6

5.有女善織

《九章算術(shù)》第三卷“衰（cuī）分”中記載了這樣一個(gè)有趣的問(wèn)題：今有女子善織，日自倍，五日織五尺。問(wèn)日織幾何？

（1）算法體驗(yàn)

學(xué)生通過(guò)閱讀題目抓取關(guān)鍵信息，通過(guò)每天織布數(shù)量的變化規(guī)律就可以求出每天的織布份數(shù)是多少和每天織布份數(shù)占五天總份數(shù)的比，從而算出每天的織布數(shù)。通過(guò)填寫(xiě)表2找思路并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，引出數(shù)組的優(yōu)點(diǎn)。

表2 織布份數(shù)m和總份數(shù)s信息列表

（2）編程驗(yàn)證

本題從已知的結(jié)果“五日織五尺”出發(fā)，使用遞推法，用迭代表達(dá)式逐步逆推，并將“織布份數(shù)”和“織布數(shù)”兩個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃，各自突破后再進(jìn)行問(wèn)題組合，就是“衰分術(shù)：有女善織”的完整的程序解決方案，讓學(xué)生既了解了衰分術(shù)，也對(duì)“問(wèn)題分解是為了更好地解決問(wèn)題”有了良好的認(rèn)知。

● 教學(xué)建議與反思

1.轉(zhuǎn)變觀(guān)念，注重學(xué)生體驗(yàn)

在教學(xué)過(guò)程中，教師不能僅以解題為目的，需要給學(xué)生提供更多體驗(yàn)的機(jī)會(huì)。通過(guò)古代數(shù)術(shù)啟發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的思路，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力。

2.加強(qiáng)算法相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，擴(kuò)展知識(shí)面

對(duì)于本模塊，新課標(biāo)提到，將算法學(xué)習(xí)的要點(diǎn)貫穿問(wèn)題求解的過(guò)程。因此，教師應(yīng)主動(dòng)精鉆細(xì)磨教學(xué)內(nèi)容，深入地掌握和理解，熟悉其應(yīng)用，這樣才能正確引導(dǎo)學(xué)生理解算法和算法思想。

3.開(kāi)放式教學(xué)，重視學(xué)生能力的培養(yǎng)

利用算法設(shè)計(jì)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維，提高其分析問(wèn)題和問(wèn)題解決的能力；利用算法實(shí)現(xiàn)方式的不確定性，可以培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力。因此，教師在教學(xué)的過(guò)程中要充分發(fā)掘各種教學(xué)資源，使用靈活多樣的教學(xué)方式。