基于軸橋柔性的100%低地板車動力學分析*

戚壯，張成成，王美琪，劉鵬飛

（1.石家莊鐵道大學機械工程學院 石家莊，050043）

（2.中車唐山機車車輛有限公司動車檢修事業部 唐山，063000）

引言

隨著大中型城市人口數量的快速增加，發展城市軌道交通顯得尤為重要。與城市地鐵軌道交通相比，城市輕軌交通設備維護費用和系統耗能更低，其中100%低地板車具有以下優點：①地板面低，無需設立高站臺，方便乘客上下車；②建設周期短并且節能節地，可與路面交通實現路權共享等。

我國越來越多的大中型城市開始引入低地板車并投入運營，作為公共交通車輛，其乘坐舒適性和運行安全性必然會受到廣泛關注。軸橋結構作為車輛的簧下質量，其大小會影響輪軌相互作用，從而影響車輛的動力學性能，如平穩性、安全性等。一般情況下將簧下質量視為剛體進行動力學建模，而在車輛的實際運行中由于簧下質量結構的不同，其固有模態振型會在輪軌激勵頻率和設備自振頻率產生共振時表現出來，從而影響車輛的動力學性能。筆者以某型100%低地板車的簧下軸橋設備為研究對象，運用模態疊加法進行坐標變換，在建立了剛柔耦合模型的基礎下，與多剛體模型在軌道不平順激擾下的振動響應和動力學性能進行對比。對比分析多剛體模型和剛柔耦合模型的動力學性能后，進一步對簧下軸橋柔性特性進行研究，為以后100%低地板車的工程應用研究提供一定程度的借鑒。

1 剛柔耦合模型動力學建模

1.1 軸橋有限元模型的建立及模態分析

此型100%低地板車采用獨立旋轉車輪［1］，軸橋是連接輪對的重要結構件，且作為簧下質量，其結構形式和本身特性不僅對車輛的輪軌相互作用影響巨大，而且對整車車輛動力學性能也有重要影響，因此將其考慮為柔性體，并研究其彈性特性對整車動力學的影響是很有必要的［2］。

基于柔性體軸橋有限元模型，進行自由模態計算，得到軸橋的自由振動模態，根據軸橋的振動模態分析其振動特性，求解出振動方程特征根和振動向量，得到每一階的固有頻率和振型。將軸橋的空間物理坐標轉換為模態坐標是求解步驟的關鍵。在小變形假設的前提下，浮動坐標系方法是將物體的運動視為浮動坐標系的大范圍運動與小彈性變形的疊加［3］。

圖1為柔性軸橋的空間坐標表示。基點O為附著在此柔性體上的質點，選擇浮動坐標系O′xyz。P為柔性體上的任意點，此任意點的運動可分解為浮動坐標系的牽連運動和相對浮動坐標系的變形運動的疊加。并取P點相對慣性參考系Oxyz，其相對于Pt點的矢徑為RP，相對于浮動坐標系的矢徑為RO，設柔性體在發生變形前的位置為Pt0，ρ和μ分別為P點的彈性形變向量和柔性體未發生形變時P點相對浮動坐標系的位置向量，rop為P點的位移矢量，如圖1所示，則有

圖1 柔性軸橋的坐標表示Fig.1 The coordinate representation of the flexible axle bridge

為計算P點加速度，將式（1）對t進行2階求導，得到

其中：ω為浮動坐標系O′xyz的轉動角速度。

以描述浮動坐標系O′xyz相對慣性坐標系姿態的角坐標θ=（θ1θ2θ3）的導數來表示浮動坐標系的角速度ω

則浮動坐標系的廣義坐標可以表示為

如果改用歐拉參數代替絕對坐標描述浮動坐標系的姿態，則q中的θ應以歐拉參數的坐標陣Λ代替。

變形位移μ用模態分析綜合法離散為有限自由度，則可表示為

其中：Φ為形函數矩陣，即模態分析法中的模態函數矩陣；qd為nd個模態坐標組成的陣列。如若不考慮柔性體內部阻尼的影響，則此時柔性體的自由振動微分方程是

其中：M矩陣為柔性體的質量矩陣；K矩陣為柔性體的剛度矩陣。

將兩個矩陣轉換為對角矩陣便于對微分方程解耦，即

其中：

式（6）變為

此時質量矩陣和剛度矩陣都是正定矩陣，正定系統只可能出現形如q=φasin(ωt+φ)的同步運動，即將q=φasin(ωt+φ)代入式（7）中，得下列齊次方程組

式（8）有非零解φ的充分必要條件是系數行列式為0，即

由式（9）可求解方程對應的n個特征值ω1，ω2，…，ωn，從而可求解φ1，φ2，···，φn，得到

即得到振動微分方程，該過程將求解空間耦合向量μ轉化為了求解模態向量矩陣φ，進而求解系統固有頻率得到計算結果。

軸橋的固有頻率在第3階達到了152.53 Hz，傳統車輛的振動頻率主要集中在低頻，顯然高頻在本研究中并無研究必要。通過有限元法求得其前20階自由模態，一般截斷模態取分析模態的2倍，以保證求解精度，因此筆者取其前10階模態進行研究，其振動頻率見表1。由表可知，此柔性軸橋的振動形式主要體現為垂向彎曲和扭轉，因此后續重點分析其出現的振動響應結果。部分自由模態振型如圖2所示。

表1 柔性軸橋前10階自由模態Tab.1 The first 10 free modes of the flexible axle

圖2 部分自由模態振型Fig.2 Partial free vibration modes

1.2 剛柔耦合動力學建模

獨立旋轉車輪低地板車輛的轉向架結構主要包括輪對、軸橋、構架以及一、二系懸掛裝置，筆者主要研究簧下質量軸橋的柔性特性，軸橋材料為某種合金鋼，其彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7 900 kg/m3［4-6］。在HYPERMESH中 實 現 柔 性 體的離散，在ANSYS中求解模態，進一步在UM動力學軟件中搭建了100%低地板車整車剛柔耦合動力學模型。圖3為UM動力學軟件中的100%低地板車整車動力學模型，圖4為轉向架剛柔耦合動力學模型的建模過程。

圖3 整車動力學模型Fig.3 Vehicle dynamics model

圖4 轉向架剛柔耦合模型建模過程Fig.4 Rigid-flexible coupling model modeling process of bogie

2 剛柔耦合模型動力學對比分析

2.1 軸橋的振動響應對比分析

車輛在運行過程中會受到軌道隨機不平順的激擾，該激擾由軌道層級傳遞到車體引起整車振動，根據城市有軌電車的運行情況，以美國Ⅴ級譜作為軌道隨機不平順激擾，車輪踏面為某種特殊車輪踏面。在速度為70 km/h的工況下對振動響應明顯的一系彈簧座處進行觀察研究，并進行軸橋柔性模型和剛性模型的振動響應特征對比分析［7-8］。

圖5分別為軸橋剛性模型和軸橋柔性模型一系彈簧座處的橫向振動和垂向振動加速度時域響應分析圖。由圖可知：橫向振動加速度除個別剛性沖擊外，柔性體整體的振動響應要低于剛性體，并且振動規律也完全不同；而在垂向加速度振動響應的比較中，兩者無論從振動規律還是振動加速度幅值大小都幾乎相同。

圖5 加速度對軌道不平順的時域響應Fig.5 Time domain response of acceleration to track irregularities

圖6分別為軸橋剛性模型和軸橋柔性模型在彈簧座處的橫向振動和垂向振動加速度頻域響應分析圖。由圖可知：剛性模型橫向加速度的振動能量主要集中在5～28 Hz，而剛柔耦合模型則是集中在1～30 Hz，且幅值相較于剛性模型振動低15%左右；而垂向振動的頻域分析中，除剛柔耦合模型能量幅值在2～10 Hz略小于剛性模型外，兩模型的整體振動響應規律和能量分布大致相同。由計算結果發現軸橋的垂向彈性特性并未表現出來，推測在此工況下軸橋的垂向彈性特性并未被激發。

圖6 加速度對軌道不平順的頻域響應Fig.6 The frequency domain response of acceleration to track irregularities

2.2 整車安全性對比分析

筆者研究的軸橋作為簧下質量，會直接對輪軌關系造成影響，當車輛通過軌道線路不平順時，會產生較大的輪軌動作用力，此作用力會影響列車安全性、平穩性和穩定性等，因此需要在考慮此軸橋結構本身的彈性特性下，基于整車動力學模型對安全性進行分析。

設置車輛通過線路的圓曲線長度為150 m，緩和曲線長度為100 m，曲線半徑為300 m，曲線超高為0 mm，筆者此處未設超高旨在極限情況下考慮車輛的曲線通過性，至于不同工況下的曲線通過性分析會在后續研究中展開［9-10］。以美國V級譜為軌道隨機不平順激擾，分別讓剛性模型和剛柔耦合模型以不同的車速通過曲線，計算輪軸橫向力、輪軌垂向力、脫軌系數和輪重減載率，并進行對比分析。

圖7為安全性計算結果。由計算結果可知：剛柔耦合模型的輪軸橫向力、脫軌系數指標都高于剛性模型，尤其脫軌系數平均升高20%左右，這可能是因為軸橋的橫向彈性特性被激發造成輪軌作用劇烈，而導致動力學性能下降；輪軌垂向力、輪重減載率系數則是降低的，這可能是因為軸橋的垂向彈性特性并未被激發，但在剛柔耦合動力學模型中考慮了軸橋的柔性，其自身的彈性適當的緩沖了垂向振動，從而使車輛的動力學性能在垂向上表現出更好的結果。在動力學分析計算時應適當考慮結構本身彈性特性，當其自身彈性對車輛動力學影響較大時，應將結構考慮為柔性體進行剛柔耦合動力學建模。

圖7 安全性計算結果Fig.7 The results of security calculation

3 軸橋柔性體的彈性特性分析

通過分析對比柔性軸橋和剛性軸橋時域和頻域的振動響應，發現在將軸橋考慮成柔性體時，橫向彈性特性被激發，在垂向振動響應中，柔性體和剛性體并未表現出明顯區別，懷疑是結構的固有振動頻率太高，無法被現有的激勵所激發［11-12］。為找出其可被激發的振動頻率，通過研究發現適當調整軸橋的厚度可激發其振動模態。階梯降低軸橋厚度分別建立剛柔耦合動力學模型并進行計算，厚度分別設為50，40，30，20，15和10 mm。軸橋不同厚度下各階約束模態頻率如表2所示。

表2 各厚度軸橋約束模態頻率Tab.2Constrained modal frequencies for axlebridge of various thickness Hz

由軸橋的振動模態分析可知，軸橋主要振動模態更多的表現為垂向彎曲和扭轉，而在2.1節中的振動響應分析中發現軸橋的橫向振動特性已經被激發且對比明顯，但垂向振動完全未表現出來，因此本節只研究垂向振動?？紤]是軸橋結構原因，將不同厚度下柔性體與原厚度柔性體一系彈簧座處的振動響應進行分析對比，并將計算結果進行傅里葉變換，得到頻域的振動響應進行分析。設置2.2節中的計算條件，進行仿真計算。

圖8和圖9分別為柔性軸橋的厚度為40和30 mm時的垂向振動時域和頻域分析圖。從圖中對比分析可知，將軸橋厚度降低至40和30 mm時與原厚度相比，其時域振動響應與原厚度相比并無明顯差異，振動加速度大小幾乎一致，振動規律基本相似；在頻域振動響應中，其振動能量都集中在1～20 Hz，幅值大小基本一致，振動規律接近一致，表明軸橋的彈性特性仍未被激發。

圖8 40 mm厚度柔性體時域和頻域的垂向加速度響應Fig.8 Vertical acceleration response of the 40 mm thick flexible body in time and frequency domains

圖9 30 mm厚度柔性體時域和頻域的垂向加速度響應Fig.9 Vertical acceleration response of the 30 mm thick flexible body in time and frequency domains

圖10為軸橋柔性體厚度為20 mm時其垂向振動加速度的時域和頻域分析圖。由圖可知，當厚度降低至20 mm時，在時域響應分析中，軸橋一系彈簧座處的振動加速度相較于原厚度，其幅值有所降低，振動規律也表現出一定的差異；在頻域響應分析中，與原厚度軸橋對比發現，此時軸橋振動能量主要集中在1～10 Hz，且兩厚度模型的能量峰值也有所不同，20 mm厚度模型能量峰值集中在5 Hz左右，原厚度模型的能量峰值則集中在16 Hz附近，20 mm厚度模型在15 Hz左右其第1階模態被激發，振動能量達到了此階段的最大值。此現象與表2中計算結果15.4 Hz相吻合。

圖10 20 mm厚度柔性體時域和頻域的垂向加速度響應Fig.10 Vertical acceleration response of the 20 mm thick flexible body in time and frequency domains

圖11和圖12分別為厚度為15和10 mm時軸橋柔性體的時域和頻域振動響應。由圖可知，在時域響應分析中，15 mm厚度的軸橋振動加速度幅值相較于20 mm時有一定程度的降低，振動規律也有所不同；而在頻域分析中，與表2對應的第1和第2階模態分別在10和15 Hz左右被激發。當厚度為10 mm時，時域響應分析中的振動加速度幅值相較于15 mm明顯降低，振動規律也表現出較大差異；在頻域響應分析中，其前6階模態都已被激發，且在其振動模態被激發的頻率處發生能量集中。

圖11 15 mm厚度柔性體時域和頻域的垂向加速度響應Fig.11 Vertical acceleration response of the 15 mm thick flexible body in time and frequency domains

圖12 10 mm厚度柔性體時域和頻域的垂向加速度響應Fig.12 Vertical acceleration response of the 10 mm thick flexible body in time and frequency domains

由上述計算結果可知，軸橋在原厚度50 mm時其結構垂向振動彈性特性并未被激發，隨著結構厚度降低，軸橋的固有頻率發生改變，彈性特性逐漸被激發。當結構固有頻率降至15～25 Hz，其彈性特性開始被激發，當結構固有頻率繼續降低時其低階彈性特性將完全被激發。這也解釋了2.1中彈性體和剛性體在軌道不平順激擾下，為何無明顯差異。因此，在結構設計時，軸橋的固有頻率應高于25 Hz，避免與其他部件發生共振，加劇輪軌相互作用而導致的車輛動力學性能下降。

4 簧下軸橋結構輕量化優化設計

4.1 優化重建模

軸橋結構為簧下質量，而簧下質量的大小對輪軌相互作用關系有著很大的影響，因此對軸橋進行結構輕量化設計會減小輪軌相互作用，減輕輪軌磨損，降低輪軌力，提高車輛的動力學性能。通過拓撲優化的方法得到滿足性能要求的結構分布的最優解。軸橋材料為某種合金鋼，其彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7 900 kg/m3，軸橋的初始長度為2.2 m，寬度為0.8 m，厚度為50 mm。

通過HYPERWORKS中的Optistruct拓撲優化模塊，設置好優化條件以及約束工況后，將模型提交到Optistruct中進行優化求解，在15次迭代后得到模型的單元密度分布云圖，高密度區表示此區域需要材料，低密度區表示此區域無需或需要較少材料。圖13為拓撲優化結果。

圖13 拓撲優化結果Fig.13 The results of topology optimization

根據密度分布，將圖14紅色部分的單元變為殼單元，中間連接橋的位置幾乎不受力，但是為了其他結構的設計和連接起到軸橋過度的作用，將中間橋的單元適當減少但不完全去掉。優化后結果的網格劃分如圖14所示，其中實體網格為20 200個，殼單元網格為1 992個。優化后的質量為530.9 kg，較優化前的質量624 kg減少了15%。表3為模型優化前后的固有頻率對比。由表可見，優化后軸橋的第1階頻率提高了12.3%，第2階頻率提高了2%。在軌道系統中，車輛運行時振動能量主要集中在低頻，約束模態頻率提高，更容易避免產生共振，減輕輪軌振動，降低磨損，提高安全性和舒適性。

圖14 拓撲優化重建有限元模型Fig.14 The finite element model after topology optimization

表3 優化頻率對比Tab.3 Optimized frequency comparision

4.2 軸橋靜強度分析

在結構優化的基礎上進行軸橋極限工況的靜強度分析，軸橋材料為某種合金鋼，其彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7 900 kg/m3，屈服強度為600 MPa，疲勞強度為300 MPa。考慮軸橋在極限工況下的靜強度，參照EN 13749標準中的工況加載方式將車輛的極限垂向載荷和極限橫向載荷加載到軸橋上，工況組合方式為車輛通過直線、曲線和道岔［13-14］。各工況下軸橋優化前后的最大Von Mises應力計算結果如表4所示。

表4 優化前后最大Von Mises應力Tab.4 Maximum stress of Von Mises before and after optimization MPa

圖15分別為軸橋結構優化前后應力最大的Von Mises應力云圖。由圖可知，優化前的最大應力為247.6 MPa，優化后的最大應力為387.5 MPa，均小于材料的屈服極限。優化前后軸橋的靜強度滿足設計要求。

圖15 Von Mises應力云圖Fig.15 Von Mises stress nephogram

4.3 優化后安全性對比分析

分別以優化前后的軸橋進行剛柔耦合動力學建模，設置2.2中的工況進行安全性計算分析。

圖16為優化前后軸橋剛柔耦合模型和剛性模型的安全性計算結果對比。由圖可知，在60 km/h條件下，輪軸橫向力優化前為11.9 kN，優化后為11.6 kN，降低了2.5%；脫軌系數優化前為0.7，優化后為0.62，降低了11.4%。輪軌橫向力和脫軌系數由于簧下質量的降低，減輕了輪軌相互作用力，使車輛安全性提高。輪軌垂向力優化前為43.5 kN，優化后為46.2 kN，升高了6.2%；輪重減載率優化前為0.36，優化后為0.37，升高了2.7%。反觀輪軌垂向力和輪重減載率有所升高，可能是由于在輕量化優化后，軸橋本身在垂向上表現出的彈性特性不如優化前，導致輪軌垂向力和輪重減載率升高。

圖16 軸橋優化后安全性計算結果Fig.16 Security calculation results of axle bridge after optimization

優化后軸橋的結構改變導致其固有頻率也隨之改變，而質量的減輕則從根本上減小了輪軸橫向力和脫軌系數這兩個重要的安全性指標使得車輛動力學性能提升，安全性提高，減少了輪軌磨損，降低檢修成本。

5 結論

1）通過模態疊加法，將柔性變形的時間與空間耦合相關性進行坐標變換，達到解耦目的，從而實現了將無限的自由度轉換成可以計算的有限自由度。

2）在對比分析多剛體模型和剛柔耦合模型的整車振動響應和動力學性能時，柔性體在整車運行時橫向彈性特性被激發，加劇了輪軌相互作用，導致了輪軌橫向力增大，脫軌系數升高。而垂向特性未被激發，但在動力學計算時，其本身的彈性適當的緩沖了輪軌垂向力，引起輪重減載率降低。

3）在軌道不平順激擾下研究基于整車模型的軸橋柔性特性時，與多剛體模型進行對比，發現原有柔性模型的橫向彈性振動被激發而垂向彈性特性并未被激發。在軸橋結構的固有頻率降至15～25 Hz時，軸橋的垂向彈性特性被激發，且在其固有模態激發時發生能量集中。

4）經過優化的軸橋模型質量減少了15%，1階頻率提高了12.3%，2階頻率提高了2%，且靜強度滿足設計要求。在安全性分析中，輪軸橫向力降低了2.5%，脫軌系數降低了11.4%，結果顯示車輛的動力學性能得到提升，達到了優化目的。