小學低年段學生數學抽象思維培育策略
——以分數教學為例

江蘇省蘇州市吳江經濟技術開發區長安實驗小學 邱美芳

數學教育家鄭毓信教授說：“數學核心素養的基本涵義就在于：我們應當通過數學教學幫助學生學會思維，并能逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”在數學教學中，我們不僅要教學生書本知識，更要注重學生學習方法、核心素養的培養。通過對數的特性的感悟，增強學生抽象出數量關系的能力，培養小學低年級學生的抽象素養。

一、對比策略：培養學生初步感知數的特性

對比，就是把具有差異、矛盾和對立的雙方安排在一起，進行對照和比較。對比在數學教學中發揮著不可估量的作用，能讓學生更好地發現知識的本質特征，學會對比對培養學生的抽象素養作用很大。

（一）從新舊對比到搭建聯系，建立直觀表象

數學教師在課堂教學中應抓住數學核心概念，選取學生熟悉的典型實例，讓學生經歷完整的數學抽象過程，在概念形成的學習中學會數學抽象，熟悉其“基本框架”。從舊知的導入到新知的搭建，讓學生在對比聯系的過程中建立直觀表象。

在教授《認識分數》時，我先復習上冊的把一個物體或圖形平均分如何用分數表示。再出示一個盤子，里面有幾個桃子，平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？根據已有的知識，進行知識間的聯系和遷移，學生馬上能回答出來，每只小猴吃這盤桃的1/2。在新舊知識間聯系的同時，還要引導學生進行比較，今天所學的知識和之前的有什么相同和不同之處。現在是一盤桃，所以可以把一盤桃看做一個整體，把一個整體平均分成幾分，每份是它的幾分之一。在生活中，我們平均分的對象可能是1個物體或圖形，也可能是一些物體，所以學習今天的知識很有必要。在進行知識間遷移的過程中產生對比的意識，對新知產生需求意識，才能讓學生更好地理解知識本身。

喚醒學生的舊知，出示未知個數的桃子，避免桃子個數對學生產生干擾，讓學生把一些物體看作一個整體，進行新舊知識間的聯結，再進行對比引導，讓學生認識到今天所學的知識與之前的不同之處，更好地建立分數的直觀表象。

（二）從表象到抽象的對比，感悟數的特性

通過從表象到抽象，排除外部世界與數學本質無關的東西，把與數學有關的東西抽象到數學內容，形成數學研究的對象。讓學生從形式開始，引導學生從形式關注到抽象的內容，從而來感悟數的特性。

我們可以把一盤桃子看作一個整體，把這盤桃圈起來，還可以把什么看作一個整體呢？學生紛紛發言，糖、餅干、橘子、香蕉等，都可以看作一個整體進行平均分。隨著學生的回答，替換圈中的物體。我追問：“那5個圓形可以嗎？”生遲鈍了一會說行的。“那6個數字或字母呢？”我接著問。我把圈中的物體去掉，留下一個圈，學生思考，在我的引導下，學生們越說越多。這一盤未知個數的桃子也可以是其他物體，可以是桃子、蘋果、糖果、餅干，也可以是圖形或數等。讓學生從具體的物體、圖形等表象的東西到只留下一個圈，讓學生把具體的物體或圖形抽象出來，摒棄一些外在的特點和不同，抽出相同的特點。都是把這些物體看作一個整體，平均分給2只小猴，都要平均分成兩份，那么每只小猴都分得這盤桃的1/2。

一盤桃子、一包糖只是表象，是生活中的具體事物，只有把它抽象出來，變成數學本質的東西，才能讓學生理解分數的真正意義。引導學生從形式關注到抽象的內容，才能有效地感悟數的特性。

二、體驗策略：培養學生深度理解數的特性

數感的培養離不開學生的參與和體驗，在體驗中抽取其共同的數學本質屬性或特征，并借助定義和推理進行邏輯建構。體驗是動態的、綜合的學習過程，它能調動學生的感知、記憶、想象、思維等功能進入學習的最佳狀態，正如蘇霍姆林斯基所說的“兒童的智慧在他的手指尖上”。

（一）在體驗中縱橫探究，理解數的特性

知識的鞏固需要在操作中進行，從而增強對知識的進一步理解。在練習中，正確的答案并不是教學的唯一目的，更重要的是學生對題目的理解，和對一些規律、相同與不同點之類的觀察探究意識，對本質東西的抽取過程等都尤為重要。

在理解分數的特性的過程中，要注重讓學生動手操作，并進行縱橫探究，引導學生思考：6個桃子平均分給3只小猴和12個桃平均分給3只小猴，為什么每份的個數不同，但都可以用1/3來表示？6個桃，平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的1/2。6個桃，平均分給3只小猴，每只小猴分得這盤桃的1/3。都是6個桃，為什么每份表示的分數卻不一樣？在理解分數本質含義的過程中，注重讓學生動手探究，通過分一分認識到分數跟平均分的份數有關，與個數無關。

通過操作，進行縱橫探究，更加豐富學生的感知，去除一些外在的干擾，抓住知識的本質，弄清分數與什么相關，與什么無關，分數表示的含義到底是什么，從而追其本質。

（二）在體驗中將分數符號化，抽其本質特征

符號化是數學抽象的特征之一，數學每抽象出一個重要的概念，通常會賦予符號表示。數學符號是具有簡潔性和抽象性的規范語言，它準確、清晰，具有簡約思維、提高效率、便于交流的特點。

在教學時，這盤桃如果是4個，平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的1/2；如果是6個、8個或一籃桃子，每只小猴也是分得這盤桃的1/2。通過變換桃的個數，讓學生進行視覺體驗和思維體驗，認識到只要平均分給2只小猴，每只小猴就分得這盤桃的1/2。接著引出，如果平均分給3只、4只……，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾。抓住分數意義的本質，從而認識并抽象出只要把這盤桃平均分成幾份，每份就是這盤桃的幾分之一。反之，分得了這盤桃的幾分之一就要把它平均分成幾份。

通過一盤桃個數從具體的數量到未知的量的變化，摒棄外在的干擾因素，豐富學生對于分數本質的理解。這樣的體驗訓練，讓學生對分數符號產生直接的頭腦反應。

三、應用策略：培養學生系統建構數的特性

數學抽象思維是人數學思維發展的高級階段，經歷數學抽象過程，是促進學生數學抽象思維發展的必由之路。培養小學生的數學抽象素養，必須要注重數學學習的基礎知識和基本技能，善于引導學生進行數學思考，學會解決數學問題，在這一系列的過程中，逐步培養學生的數學抽象素養。

（一）在解決問題中拓展抽象思維的價值

數學知識的價值在于它能幫助我們解決問題，抽象思維的價值也在于它能在不同形式的問題解決中對我們產生一定的幫助，所以，抽象思維不能光說不練，而要在練習中將其內化拓展。

12個桃可以平均分成幾份，每份是它的幾分之一？先分一分，再填一填。讓小組分組進行討論、操作，來解決問題。在巡視的過程中，發現有的學生沒有思考就直接動手進行分，有的學生能說出1—2種，但有的學生能按順序說全，可以平均分成2份、3份、4份、6份、12份，每份分別是整體的1/2、1/3、1/4、1/6、1/12。要表示12個桃的幾分之一，只要考慮可以把12平均分成幾份就可以，有序而且不會遺漏。似乎一切都很順利，沒有什么問題。當出示一籃桃，問學生想吃它的幾分之一？學生紛紛回答1/2、1/3、1/4、1/5等。“那要不要考慮這籃桃的個數能不能平均分成3份、5份呢？”學生們都不作答。

在不出示桃子的個數時，學生可以任意說，但當個數是已知的，學生就會被桃子的個數所限制，變得不太會思考了。為此，我們要引導學生認識到，只要把一個整體平均分成幾份，每份就是它的幾分之一，我們只是取了正好可以完整地平均分的情況而已。在正確的引導下，讓學生在解決問題中內化分數的基本含義，拓展抽象思維的價值。

（二）在數學應用中積累抽象思維的經驗

思想一定是以知識為載體的，方法一定先于思想，也就是說思想一定是建立在知識和方法學習的基礎上。所以，要培養學生的抽象思維能力，要經常地訓練，才能掌握方法。教師要結合教學內容和學生的實際，巧妙地讓學生在生活場景中學會應用，才能讓學生積累經驗，從而更好地將所學的知識加以運用。

在解決問題中我設計了這樣一個環節：小丁邀請朋友來家里玩，他準備了一些糖果，先來了2個朋友，小丁拿出6粒糖果放進果盤，每人吃2粒，每人可以吃了它的1/3。又來了4位朋友，小丁還是要每人發2粒，于是又拿了幾顆放進果盤，現在每人可以吃它的幾分之一？學生被這個陌生的情境蒙住了，一時不知該如何解答。前后兩次，小丁都是可以吃2粒糖，為什么前一次是吃糖果的1/3，后一次是吃糖果的1/7呢？面對一系列的生活場景問題，顯然有部分學生就難以輕松應對了。

為什么前后小丁可以吃的2粒糖所表示的分數會發生變化，讓學生認識到隨著人數的變化平均分的份數也在變化，之所以會不相同，是因為糖果數量這一整體在變化。生活中的問題是突發的，變化很大，不像教材上的練習那么固定，我們要多創設一些靈活的生活場景，讓學生在運用中不斷積累抽象思維的經驗。

四、陶冶策略：培養學生建立敏銳的數感

數感的培養需要我們創造環境去陶冶學生，通過適時適地有目的地引導，讓學生養成估算的好習慣，借助數形結合，讓學生對數有敏銳的感知。

（一）在估算訓練中逐步培養學生的數感

估算不僅僅是在教材要求的時候讓學生去做，只要有數的計算，就要讓學生去估算，創造估算的環境，讓學生體會到估算的價值和必要性，才能在估算訓練中逐步培養學生的數感。

很多學生，做一些簡單的計算總會出現這樣或那樣的錯誤，如608÷2=24；480÷60=80；3/4÷12=9等。學生計算比較馬虎，特別是能口算的題，錯誤率更高。如果讓學生平時養成估算的好習慣，608÷2商是三位數，480÷60商是一位數，3/4÷12商小于3/4。解決問題中，如白兔是黑兔的3/4，結果算出答案白兔是50只，黑兔是100只，明顯不對。23/35和4/11比較大小，很多學生會通分或化成小數，但數感好的同學一看就知道23/35大于4/11，因為23/35大于1/2，而4/11小于1/2，能快速比較出大小。學生在解題時缺少對答案的預判和審視，如果能做到先估一估或者算完后估一估答案的正確性，那么學生就能有效避免這些錯誤的產生，有時能結合估算提高解題的速度。估算意識的培養和估算能力的提高不是靠幾天的練習就行的。首先教師要有培養學生估算的意識，多引導，多練習，才能讓學生養成估算的意識。其次，要讓學生認識到估算的價值，不是為了估算而估算，而是能提高解題的正確率。

長期引導和訓練，學生就會養成估算的意識，并且提高估算的速度，這不是浪費學生的時間，而是培養了學生良好的解題習慣和數感。

（二）在數形結合中提升學生數感的敏銳度

學生對于整數的數感還可以，但是對分數和小數的數感就差了很多。在教學的時候，我們要注重引導學生學會畫圖，通過數形結合，從而幫助學生建立直觀表象，提升學生數感的敏銳度。

在解決1/2+1/4+1/8+1/16+1/32時，如果讓學生畫圖來理解，學生很容易理解為什么這些數相加等于1-1/32。比較8/9和9/10的大小，可以讓學生畫線段圖，直觀感知8/9中的每份比9/10中的每份大，同樣少取一份，為什么8/9小于9/10，從而讓學生充分理解。男生比女生多1/5，女生比男生少多少？女生是男生的幾分之幾？男生是女生的幾分之幾？在解決這個問題時，總有學生模糊不清，對于單位“1”和它們之間的關系混淆難分。如果利用線段圖畫一畫，女生是5份，男生比女生多5份的1/5就是6份，就能直觀地看到女生比男生少1/6，女生是男生的5/6，男生是女生的6/5。

在教學的時候，教師要利用畫圖的方法，把難以理解的知識轉化為圖形的方式，更清楚地表示它們之間的關系。讓學生能結合圖形，直觀地感知和理解，長期訓練，幫助學生提高數感的敏銳度。

五、總結

抽象素養的培養不是一朝一夕的事，一節課的引導和培養遠遠不夠。這就需要教師在平時的教學中多一些這方面的思考：怎樣貫穿課堂，把知識更好地教給學生，讓學生慢慢地學會觀察對比、勤于操作體驗、善于拓展應用，從而更好地學習并應用數學知識。