漂浮于燒杯液體中的浮體微幅振蕩問題

張元元

（廣東省中山市中山紀念中學，廣東中山 528454）

2022年5月24日第6屆歐洲物理奧林匹克競賽（Eu PHO）剛剛落下帷幕，其理論第1題是一道有關浮體微幅振蕩問題.我們常見的浮體是指漂浮于廣闊的液體表面的物體，當浮體受到不是太大的擾動時，在液面附近振蕩的浮體的上表面始終位于液面之上，忽略浮體運動導致液體的運動，即忽略振蕩的液體對浮體運動的影響.本屆EuPHO 分析漂浮于燒杯液體中的浮體微幅運動，由于燒杯中液面有限，不能忽略振蕩的液體對浮體運動的影響，與此同時，還要進一步判定燒杯中哪部分液體的運動起到主導作用，從而構建模型計算振蕩運動的周期.

1 英文原題及中文翻譯

A solid，uniform cylinder of heighth=10cm and base areaS1=100cm2floats in a cylindrical beaker of heightH=20cm and inner bottom areaS=102cm2filled with a liquid.The ratio between the density of the cylinder and that of the liquid isγ=0.70.The bottom of the cylinder is above the bottom of the beaker by a few centimeters.The cylinder is oscillating vertically，so that its axis always coincides with that of the beaker.The amplitude of the liquid level oscillations isA=1mm.

Find the period of the motionT.Neglect the viscosity of the liquid.

一高度h=10 cm、橫截面積S1=100 cm2的固體均勻圓柱體漂浮在高度H=20 cm、內部橫截面積S=102 cm2的圓柱形燒杯里的液體中.圓柱體的密度與液體密度的比值γ=0.70.圓柱體的底部位于燒杯底部上方幾厘米處.當圓柱體在垂直方向振蕩，其軸線始終與燒杯軸線重合.已知液體振蕩的幅度A=1 mm.

試求振蕩運動的周期T.忽略液體的粘度.

2 分析系統振蕩情形以及構建系統振蕩模型

2.1 系統靜止時的相關參數

系統靜止時的立體圖以及側視圖如圖1 所示，浮力與重力相平衡，有

圖1 系統靜止示意圖

可知圓柱體浸沒液體的深度h0為

由于圓柱體的底部位于燒杯底部上方幾厘米處，燒杯的高度H=20 cm，我們可知圓柱體的頂部位于燒杯口部下方幾厘米處，液面更低于燒杯口.

2.2 系統微幅振蕩時的液面高度變化

當圓柱體在液面附近微幅振蕩時，燒杯中液面也在上下微幅振蕩.題中并未指明液體是否具有不可壓縮性，在缺乏條件下，我們顯然將液體視為不可壓縮流體，這樣我們進一步分析在實驗室參考系中，液面高度的變化量為y1.不失一般性，當圓柱體從平衡位置向下移動x時，如圖2所示，液體體積不變，有

圖2 系統振蕩示意圖

可知液面高度的變化量y1為

式中參量β=50.液體振蕩的幅度A=1mm 是指振蕩過程中y1的極大值是1 mm，因此圓柱體偏離平衡位置的最大值xmax=0.02mm，說明系統振蕩過程中液體的液面不僅低于圓柱體的頂部，更低于燒杯口，液體振蕩時不可能有液體溢出燒杯.

2.3 系統微幅振蕩時液體運動情形

系統振蕩時，圓柱體上下振蕩，液體的振蕩情形較為復雜，不僅圓柱體側面部分液體處于運動狀態，圓柱體底部以下部分液體也處于運動狀態.由（4）式可知液面向上運動的速度u與圓柱體向下運動的v之間的大小關系，即

圓柱體底部以上部分液體向下運動情形甚為復雜，其運動速度的上限值近似等于圓柱體運動的速度v.假設圓柱體底部以下液體的深度d=5cm，其動能上限值Ekb約為

由于液體具有不可壓縮性，圓柱體側面部分液體向上運動的速度均為u，其動能Ek為

Ekb與Ek的比值為

從結果可以看出Ekb?Ek，忽略圓柱體底部以下液體運動是合理的，建立振蕩模型時，僅考慮圓柱體側面部分液體的運動.

2.4 系統微幅振蕩時圓柱體受到的浮力作用

當圓柱體向下運動的加速度為a時，其側面部分液體向上運動的加速度a*為

此時圓柱體浸沒在液體中的深度y為

圓柱體受到的浮力寫成如圖3所示的形式是錯誤的，該浮力公式是針對液體加速度為0 的情形，對圓柱體側面液體受力分析，有

圖3 錯誤浮力示意圖

可知圓柱體底部壓強p與液面上方大氣壓強p0的差值為

圓柱體受到的浮力F為

3 分析微幅振蕩運動的周期

3.1 動力學特征方程法

由于圓柱體振蕩周期與系統振蕩周期是一致的，選擇圓柱體作為分析的對象，如圖4所示，振蕩過程中的動力學方程為

圖4 圓柱體受力示意圖

由（9）、（10）、（13）、（14）式可得

考慮到微幅振蕩，x?1，a?1，略去二階小量β（β+1）ax，（15）式簡化后符合簡諧運動的動力學特征方程，即

因此振蕩的周期T為

3.2 能量特征方程法

忽略液體的粘度，系統是一保守系統，當系統振蕩時，總的機械能E是恒定的.因此，我們也可以選擇系統作為分析的對象，振蕩過程中系統的動能Ek可表示為

忽略高階小量（β+1）x，動能Ek為

系統處于平衡位置時，系統的重力勢能記為E0.當圓柱體從平衡位置向下運動的距離為x時，液面的高度上升了y1，根據割補法可知液體重力勢能的增加量等于橫截面積為S1、深度為x的液體勢能增大到液體表面處橫截面積為S-S1、深度為y1時液體的勢能，該部分液體重心升高的高度hC為

考慮到圓柱體重力勢能減小，此時系統的重力勢能Ep可表示為

最終系統的重力勢能Ep為

根據系統機械能守恒條件，即Ek+Ep=E，可知系統的能量方程為

（23）式關于變量x及其一階導數v的方程符合簡諧運動的能量特征方程，振蕩周期T為

4 總結