矩形舵面應變模態測試中的傳感器優化布置

吳向余，賀旭東，屈沖霄，陳懷海

（1.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016）

（2.江蘇金風軟件技術有限公司 無錫，214028）（3.中國飛行試驗研究院 西安，710089）

引言

矩形舵面結構在航空航天工程中應用廣泛，常見于新型飛行器的翼面、空氣舵等典型部件。這類結構自身重量較輕，進行模態測試時易受周圍環境干擾。應變片與傳統的加速度傳感器相比，重量輕，體積小，對結構的質量影響較小，可以避免加速度傳感器附加質量的干擾，因此更適用于薄板類型的舵面結構模態測試場合。近年來，基于結構應變信號的模態測試受到廣泛關注，并獲得了實際應用，在模態參數識別［1］、光纖光柵測量［2］和結構損傷探測［3］等方面取得良好效果。由于結構表面的應變信號通常較弱，在測試時，受到測量噪聲的影響，結構的應變響應信號信噪比相對較差，影響模態測試結果，甚至出現模態階次遺漏現象，所以在應變模態測試中，有必要對傳感器做優化布置。

傳感器優化布置對于模態測試中的信號采集有著至關重要的影響。常規傳感器位置優化的方法有：模態動能法（modal kinetic energy，簡稱MKE）［4］，EI法［5-7］、MinMAC法［8-9］和SVD法［10-11］等。上述方法中，MKE法根據測點處結構動能最大化進行優化，不能直接應用于應變測試場合。

首先，將矩形舵面簡化成薄板模型，建立應變傳感器布置的動力學模型，得到位移振型與應變振型之間的轉換關系；其次，研究了EI法、MinMAC法和SVD法，基于薄板應變振型設計3種傳感器優化布置方案，并綜合邊界條件從中選擇合適的測點，作為最終測點位置；最后，在舵面模型的驗證實驗中，對比優化前后應變響應信號的模態指示函數（modal indicator function，簡稱MIF）曲線［12］，以及結構的固有頻率、阻尼比和振型向量識別結果，驗證了傳感器優化布置的必要性和有效性。

1 應變傳感器布置的動力學模型

應變傳感器優化布置的前提是建立結構應變響應的動力學模型，獲取應變振型。在全局坐標下，有限元模型的位移響應應滿足如下的振動微分方程

其中：u為總體位移響應向量；M，K分別為系統總體質量矩陣和總體剛度矩陣。

對式（1）求解廣義特征值問題可獲得系統的固有頻率和位移振型矩陣Φ。

記系統總體應變響應為ε，對應的應變振型矩陣為Φε，則根據應變模態理論可知應變振型矩陣與位移振型矩陣之間有如下轉換關系［13］

其中：B為總體應變轉換矩陣，通過單元應變矩陣Be組裝形成。

為簡化問題，筆者采用四結點矩形板單元建立薄板有限元模型，見圖1，單元的位移向量可表示為

圖1 四結點矩形單元示意圖Fig.1 Four node rectangular element

其中：ui=[wiθxiθyi]T為結點的撓度和轉角位移；下標i=1，2，3，4為結點編號。

在薄板彎曲問題中只需考慮εx，εy，γxy這3個應變分量，記結點應變向量為εi=[εxiεyiγxyi]T，根據板單元的幾何方程和單元形函數方程，可得

其中：Bie為第i個結點的單元應變矩陣。

其中：Bj(j=1，2，3，4)為對應于板單元第j個結點的應變矩陣塊，與單元的幾何尺寸有關。

對于如圖1所示單元，其厚度為z，長度和寬度分別為2a和2b，則中第j個應變矩陣塊［14］可表示為

其中：ξi，ηi，ξj，ηj為各結點在局部坐標系ξ=x/a，η=y/b下的坐標值。

記板單元的應變向量為εe=，由式（4）可得單元應變向量εe與單元位移向量ue之間的關系為

其中：Be為單元應變矩陣。

Be由各結點單元應變矩陣組合而成，即

式（7）建立了矩形板單元結點應變響應與位移響應之間的轉換關系。這個關系與單元結點力向量和位移向量之間的關系具有相同的表達形式，因此可通過類似于總體剛度矩陣組裝的過程，對單元應變矩陣Be進行組裝得到總體應變轉換矩陣B，然后根據式（2）從位移振型矩陣Φ即可得到應變振型矩陣Φε。

2 應變測試的傳感器布置方法

傳感器優化布置的目的是：①提高測試信號的信噪比；②選擇能夠使模態振型保持最大獨立性的自由度作為最優測點位置［15］。

傳感器數量一般由模態實驗要求確定。理論上傳感器數量最少應等于結構待識別的模態數，但考慮到信噪比、模態識別精度及可視化等要求，實際使用的傳感器一般多于待識別模態數。但是過多的傳感器采集的信息也會被噪聲淹沒，所以傳感器數量并不是越多越好［16］。

筆者假設已經獲得薄板結構的正應變振型矩陣Φε，以此為基礎，對EI法、MinMAC法和SVD法的實施過程進行討論分析，為薄板結構的應變模態測試實現傳感器優化布置。

2.1 有效獨立法

EI法從所有可能測點出發，利用模態矩陣形成信息陣，根據各位置測點對模態振型獨立性的作用大小為序，逐個去掉對信息矩陣秩的作用最小的待選位置，從而使模態振型線性無關性增強。

EI法計算過程為：

1）按應變測試方向，選擇全部正應變自由度為初始測點，根據應變振型矩陣Φε和初始測點建立模態矩陣Φs；

2）由式（9）計算有效獨立系數

3）根據ED中最小的元素所對應的位置刪除模態矩陣Φs中的行，即去掉對模態振型獨立性作用最小的測點位置，并更新模態矩陣Φs；

4）返回步驟2，直至剩余測點數目與傳感器數量相同，便是最優的傳感器測試位置。

2.2 MinMAC法

模態保證準則矩陣（modal ass urance criteria，簡稱MAC）可用來表征振型間的相關性，其計算公式為

其中：MACij是MAC矩陣的第(i，j)個元素；φi，φj分別為第i，j階振型向量。

MAC矩陣非對角元的值越小，表征各振型間相關性越小，即相關模態的可分辨程度越高。Min-MAC法采取逐漸減小MAC矩陣非對角元的方式，從傳感器待選測點中獲得最優位置。

MinMAC法具體過程如下：

1）結合結構特征與經驗選擇初始測點（初始測點數小于所需傳感器數），由應變振型矩陣和初始測點建立模態矩陣Φs；

2）遍歷所有剩下的可選測點，新增1個測點并更新Φs，按式（10）計算模態保證準則矩陣，選擇非對角元最大值最小的測點作為新增測點；

3）返回步驟2，直至新增的測點數等于傳感器數。

MinMAC法每一次增加的新測點位置都可以使得最新的MAC矩陣的非對角元最大值最小，盡可能滿足各階模態振型的獨立性。

2.3 奇異值分解法

與EI法類似，SVD法計算的對象也是Fisher信息陣。該方法通過分解信息陣，選擇使最小奇異值最大化的測點作為傳感器位置。該方法也是逐次增加新的測點，具體過程為：

1）選擇第1階模態中絕對值最大的點作為初選測點，根據振型矩陣和初始測點建立模態矩陣Φs，并記Fisher信息陣為；2）遍歷所有剩余可選測點，每次新增1個測點并更新Q，然后對Q進行奇異值分解，選擇最小奇異值最大的測點作為新增的傳感器位置；

3）返回步驟2，每次都留下一個最小奇異值較大的測點位置，直至達到傳感器數目為止。

2.4 3種方法的比較與分析

由于上述3種方法所使用的計算原理都不一樣，最終給出的測點布置方案也都不盡相同。

EI法和SVD法計算對象都是由模態矩陣形成的信息陣，得到對模態信息貢獻最優的測點，這兩種方法得到的測點具有較好的信噪比，但EI法還使感興趣的模態向量盡可能保持線性無關。MinMAC法主要從振型的線性無關性出發，得到的測點在信噪比方面不如另外2個方法。

綜上所述，在實際應用中建議優先選擇EI法確定的測點，這也是目前傳感器優化布置中使用最廣泛的一種方法，然后依次選擇MinMAC法和SVD法測點。此外，還應考慮振型的可視化要求，避免測點集中現象。

3 矩陣舵面模型驗證

筆者利用振動臺對矩形舵面模型試件進行基礎白噪聲激勵，在結構上布置若干應變測點，采用隨機子空間方法對應變響應信號進行工作模態分析，通過對比實際工況下舵面結構的模態頻率、阻尼比和振型向量MAC的測試結果，驗證傳感器優化布置方法在應變模態測試中的必要性和有效性。

圖2為鋁合金材質的舵面模型實驗照片，舵面下端用夾具安裝于振動臺臺面，板長為0.19 m，寬為0.15 m，厚為4 mm，信號采集設備為M+P系統，分析頻率為800 Hz，譜線數為800，頻率分辨率為1 Hz。應變片根據測點布置粘貼于模型懸臂薄板的表面，為了對比模態參數識別精度，在板的另一面布置1個加速度傳感器，用于常規加速度信號的模態參數識別。

圖2 矩形舵面模型驗證實驗照片Fig.2 Photo of rectangular rudder surface model verification experiment

首先用矩形板單元建立如圖3所示有限元模型，單元長和寬均為10 mm。通過有限元分析可知該結構在800 Hz頻帶內具有3階模態，然后通過應變轉換矩陣，得到正應變的振型矩陣。不失一般性，本例中選擇y向應變振型對傳感器進行優化布置。

圖3為優化前傳感器布置示意圖，其中：六邊形為加速度傳感器測點位置；正方形為應變傳感器測點位置，各測點間距均勻布置。圖4為測點優化前應變MIF曲線，MIF的實質是實測應變響應譜矩陣的最大奇異值［12］。MIF曲線反映了結構的第1階和第3階應變模態，但第2階模態的信息不明顯，模態參數識別時將會出現模態階次遺漏的問題，說明有必要對原有測點布置進行優化。

圖3 優化前傳感器布置示意圖Fig.3 Sensor layout before optimization

圖4 測點優化前應變MIF曲線Fig.4 Strain MIF curve before optimization of measuring points

根 據 前 文 所 述 的EI法、MinMAC法 和SVD法計算步驟，編制程序對應變測點進行優化計算，得到如圖5所示的3種測點優化布置方案和最終測點。由圖可知，3種方法由于計算原理不同，所得到的測點位置也不盡相同。EI法綜合了振型的線性無關性和測試信噪比要求，該方法所得的測點位置分布相對比較分散；MinMAC法主要考慮振型的線性無關性，測點分布有一定程度的集中現象；SVD法主要考慮應變信號的信噪比，所得測點位置主要分布在懸臂薄板的根部，測點集中現象較為嚴重。

圖5 3種測點優化布置方案和最終測點Fig.5 Three optimal layout schemes and final measuring points

在上述3種計算結果的基礎上，優先選擇EI法的測點，同時兼顧其他兩種方法的結果，以滿足振型線性無關性、測試信噪比和振型可視化等要求。還要注意到某些測點位于薄板的邊緣處，不利于應變片的安裝粘貼，對于這種情況可以選擇板內鄰近位置作為實際測點。圖5中正方形所標示的位置即為最終經過優化后的實際應變測點。

圖6為優化后應變響應的MIF曲線，與未優化的測點方案相比，第2階的應變模態信息更為明顯，說明了對傳感器測點進行優化布置，有助于提高模態信息的識別能力。

圖6 測點優化后應變響應的MIF曲線Fig.6 Strain MIF curve after optimization of measuring points

用工作模態分析中的隨機子空間法對實測信號進行模態參數辨識。表1為根據實測加速度信號、測點優化前后應變信號得到的結構前3階模態頻率和阻尼比，經過對比表明，測點優化后的應變信號能有效識別結構模態參數，解決模態識別階次遺漏的問題，識別精度與常規加速度信號的工作模態分析結果保持一致。圖7為實測y向應變振型的MAC圖。由圖可知，經過測點優化布置后，各階實測應變振型向量的正交性有明顯改善。

圖7 測點優化前后實測y向應變振型MAC圖Fig.7 MAC diagram of measured y-direction strain mode before and after optimization points

表1 懸臂薄板模態頻率和模態阻尼比識別結果Tab.1 Identification results of modal frequency and damping ratio of cantilever thin plate

4 結論

1）結構的應變振型是進行傳感器優化布置的動力學基礎，在實際應用中只需導出正應變的振型分量。

2）針對應變模態測試，研究了EI法、MinMAC法和SVD法3種傳感器優化布置方法，實際應用時建議優選EI法測點，并根據實際情況確定最終的測點布置，滿足信噪比、振型向量獨立性和可視化等要求。

3）在矩形舵面模型的應變模態實驗中，對比傳感器優化布置前后工作模態分析結果，表明測點優化后的應變信號能有效識別結構模態參數，防止模態識別階次遺漏的問題，改善模態參數識別精度，驗證了傳感器優化布置的必要性和有效性。

4）本研究成果可為舵面的顫振試飛、利用飛行數據進行工作模態識別等后續工作提供實驗測點布置方案，具有重要的工程應用價值。