平行板電容器串并聯教學中問題分析

任 杰

（常熟理工學院電子信息學院，江蘇蘇州 215500）

電容器是除電阻之外的第二大常用的元件.通常情況下電容器是由兩塊金屬電極之間夾一層絕緣電介質構成.當在兩金屬電極間加上一定電壓時，電極上就會存儲一定量的電荷，所以電容器是一種儲能元件.由于電容器的廣泛應用，電容一直是高中和大學物理重點教學內容之一.平行板電容器作為電容器的典型代表，常用來探究電容器串并聯規律.本文從平行板電容器串并聯的兩道典型例題出發，利用靜電平衡后金屬板是等勢體這一結論分別研究電容器串聯和并聯.教師在教學過程中充分強調該結論的重要性，有利于學生在以后處理類似問題中避免錯誤.

1 電容器的并聯

平行板電容器的電容C=ε0εrS／d，其中ε0是真空電容率，εr為相對電容率，S是平行板的面積，d是兩極板之間距離.電容的大小僅與導體的形狀、相對位置、其間的電介質有關，與所帶電荷量無關.對于電容器的并聯知識點，課本明確地給出兩個電容器C1和C2并聯后的電容C總=C1+C2.典型例題如下.

例1.一平行板長為l，寬為m，間距為d的電容器（如圖1 所示），兩板分別帶有+Q和-Q的電荷.先將一塊長為x，寬為m，間距為d，相對電容率為εr的電介質插入其中，在忽略邊界效應的情況下，試求電容器的電容以及中心P點的電場強度E的大小.

圖1

解析：對于第1問，學生很容易得出正確結果

而這一看似完美的結論卻是錯誤的.其原因是誤認為兩極板上的電荷分布是不變的.這樣則會導致金屬極板左右兩端電勢差（U=Ed）不等.金屬中電勢差的存在必然導致板內的自由電子發生移動直到靜電平衡為止.因此兩極板之間的電場強度肯定會發生改變.顯然達到靜電平衡后導體是等勢體，兩極板的左端和右端的電勢一定相等.

正確解法：利用（1）式得到電勢差U后即可得到電場強度

當然這個問題還可以利用電荷密度與電場強度的關系和電荷守恒定律聯合求解，但是前提條件需要弄清楚電場強度分布，因此還得知道靜電平衡后導體是等勢體，兩極板之間的左右兩段的電勢差相等.

2 電容器的串聯

例2.忽略邊界效應，求圖2（a）所示的電容.如果在兩種電介質間放置一塊薄金屬板后電容是否變化？

圖2

解析：可以利用等效電容串并聯法來處理該問題.［1］首先，建立如圖2 所示的坐標，會發現相對電容率為εr1和εr2的電介質厚度隨x的變化關系分別為

在兩種電介質接觸面放置一塊薄金屬板后，即使上下兩極板充相同電荷量，中間的金屬板也不會帶電，對電容上下極板電勢沒有影響，故電容器的電容沒有變化.實際上，只要我們仔細觀察就會發現，在兩種介質的接觸面上未放金屬板之前，它不是一個等勢體.如果放入金屬板以后，金屬板自始至終是一個等勢體.靜電平衡后導體表面的電場垂直導體表面，電容之間的電場分布就會改變，因而兩極板之間的電勢差可能改變.因此，放入金屬板可能對電容會有影響.我們將電介質為εr2的部分簡化成圖2（b）所示的電容.該電容是非平行板電容.通過電勢的拉普拉斯方程以及利用電場強度等于電勢的負梯度這一規律，很容易發現如果兩極板上帶有電荷，電場線是以O點為圓心的圓弧線，同一電場線的電場相同.求解該電容為［2-5］

同理我們可得電介質為εr1部分的電容

因此串聯后總的電容為

3 結論

靜電場中的導體和電介質一直是物理教學的重點內容之一，也是難點之一.學生在學習電容過程中，學生往往足夠重視電介質對電容和電場的影響，而對于導體對電容的影響關注不足，從而導致一些問題.本文從兩道典型例題出發，充分體現了金屬靜電平衡后為等勢體這一重要結論對電容知識點學習的重要性，進一步完善學生的知識結構.最后，期望這些分析為以后的相關教學提供一些幫助.