偽距單點定位兩域聯合平差解的等價性分析

胡小華，劉長建，張熙

(1.中國人民解放軍戰略支援部隊信息工程大學 地理空間信息學院,鄭州 450001；2.61363 部隊,西安 710000)

0 引言

測繪領域中，融合多類觀測數據進行聯合平差的應用十分豐富，如基于觀測信息以及各類導出信息的融合[1-4]、多源異構數據的融合[5-7]等，其函數模型大多為非線性模型.導航領域中，融合多系統全球衛星導航系統(GNSS)定位也越來越普遍，同樣是非線性觀測模型聯合平差問題.

對于線性觀測模型的聯合平差問題中，不同等級水準網的聯合平差，利用參數加權平差，理論上完全可以證明其結果與平差值域聯合平差結果相同；不同等級水準網單獨平差結果的聯合平差，但非線性觀測模型下情況卻有所不同.國內外學者雖就非線性模型的線性化程度度量方法[8-9]、非線性模型的參數估計[10-14]以及非線性模型的直接解法[15-18]等進行了研究，但目前最常用的仍是將模型線性化迭代求解，即采用高斯-牛頓迭代法或迭代最小二乘法[19].由于迭代求解時，觀測值聯合平差時的近似值與不同類觀測值單獨平差的近似值不同，該不同所引起的線性化模型誤差對兩域聯合平差結果的等價性影響如何正是本文探討的內容.

偽距單點定位(SPP) 是20 世紀80～90 年代，最初由GPS 設計時采用的主要導航定位方法，也是目前各GNSS 處理軟件提供的基本方法之一.日本東京海洋大學于2020 年12 月推出RTKLIB(b34) 版本，其SPP 模式立足于單歷元迭代最小二乘求解，實現GPS、GLONASS、星基增強系統(SBAS)、準天頂衛星系統(QZSS)、Galileo、北斗衛星導航系統(BDS)、印度區域導航衛星系統(IRNSS)七個系統單頻偽距任意組合時的解算.本文將以RTKLIB SPP 應用進行兩域平差結果等價性的數值分析.

1 觀測值域聯合平差解

RTKLIB SPP 模式中，GNSS 偽距觀測方程形式上被統一表為

式中：P為某系統選定的單頻偽距觀測值；(x,y,z)、(xs,ys,zs)為 接收機 和衛星坐標；dtr、dts為接收機和衛星鐘差(以距離為單位)，當為非GPS 時，dtr為接收機在該系統中的鐘差與在GPS 中的鐘差之差或系統間時延偏差；τs為衛星端硬件延遲或差分碼偏差；I、T為電離層、對流層延遲項；εP為偽距多路徑效應等未模型化誤差和測量噪聲之和.

該模式的未知參數固定設置為8 個且順序保持不變，即

式中，G、R、E、C、I 分別代表GPS、GLONASS、Galileo、BDS、IRNSS (SBAS、QZSS 視為同GPS).借助虛擬觀測值思想，RTKLIB SPP 巧妙地實現了同一套程序求解GNSS 多個系統任意組合時的參數.

為方便討論，下面將各GNSS 的接收機鐘差參數恢復為各系統的原始鐘差，這兩種解法是等價的[19].于是，各GNSS 偽距觀測值聯合平差的誤差方程可表為

式中：Pi(i=G,R,E,C,I)表示i系統經過相應改正后的所有偽距向量；Vi為對應的殘差；fi為對應的歐幾里德幾何距離向量；為對應的接收機三維坐標平差值或位置解向量；ei為對應的元素全為1 的列向量；為對應的各系統接收機原始鐘差平差值.

根據參數分組平差求解原理[20]，由式(7)可解得

位置解及其協方差陣為：

式(8)～(10)即觀測值域聯合平差位置解迭代公式，其中，本次迭代的X0取為上次迭代計算的，直至收斂(RTKLIB SPP 設置的條件為要指出的是，式(10)是用驗前單位權方差求得的，因為用式(6)定權時由于每歷元求解時多余觀測數較少，使用驗前單位權方差進行精度估計是RTKLIB 等軟件通常采用的方法.

2 平差值域聯合平差解

下面采用兩種方法推導出平差值域聯合平差位置解公式.

2.1 推導方法一

將式(8)變形為

設每個GNSS 可以單獨平差，相應式(5)、式(6)，平差模型為

同樣地，式(14)又可以寫為

式(22)～(23) 為平差值域聯合平差位置解公式，由式(8)～(10)等價變形得到，假設了單系統每次迭代求解時的X0與觀測值域聯合平差時相同.不難理解，這一假設實際中難以滿足，由此造成的兩域聯合平差結果的差異和fi有關，并且不同非線性模型非線性強度不同，由線性化近似導致的誤差也不同[21].此外，也不難理解，若fi為線性函數則不存在此問題，因為線性模型平差解不需要迭代且與近似值的選取無關.

2.2 推導方法二

直接視式(18)中的X?˙i為歷元位置X的虛擬觀測值[1]，可列平差值域聯合平差的模型為：

于是，根據參數平差公式得法方程為

平差值域聯合平差的位置解及其協方差陣為：

該兩式與式(22)～(23)相同.

3 SPP 兩域聯合平差解等價性分析

由前知，對于非線性觀測模型，欲使兩域平差解完全相同，需要每次迭代時觀測域聯合平差的近似值與不同類觀測值單獨平差的近似值X0相同，但實際中難以保證.這一不同造成兩域聯合平差解差異有多大，與具體應用的非線性函數有關.下面以LHAZ 站2021-02-18 T 00:10:30 的RTKLIB SPP 結果為例進行分析，該歷元GPS、BDS、GLONASS、Galileo 均能單獨取得收斂解.

算例一為該歷元GPS、BDS 進行兩域聯合平差，結果如表1 所示.表中，x、y、z表示位置解的平差值、表示表示sign(·)表示該項的符號.由表1 可知，兩系統兩域平差解在毫米量級上相同.

算例二為該歷元GPS、BDS、GLONASS 進行兩域聯合平差，結果如表2 所示.表中符號同算例一.由表2 同樣可知，三系統兩域平差在毫米量級上也相同.

表2 GPS、BDS、GLONASS 兩域平差結果 m

算例三為該歷元GPS、BDS、GLONASS、Galileo進行兩域聯合平差，結果如表3 所示.表中符號同算例一、算例二.表3 同樣表明了四系統兩域平差在毫米量級上也相同.

表3 GPS、BDS、GLONASS、Galileo 兩域平差結果 m

綜合以上3 個數值算例可見，在組合系統和單系統求解配置相同情況下(如高度限制角相同等)，RTKLIB SPP 觀測值域聯合平差解和平差值域聯合平差解在毫米量級上完全相同，受非線性函數模型線性化的影響很小，其原因可以解釋為觀測值域單系統和聯合平差的收斂解相差很小，它們收斂解的前一次解也相差較小，由此引起的線性化誤差差異可以忽略不計.另外還要說明的是，上述三個算例中單BDS 和含有BDS 組合系統的觀測值域聯合平差時，RTKLIB SPP 均檢測到BDS C02 衛星異常，以上收斂解均為排除該星后的收斂解，這進一步表明了異常情況下兩域平差結果在毫米量級上也是等價的.

4 結論

當采用迭代最小二乘求解時，本文就SPP 模型探討了非線性誤差方程兩域聯合平差解的等價性，主要結論如下：

1)非線性觀測模型，計算中無需進行線性化和迭代計算，非線性模型各類觀測值單獨迭代求解時的近似值與觀測值域聯合平差迭代求解時的近似值不同，其對兩域聯合平差解的影響與非線性函數的非線性強度相關，需具體問題具體分析；

2)在配置相同的情況下，對2021 年2 月18 日LHAZ 站單歷元數據采用RTKLIB SPP 的計算結果表明，不同系統組合的兩域平差位置解在毫米量級上數值相同，對于SPP 應用可以認為兩域聯合平差解等價；

3)本文探討的內容具有一定的普遍性，如關于多系統GNSS 的其他應用等，它們兩域聯合平差解的等價性可類似進行探討，其中，如何構造優秀的算法，盡量縮小兩域平差解的差異，仍是一個重要研究課題.