耦合Helmholtz共振消聲器的設計及參數分析*

韓雷，季宏麗，裘進浩

（南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016）

引言

傳統的Helmholtz共振消聲器通常由共振腔通過頸部與主管道連通構成，廣泛用于低頻噪聲的抑制［1-6］。然而，由于Helmholtz共振器的諧振特性，消聲器只有1個消聲峰。因此，通常使用多個具有不同諧振頻率的共振器相結合實現在較寬的頻帶范圍內的噪聲衰減［7-9］。Xu等［10］設計了一對串聯組合的頸腔結構（頸-腔-頸-腔），能夠在低頻范圍內產生2個諧振峰，并可以通過改變結構參數來控制消聲峰頻率，使雙Helmholtz共振器串聯結構成為理想的消聲元件。此外，對內插頸［11］、圓形同心腔［12］、圓形非同心腔［13］以及內襯吸聲材料［14］等物理參數對共振特性的影響也進行了相關研究。Griffin等［15］設計了一種由2個Helmholtz共振器和1個耦合元件組成的機械耦合Helmholtz共振器，可以在更大的帶寬上實現噪聲的衰減。

除上述無源方法外，還采用了無源-有源混合方法來拓展噪聲衰減帶寬。文獻［16-17］開發了一種基于半主動控制定律改變共振腔內活塞位置以改變腔體體積，從而調整消聲特性。Mcdonald等［18］提出了一種調控方式類似于Matsuhisa的自適應Helmholtz共振器，根據共振腔與主管道系統之間聲壓的相位關系同時調節共振腔體積和頸部長度。高林等［19］基于半主動控制算法對Helmholtz共振器的頸部橫截面積進行調控，實現多個傳遞損失消聲峰。

利用多個共振器相結合改善消聲頻帶的方法大大增加了結構的體積。雖然無源-有源混合的方法可以有效地抑制低頻噪聲，但是控制系統中包含傳感器、執行器、實時控制器、信號調節和功率放大器等部件，使噪聲衰減系統的成本大幅提高［20］。因此，為了在不改變原有尺寸的情況下改善消聲性能，筆者提出了一種在共振腔內安裝有柔性板結構的機械耦合Helmholtz共振消聲器。柔性板結構由輕薄的柔性面板及附加質量塊組成，將共振腔分為上下2部分。入射聲波激勵起柔性板結構產生振動，使其成為上下2部分腔體之間的耦合元件。柔性板結構與上部腔體（背腔）相結合作為原系統的附加自由度，從而將原Helmholtz共振峰一分為二，有效地改善了傳統Helmholtz共振消聲器的聲學性能。

1 耦合Helmholtz共振式消聲器

基于傳統共振消聲器所提出的耦合Helmholtz共振式消聲器模型如圖1所示。將附加有質量塊的柔性板結構放置在Helmholtz共振腔中，使共振腔分隔為上下2部分腔體（腔體1和腔體2）。腔體之間通過柔性板結構相互耦合，可以認為腔體2和柔性板結構組合為新的附加自由度系統，從而使傳統Helmholtz共振器進化為2自由度共振系統。

圖1 耦合Helmholtz共振消聲器示意圖Fig.1 The diagram of the coupled Helmholtz resonance muffler

共振腔內的柔性板附加有非對稱形狀的質量塊，質量塊可以是任何其他形狀，如環形或圓柱形。由于作為耦合元件的柔性板對上下腔體的共振具有直接影響，因此附加質量塊的目的在于調整柔性板的振動特性，以期改變共振消聲器的消聲特性。圖2所示為柔性板結構的示意圖，4個質量塊完全相同且為半圓形，兩兩對稱分布在柔性板兩側。對稱分布的2個質量塊的圓心與柔性板中心在同一直線上，且質量塊之間圓心到圓心的距離為2(r+lm)。柔性板結構可以被入射聲波激勵產生振動，且其四周邊界通過上下腔體的剛性壁夾緊為固支邊界條件。柔性板與質量塊之間的連接為剛性連接，消聲器的固體結構部分均假定為聲學剛性壁面。

圖2 柔性板結構示意圖Fig.2 The diagram of the flexible plate with mass blocks

2 理論基礎

由于管道尺寸遠小于低頻范圍聲波的工作波長，因此可以假定在管道中沿軸線方向傳播的入射聲波為平面波。耦合Helmholtz共振消聲器的2維理論模型可以簡化為如圖3所示，其中數字標注的位置表示對應的截面，此處主要用于標明后續計算中管道內不同截面處的聲學阻抗。

圖3 消聲器2維理論模型Fig.3 2D theoretical model of the muffler

共振器的頸部和腔體1均可視為均勻截面管結構。基于上述平面波假設，頸部和腔體1對應的入口處的聲學阻抗［21-22］可以分別表示為

其中：ρ和c分別為空氣密度和聲速；k為聲波波數；s和S分別為頸部和腔體的截面積；H和h分別為共振腔總深度及腔體2的深度；Z3，Z4，Z′4和Z5分別為截面3，4，4′和5處對應的聲阻抗；l′=l+tw+0.85d為頸部的聲學長度［21］；tw為頸部壁厚；d為 頸 部內徑。

由于腔體2的頂部被剛性壁封閉，因此根據式（2）可得截面6處的聲學阻抗為

其中：當腔體2的深度遠小于聲波波長時，式（3）可進一步近似為Z6=-jρc(Skh)。

根據Beranek聲學變壓器理論［23］，當聲波在截面積不連續的管道中傳播時，對于在截面突變交界面兩側的聲阻抗存在一個轉換比。因此，頸部與腔體1連接處即截面4和4′處的聲阻抗存在如下關系

根據式（1）～（4）的推導，只要得到截面5和6之間的聲阻抗關系即可得到截面3處的聲阻抗Z3。假設圖3中柔性板沒有附加質量塊，則其運動方程根據文獻［24］中的推導公式可以表示為

老馬說：“這就是你的事了，但我認為死者真正死因是急性腎衰竭。而不是以往的多數死于失血過多，尸體有很明顯的尿中毒癥狀，當然具體的死因還需要進一步驗證。”老馬邊說邊用擴張器撐開死者傷口，又說：“你看，傷口中還進行了必要的止血手術，而且肯定還進行過嚴格的消毒程序，不然在這么熱的天傷口部分肯定先腐爛，但是你看，傷口部位腐敗程度反而低于身體其它部位。”

其中：xp為板的位移；r為板上任意位置；ρs和tp分別為板的密度和厚度；D為無內阻尼彎曲剛度；p5和p6分別為截面5和截面6處的聲壓幅值。

假設只考慮低頻范圍內起主導作用的結構第1階振型，根據文獻［24］中對于柔性板振動特性的理論計算，可得截面5處的聲阻抗為

根據主管道截面1，2和3處的聲壓和質量速度連續性條件，將聲壓和質量速度作為兩個狀態變量，利用傳遞矩陣法可以得到如下矩陣關系［25］

因此，耦合Helmholtz共振消聲器的傳遞損失TL可以確定為

結合式（1）～（4）以及式（6）即可獲得頸部截面3處的聲阻抗Z3，進而得到消聲器的傳遞損失TL。通過以上對安裝有簡單柔性板的消聲器的TL推導過程可知，柔性板的聲-振特性及安裝位置對TL具有顯著的影響。基于此結論，設計了如圖2所示的柔性板結構，以提高其振動特性的可調性。然而，對于附加了質量塊的柔性板結構，其運動方程將隨之更加復雜化，不便于進行解析計算。因此，在后續的研究中，將借助于數值仿真和實驗驗證定性地分析柔性板結構的相關幾何參數及安裝位置對TL的影響規律。

3 參數影響規律分析

表1 柔性板和質量塊的材料物理屬性Tab.1 The material physical properties of flexible plate and mass blocks

表2對應的耦合Helmholtz共振消聲器以及傳統Helmholtz共振消聲器的傳遞損失曲線如圖4所示。顯然，柔性板結構的引入將原TL消聲峰一分為二，有效地改善了其聲學性能。為了定性分析柔性板結構參數對消聲特性的影響，設計以下不同的物理參數值，如表3所示，其中A～E表示各結構參數所選取的5種不同參數值。系統地改變其中一個參數值而保持其他結構參數為初始值不變，分析各結構參數對傳遞損失的影響規律。

3.1 結構參數的影響

首先，對質量塊不同厚度tm情況下對應的TL進行分析，過程中其他結構參數保持表2所示初始值不變。圖5為不同tm對應的傳遞損失曲線和消聲峰頻率fpi變化的曲線。由圖可見，隨著tm的增大，第1和第2消聲峰對應的頻率均向低頻方向偏移。顯然，隨著質量塊厚度的增加，柔性板結構的共振頻率也將變低。由于消聲器聲學特性與柔性板結構的振動特性密切相關，因而質量塊厚度的增加導致耦合Helmholtz共振消聲器的消聲峰頻率向低頻方向偏移。

圖5 質量塊不同厚度對應的傳遞損失和消聲峰頻率Fig.5 Different thicknesses of mass block correspond to transmission loss and peak frequencies

為了進一步探究消聲峰對應的物理消噪機理，圖6展示了在消聲峰對應頻率下柔性板結構的法向線位移以及腔體1和腔體2的內部聲壓云圖隨著質量塊厚度的變化情況。由圖可知，第1消聲峰對應頻率下柔性板的線位移隨著tm的增大而增大，表明柔性板的振動增強，聲波透過柔性板由腔體1進入腔體2的能力也隨之提高，同時，如圖6（c）第1行聲壓云圖所示，腔體2內部的聲壓隨著tm的增加而升高，且第1消聲峰對應的頻率逐漸接近柔性板與腔體2之間的耦合諧振頻率154 Hz；相反，隨著tm的增大，第2消聲峰對應頻率下柔性板的線位移變小，即其聲學剛性增強，同時，腔體1內部的平均聲壓也隨之升高，第2消聲峰對應的頻率逐漸接近于腔體1所引入的共振頻率224 Hz。因此，消聲器的消聲峰主要由腔體1和腔體2與柔性板結構之間產生耦合共振而依次引入，且消聲峰頻率變化的上下限則主要取決于腔體2和柔性板結構組成的耦合系統對應的諧振頻率，以及腔體1對應的諧振頻率。

圖6 在消聲峰頻率下質量塊不同厚度對應的柔性板結構線位移以及腔內平均聲壓Fig.6 Different thicknesses of mass block correspond to line displacements of the flexible plate and the average pressure in the cavity at resonance frequencies

其次，根據式（5），質量塊的布放位置對柔性板的振動特性同樣具有一定的影響。圖7為質量塊到柔性板中心不同距離lm對應的傳遞損失、消聲峰頻率和柔性板結構振動模態。當lm變大時，TL的第1和第2消聲峰頻率均向高頻方向偏移。分析柔性板結構的振動模態，如圖7（c）所示，質量塊間距離的增加對柔性板中心位置的影響越來越小，同時增加了柔性板四周的等效剛度，因而柔性板結構的共振頻率隨著質量塊距離的增加向高頻方向偏移，進而影響了消聲器TL峰值頻率的變化。

圖7 質量塊間不同距離對應的傳遞損失、消聲峰頻率和柔性板結構振動模態Fig.7 Different distances between mass blocks correspond to transmission loss and peak frequencies as well as vibration modal of flexible plate

此外，柔性板厚度變化對消聲器傳遞損失以及消聲峰頻率的影響如圖8所示。隨著tp的增加，柔性板的彎曲剛度變大，其特征頻率也隨之提高，因而消聲峰頻率向高頻方向偏移，同時，入射聲波激勵柔性板產生的振動減弱，導致腔體2與柔性板的耦合效應降低。圖8（a）中插圖所示為當tp分別增加至0.8 mm和1.0 mm時傳遞損失的第2個消聲峰，其對應的消聲峰幅值較小，基本可忽略不計。此時，第1消聲峰對應的頻率基本保持不變，分別為222 Hz和223 Hz，與腔體1單獨存在時產生的消聲峰頻率224 Hz相近。因此，當柔性板厚度增加至一定數值時，可近似將其等效為聲學剛性壁面，此時TL的消聲峰主要是由腔體1的共振引入。

圖8 柔性板不同厚度對應的傳遞損失和消聲峰頻率Fig.8 Different thicknesses of flexible plate correspond to transmission loss and peak frequencies

最后，由于柔性板結構在共振腔中的位置對其內部腔體的聲學阻抗具有直接影響，因此有必要探討腔體2的深度h對消聲器TL的影響。圖9為不同h對應的傳遞損失及消聲峰頻率變化曲線。由圖可見，隨著h的增加，第1消聲峰頻率逐漸降低，第2消聲峰頻率則逐漸升高。為了探究內在原因，分析了柔性板結構的線位移及腔體聲壓云圖，如圖10所示。隨著腔體2深度的增加，第1消聲峰對應頻率下柔性板的振動逐漸增強，消聲峰主要由腔體2與柔性板間的耦合諧振引入，因而第1消聲峰對應的頻率隨著腔體2深度的增加向低頻方向偏移；相反，第2消聲峰對應頻率下柔性板結構的線位移隨著腔體2深度的增加而減弱，第2消聲峰的引入主要由腔體1的諧振產生。根據Helmholtz共振頻率fr=可知，h的增加使得腔體1的諧振頻率升高，即第2消聲峰頻率向高頻方向偏移。

圖9 腔體2不同深度對應的傳遞損失和消聲峰頻率Fig.9 Different depths of cavity 2 correspond to transmission loss and peak frequencies

圖10 在消聲峰頻率下腔體2不同深度對應的柔性板結構線位移以及腔內平均聲壓Fig.10 Different depths of cavity 2 correspond to line displacements of the flexible plate and the average pressure in the cavity at resonance frequencies

3.2 參數影響的驗證分析

在不同的結構尺寸下，進一步驗證以上各個結構參數對TL的影響規律。圖11為具有不同質量塊厚度的柔性板結構隨著質量塊間距離的變化引起的TL消聲峰頻率變化曲線。質量塊間距離的變化對消聲峰頻率的影響與圖7保持一致。另外，隨著質量塊厚度的增加，消聲峰頻率在不同的質量塊距離下均向低頻方向偏移，與圖5一致。同時，第1消聲峰頻率向低頻方向偏移的幅度隨著質量塊距離的增加而減小，驗證了質量塊對柔性板中心區域振動的影響隨著質量塊間距離的增大而減小的結論。

圖11 質量塊不同厚度對應的第1和第2消聲峰頻率隨質量塊間距離的變化Fig.11 Different thicknesses of mass block correspond to the first and second peak frequencies vary with different distances of mass blocks

將具有不同厚度的柔性板分別放置在共振腔中不同位置對TL消聲峰頻率的影響如圖12所示。與圖8結論相同，消聲峰頻率隨著柔性板厚度的增加逐漸向高頻方向偏移。由于當柔性板厚度增加至一定程度時，第1消聲峰主要由腔體1的共振引入。因此，當tp大于0.5 mm時，隨著h的繼續增加，第1消聲峰頻率的變化與圖9不同，反而向高頻方向偏移。另外，當tp=0.5 mm時，柔性板的特征頻率為215.22 Hz，與無柔性板結構的Helmholtz共振頻率213 Hz非常接近，因而盡管h不同，第1消聲峰頻率幾乎相同。

圖12 腔體2不同深度對應的第1和第2消聲峰頻率隨柔性板厚度的變化Fig.12 Different depths of cavity 2 correspond to the first and second peak frequencies vary with different thicknesses of flexible plate

4 實驗驗證

為了驗證以上對耦合共振消聲器結構參數分析的正確性，借助BSWA TECH阻抗管系統采用雙負載法［26］對消聲器的傳遞損失進行實驗測量。實驗過程中考慮了腔體2的深度h、柔性板厚度tp以及質量塊厚度tm這3種結構參數。實驗裝置如圖13（a）所示，質量塊與柔性板之間、柔性板邊緣與腔體1和腔體2的剛性壁之間均采用AB膠粘接，以實現剛性連接的條件。消聲器主通道與阻抗管連接處采用硅橡膠密封，激勵聲源為頻率60～500 Hz的白噪聲。圖13（b）為傳統Helmholtz共振消聲器與耦合Helmholtz共振消聲器傳遞損失曲線的實驗測量結果對比，其中腔體2深度h為49.5 mm，其他結構參數如表2所示。

圖13 消聲器傳遞損失測量的實驗裝置和安裝柔性板前后消聲器的傳遞損失曲線對比Fig.13 The experiment setup used to measure the transmission loss of muffler and the transmission loss spectrums of the muffler with and without flexible plate

圖14為消聲峰頻率隨著3個結構參數h，tp和tm的變化曲線。其中，下面兩幅圖為保持h=49.5 mm的情況下分別改變柔性板和質量塊的厚度測量的結果。對比實驗測量和數值仿真的結果，二者基本吻合，進一步驗證了以上對耦合共振消聲器結構參數影響規律分析的正確性。

圖14 消聲峰頻率隨不同結構參數變化的仿真與實驗結果對比Fig.14 Peak frequencies obtained by simulation and experiment vary with different structural parameters

5 結論

1）耦合Helmholtz共振消聲器產生的消聲峰主要由腔體1和腔體2與柔性板結構之間產生耦合共振引入，且消聲峰頻率變化的上下限主要取決于柔性板與腔體2構成的附加自由度系統對應的諧振頻率，以及腔體1對應的諧振頻率。

2）通過增加附加質量塊的厚度可以降低柔性板的共振頻率，從而使消聲器的消聲峰頻率向低頻方向偏移。

3）柔性板的厚度與其彎曲剛度成正比。增加柔性板的厚度將使其共振頻率向高頻方向偏移，進而提高消聲峰頻率。但是，當柔性板厚度增加至一定程度時，其聲學特性逐漸接近剛性壁面，導致柔性板結構及背腔形成的附加的自由度失去作用。

4）柔性板結構與腔體之間產生耦合效應的振動主要集中在中心區域，因此，質量塊間距離的增加使柔性板結構的共振頻率逐漸升高，且質量塊對其振動特性的影響逐漸減弱。

5）柔性板結構在腔體中的位置變化改變了腔體1和腔體2與柔性板結構的耦合諧振頻率。根據結論（1）可知，隨著腔體2深度的增加，消聲峰頻率間的差距將逐漸增大。