對牽連速度兩種觀點的辨析與思考

戎 杰

（浙江省慈溪中學，浙江寧波 315300）

“微元法”和“等效法”是分析、解決物理問題的常用方法.在牽連問題中，一個物體帶動另一個物體運動，在確定彼此速度的定量關系時，通常會涉及到運動的分解.如果學生形成盲目、死板記憶“沿繩方向和垂直繩方向分解速度”的結論，容易形成思維慣性，不利于科學思維的形成和核心素養的培育.從物理教學的有效性和學科素養培養的角度來看，要使學生對物理規律“知其然而知其所以然”.筆者嘗試用“微元法”“等效法”“圖像法”“復合函數求導法”等方法，對一個牽連速度問題的兩種觀點進行辨析與思考.

問題：如圖1，水平面上有一輛拖車P，高為h的水平高臺上有一輛小車Q，兩車之間用不可伸長的繩跨過定滑輪連接，當P 車在水平面上以速度v勻速行駛時，高臺上的Q 車速度如何變化？加速度如何變化？

圖1

在教學中，筆者發現學生思維中存在兩種觀點.

（1）Q 車速度判斷：根據P車在向右運動過程中，有使滑輪右側繩子伸長并繞滑輪做圓周運動的“實際運動效果”，所以可把P 車的水平速度v進行分解，如圖2，沿繩方向的分速度v1=vcosθ，垂直于繩方向的分速度v2=vsinθ，Q 車的速度vQ等于P 車沿繩方向分速度v1.隨著P 車向右運動，θ減小，cosθ增大，因此Q 車向右做加速運動.

圖2

（2）Q 車加速度判斷：做出Q 車的速度 時間圖像.由于加速度是速度的變化率，對速度函數求導，加速度大小｜a｜=｜v1′｜=vsinθ.由圖3可知，隨著θ不斷減小，sinθ不斷減小，加速度a不斷減小，因此Q 車做加速度不斷減小的加速運動.

圖3

上述兩種觀點是否正確？

對于觀點（1），不少學生對于P 車的“實際運動效果”普遍不甚理解.P車明明水平向右運動，怎么會有繞滑輪做圓周運動的效果呢？筆者認為，可嘗試用“微元法”論證上述速度分解方法的正確性，解決學生心中的困惑.

如圖4，設P車在Δt時間內從A點運動到了B點，若取Δt→0，則繩OA、OC間夾角Δθ→0，即∠OAE=∠OBE=θ.

圖4

在OB上取C點，使｜OA｜=｜OC｜，因Δθ→0，∠OAC=∠OCA=90°.Q 車向右運動的距離，即繩子伸長的距離.xQ=｜OB｜-｜OA｜=｜OB｜-｜OC｜=｜CB｜.

而｜CB｜=｜AB｜cosθ=v·Δtcosθ.

有vQ==vcosθ=v1.隨著θ的減小，cosθ增大，Q 車速度增大.

由“微元法”分析結果可知，把P 車的速度v沿繩和垂直于繩方向進行分解是正確的.

對于觀點2，加速度是速度關于時間的變化率，而觀點2中求得的Q 車速度vcosθ.是v關于θ的函數.若對速度函數直接求導得到的是v關于θ的導函數，而不是v關于t的導函數，所以并不表示加速度，因此通過v θ函數圖像的斜率判斷加速度的方法是錯誤的.

進一步分析，若設P車從E點出發經過時間t運動至A點，有如下3 種方法可判斷Q 車的加速度.

方法1：速度函數圖像法.

圖5

方法2：復合函數求導法.

由結果可知，隨著t的增大，a不斷減小，Q 車做加速度減小的加速運動.

方法3：等效法.

圖6

根據P 車水平面上做勻速直線運動，所以加速度為0.現在“無中生有”，將“零”等效為a1、a2、an、aτ4 個分加速度：a1=an，a2=aτ.由P 車繞O點做圓周運動的分運動來看，在t時刻，P車有指向O點的向心加速度an，和使繩子變長的加速度a1等大反向，即Q 車的加速度.

綜上，對一道關聯速度問題的兩種觀點進行辨析與思考，體會微元法、圖像法、復合函數求導法、等效法等方法在分析、解決高中物理問題中的重要作用，由淺入深、由易至難，前三種方法旨在體現運用數學方法解決物理問題的“數理結合”關鍵能力，等效法側重體現物理學科思想方法，提升物理思維品質，體會物理學科精神.