顧及星座穩定性及綜合成本的低軌導航星座優化設計方法

賀備，蔡昌盛，潘林，蔡成林

(1.中南大學 地球科學與信息物理學院,長沙 410083；2.湘潭大學 自動化與電子信息學院,湖南 湘潭 411100)

0 引言

全球衛星導航系統(GNSS)已經在導航、定位和授時(PNT) 領域發揮了巨大的作用，但GNSS 自身的可靠性和可用性較為脆弱[1]，如在進行GNSS 精密單點定位(PPP)時收斂時間過長，而且由于GNSS 軌道高度高，地面接收站所接收到的信號較弱，特別是在遮蔽環境下影響更為嚴重.相比而言，低軌道地球衛星(LEO) 的軌道高度較低，信號在傳播過程中損失較少，地面接收信號強.此外，LEO 運行速度快，衛星的快速運動有助于星座空間幾何形態的快速變化，可以促進PPP 收斂速度的提升.楊元喜院士[2]提出綜合PNT 系統和彈性PNT 概念，并將低軌衛星增強技術作為PNT 體系中的核心技術.近年來，低軌衛星技術發展迅速，國內外機構相繼提出低軌衛星發展計劃.

低軌衛星對GNSS 進行導航增強的前提是具有分布合理的星座構型.基于此，有不少學者開展了星座設計研究.GE 等[3]從軌道傾角、衛星數、軌道平面數等方面開展星座設計，并將不同傾角的LEO 星座組合在一起與GNSS 聯合進行PPP 定位.HE 等[4]為增加可見衛星數沿緯度分布的均勻性，設計了不同軌道傾角組合的混合星座.田野等[5]推導了低軌衛星軌道高度與可視球冠以及太空垃圾的關系，提出精度衰減因子(DOP) 值較小的不同傾角軌道組合方案.上述研究工作均采用分析枚舉法設計低軌星座構型，難以衡量星座設計構型是否達到最優.徐哲宇等[6]基于Flower 星座構型并結合差分進化算法進行了軌道參數優化，設計了一種區域導航增強的星座方案.GUAN 等[7]基于遺傳算法與非支配遺傳算法針對多目標優化進行了混合Walker 星座設計.MA 等[8]設計了綜合多種星座構型的混合星座，在固定衛星顆數以及仰角的條件下采用遺傳算法求取最優組合.上述研究工作采用優化算法進行星座設計，但他們在優化設計過程中未顧及衛星綜合成本以及混合星座的穩定性.謝愷等[9]在星座設計中粗略分析了星座設計的發射成本因子，然而沒有考慮到衛星制造成本，無法全面衡量星座設計的綜合成本.YANG 等[10]提出在設計混合星座時需要考慮軌道面之間的進動角速度影響，從而使得混合星座具有穩定構型.

本文同時顧及星座穩定性及綜合成本進行低軌導航星座的優化設計.以Walker 星座作為基本構型，在保證混合星座穩定性的基礎上顧及綜合成本及導航性能，利用遺傳算法開展了低軌混合星座優化設計.

1 星座設計方法

1.1 遺傳算法

星座設計的目的是將功能相似的多顆衛星分布在不同的軌道上，從而實現特定任務.目前而言，進行星座設計的主要方法包括幾何解析法、仿真比較分析法以及優化算法[11].采用遺傳算法等優化算法，可以顧及多目標任務，在空間范圍內搜索最優的星座設計參數，能夠彌補傳統的幾何解析法以及仿真比較法的不足，從而實現低軌星座的最優化設計.

遺傳算法借鑒達爾文的進化論與自然選擇學說，實際上是一種隨機全局搜索的優化方法.遺傳算法采用適者生存的原則，將問題編碼成為二進制串染色體生成初始種群，通過設置適應度函數，保留種群中的最優個體，在此基礎上針對編碼個體進行選擇、交叉及變異等操作得到新的種群，不斷優勝劣汰直至得到最優解[12].相較于傳統算法而言，遺傳算法采用面對面的全局搜索方法，避免陷入優化過程中局部最優的情況，且具有較高的搜索能力和極強的魯棒性[13].本文使用遺傳算法處理附有整數約束條件的低軌星座優化問題.

1.2 Walker 星座構型

Walker 星座是一種常用的星座構型，具有很好的全球對稱均勻分布特性，在實際星座設計中應用廣泛.Walker 星座可由T、P、F三個參數確定[12].其中，T為星座中的衛星總數，P為星座的軌道面數，F為相位因子，用來確定相鄰軌道間的相位差，F的取值范圍為(0～P-1).

將第一個軌道面的第一顆衛星定義為種子衛星，確定種子衛星的軌道參數即可計算得到Walker 星座中所有衛星的軌道參數，式(1)給出了軌道參數的計算方法[14].

a0、e0、i0、ω0、Ω0、M0分別表示種子衛星的半長軸、偏心率、傾角、近地點角距、升交點赤經以及平近點角.在上述參數中，半長軸和偏心率決定了軌道的形狀，軌道傾角與升交點赤經決定了軌道平面的位置，近地點角距決定軌道半長軸方向，平近點角決定了衛星相對于時間的位置.j表示第j個軌道面，(j,k)表示第j個軌道面上的第k個衛星，由上式可計算第j個軌道面上第k顆衛星的軌道參數.

1.3 星座綜合成本計算

在設計低軌導航增強星座過程中，考慮導航性能增強指標如可見衛星數目以及分布均勻性的同時，也應該考慮綜合成本.以Starlink 為例，完成62 顆衛星的組網布設需要花費成本費用高達6 200 萬美元[15]，由此可知星座的成本費用是非常巨大的，所以在保證星座性能的同時應盡可能降低成本.

星座綜合成本可分為星座制造成本、發射成本以及維護成本.星座成本模型很難具體定量分析，到目前為止還沒有完善的星座成本模型.但已有研究表明，星座綜合成本與衛星數、軌道平面數、軌道高度以及軌道傾角有關[9].衛星數越多則制造與維護成本越大；衛星發射通常采用一箭多星技術使得衛星落在同一軌道面上，所以發射成本會隨軌道面的增加而增加；軌道高度越高，相應需要的發射能量越大；軌道傾角增加時，借助地球自轉能量越少，同樣增加了發射成本.基于此，本研究將衛星綜合成本因子表達為

式中：P為軌道面個數；P0為軌道面數下限；i為軌道傾角，單位為rad；h為軌道高度；h0為軌道高度下限；T為衛星數目；T0為衛星數目下限.值得注意的是，該衛星綜合成本因子只表示在一個具體問題中不同方案的相對成本.

1.4 星座優化目標函數設置

本文旨在設計導航增強的低軌星座，對于導航定位而言，必須實現可見衛星數目大于4，在此基礎上可見衛星越多，觀測值的冗余度越高，導航定位的可靠性和精度也越高，同時可見衛星分布越均勻，越有利于提升導航定位的精度.所以對設計星座的性能評價可分為全球平均可見衛星數、可見衛星分布的均勻程度以及星座綜合成本因子三個指標.

由于Walker 星座構型為全球均勻對稱分布，其在全球的可見性也是均勻分布的.為簡化計算且考慮到全球經濟以及人口分布大部分在北半球，我們選取經度為0°的經線，在緯度方向每隔2.5°建立高度為25 m 的虛擬觀測站，這樣共建有37 個虛擬觀測站，設置截止高度角為7°.目標函數為

式中：E[v(x)]為全球平均可見衛星數；STD([v(x)]) 為全球可見衛星數標準偏離值，即全球可見衛星數STD值，用于衡量可見衛星分布均勻程度；c ost(x) 為綜合成本因子，其中w1、w2、w3表示各部分所占權重，將w1、w2、w3分別設置為-0.2、0.7、0.1，這樣的定權方式表明：可見衛星數目越多，分布越均勻，星座綜合成本越少，則認為星座配置最優.

2 實驗結果與分析

2.1 基于遺傳算法的銥星星座優化

銥星是以Walker 為星座構型的低軌衛星星座，軌道傾角為86.4°，軌道高度為780 km，通過STK 與MATLAB 互聯對銥星軌道進行積分并輸出銥星的空間三維構型，如圖1 所示.

圖1 銥星三維構型

采用1.4 節星座優化的目標函數，顧及綜合成本并基于遺傳算法對銥星星座進行優化設計，設置決策變量為 [i,F]，其中i表示軌道傾角，F表示相位因子，決策變量取值范圍如表1 所示.

表1 銥星星座決策變量范圍

由于實驗中采取了整數約束，染色體編碼采用實數編碼，形式為

在種群繁衍和進化的過程中，適應度最強的個體直接存活至下一代而不做任何改變的精英個體數目設置為2.此外，為了求解混合整數約束的最優化問題，使用了工具箱中的整數GA 求解器，采用等級適應度函數排序，隨機均勻選擇算子.交叉算子選擇GA 求解器中的約束依賴模式，根據優化函數的約束選擇不同的函數，交叉概率設置為0.8，變異算子采用自適應變異函數，適應度大的個體變異概率小，適應度小的個體變異概率相對較大.實驗中采取了整數約束，遺傳算法試圖使懲罰值函數達到最小而不是目標函數最小，程序內部將使用懲罰函數值代替目標函數值，對于滿足約束條件的解，其懲罰值就成為目標函數，而對于不滿足約束條件的解，其懲罰值等于滿足約束條件的最大目標函數值加上相應的違例懲罰項以降低其適應度[8].

遺傳算法中合適的初始種群大小和遺傳代數對于提高計算效率和有效尋求最優解很重要，如果初始種群和遺傳代數太小，算法可能無法有效地搜索空間中的最優解，如果初始種群和遺傳代數過大，則會降低計算效率，增加搜索時間.在本次實驗中設置種群大小為40，遺傳代數為50.

成本因子定義為

圖2 顯示了對銥星星座優化50 代的平均和最佳懲罰值軌跡圖.從圖2 中可以看出，隨著種群的選擇、交叉、變異、繁殖，種群的適應度逐漸增強，相應的懲罰值逐漸趨于穩定.

圖2 遺傳算法搜索銥星星座最優解過程

最終確定優化后的星座軌道傾角為70°，相位因子為3.優化后的星座三維構型如圖3 所示，表2 給出了銥星優化前后的星座性能統計結果.

表2 銥星優化前后的星座性能對比

圖3 優化后的銥星星座三維構型

圖4 給出了銥星優化前后可見衛星數隨緯度的變化情況.由于銥星軌道傾角接近90°，所以高緯度地區銥星的可見衛星數目大于優化后的星座.在65°以下的區域，優化后的可見衛星數顯著優于優化前的銥星，而且優化后的可見衛星數整體上沿位置緯度變化更為平緩.計算結果表明，無論可見衛星數、STD值還是綜合成本因子較優化前的銥星星座均有明顯改善，全球可見衛星數均值由2.3 顆增至2.9 顆，可見衛星數STD由2.3 降至0.7，綜合成本因子由5.3 降至4.5，證明了本設計方法的有效性.

圖4 銥星優化前后星座隨緯度變化的可見衛星數

2.2 基于遺傳算法的混合星座設計

2.2.1 星座構型穩定性

當衛星星座的高度和傾角不同時，由于地球的非球形攝動力引起的軌道面進動產生差異會導致不同高度和傾角構成的星座不穩定，從而改變星間以及衛星和地球之間的幾何關系[16]，無法保證星座能否按照設計方案準確運行.因此，混合星座優化的前提是星座構型具有穩定特性.

在設計星座軌道高度時，需要考慮的不僅是覆蓋性能，更需要考慮空間環境，如太空垃圾分布、輻射粒子以及太空引力等實際因素.文獻[7]使用STK 分析了500～1 100 km 的大氣阻力對軌道因素的影響，并指出當軌道高度低于900 km 時大氣阻力顯著增加.當軌道高度高于1 500 km 時會受到范艾倫輻射帶的影響，所以適宜的軌道高度范圍為900～1 500 km.

低傾角和高傾角的取值范圍分別在(0°，45°)、(45°，90°)，這樣能夠使得傾角較小的星座增加赤道附近地區的衛星可見度，傾角較大的星座可以更好地覆蓋高緯度地區.

為了保持星座穩定構型，必須在相同的進動速度下選擇軌道[10].式(6) 給出了軌道面進動速度計算公式

式中：Ω 為軌道面進動速度；Re為地球半徑；e為偏心率；a為軌道高度；ω 為衛星的角速率；J2=1.086×103.

在軌道高度范圍和軌道傾角范圍內進行遍歷求解軌道面進動速度，軌道高度精度設置為1 km，軌道傾角精度設置為1°.由以上分析可知，當低傾角星座與高傾角星座軌道進動速度相同時即可確定相對應的軌道高度和軌道傾角，具體構型設計如表3所示.

表3 混合星座軌道傾角與高度構型設計

2.2.2 混合星座優化

將混合星座決策變量設置為[P1,N1,F1,P2,N2,F2]，P為軌道面數，N為單個軌道面上的衛星數，F表示相位因子，且下標表示組合星座中的子星座，決策變量取值范圍如表4 所示.

表4 決策變量取值范圍

染色體編碼形式為

在種群繁衍和進化的過程中，適應度最強的個體直接存活至下一代而不做任何改變的精英個體數目設置為3，其余處理策略與2.1 節中策略一致.

綜合成本因子表示為

式中：P為軌道面個數；P0為軌道面數下限；i為軌道傾角，單位為rad；h為軌道高度；h0為軌道高度下限；T為衛星數目；T0為衛星數目下限；下標1、2 分別為混合星座中的兩種不同的星座構型.

目標函數為

在遺傳算法中設置初始種群為60，遺傳代數為50.圖5 顯示了對混合星座50 代的平均及最佳懲罰值軌跡圖，從圖5 中可以看出，隨著種群的選擇、交叉、變異、繁殖，種群的適應度逐漸增強，相應的懲罰值減少，直至收斂.

圖5 遺傳算法搜索混合星座最優解過程

通過遺傳算法搜索最優解后得到軌道高度為1 360 km、軌道傾角為160 的Walker24/4/1 星座與軌道高度為975 km、軌道傾角為620 的Walker35/5/2星座.圖6 給出了優化后的低軌混合星座(Walker24/4/1 與Walker35/5/2)三維構型.為進一步驗證混合星座對GNSS 的增強性能，圖7 給出了北斗/低軌混合星座的三維構型，并分別對低軌混合星座、北斗星座以及北斗/低軌混合星座進行性能評估.

圖6 優化后的低軌混合星座三維構型

圖7 北斗/低軌混合星座三維構型

表5 為低軌混合星座與北斗星座以及北斗/低軌混合星座的可見衛星數以及STD值，由于在設計混合星座過程中就已經顧及星座成本，所以此處沒有對成本因子進行評估.將組合后的星座與北斗星座相比較，全球可見衛星數均值由6.9 顆增至9.3，可見衛星數標準差由1.1 降至0.4.可見衛星數沿緯度變化如圖8 所示.本文主要針對于低軌衛星對于現有北斗系統的導航增強，所以即使混合低軌星座可見衛星數目小于4，雖然不能進行單獨的導航定位，但是在與北斗系統混合之后，增加了可見衛星數，降低了STD值，能夠起到導航增強的作用.

圖8 不同星座可見衛星數沿緯度位置變化分布

表5 不同星座性能

3 結束語

本文通過顧及星座穩定性及綜合成本，基于遺傳算法對銥星星座以及混合星座進行了優化設計.在顧及導航性能以及綜合成本的基礎上，設計目標函數，采用與銥星相同的軌道構型，對軌道傾角、相位因子進行搜索，得到傾角70°，相位因子為3 的優化后的銥星星座構型，與優化前的銥星星座相比，全球平均可見衛星數由2.3 增至2.9，STD值由2.3 降至0.7，同時成本因子由5.3 降至4.5，驗證了本文方法的有效性.在保證星座構型穩定性的條件下，確定高傾角與低傾角混合星座的軌道高度和軌道傾角，固定Walker星座的相位因子為0，利用遺傳算法得到軌道高度為1 360 km、傾角為16°的Walker 24/4/1 星座與軌道高度為975 km、傾角為62°的Walker 35/5/2 星座.將設計得到的低軌混合星座與北斗星座組合后，與北斗星座相比平均可見衛星數由6.9 增至9.3，STD值由1.1 降至0.4.在未來的星座優化設計過程中應該考慮到更多的實際因素，如星座運行過程中是否存在碰撞風險、衛星軌道是否存在衰減可能等.