龍洗振幅的模擬研究

肖瑩瑩 叢小涵 楊子涵 葉晴瑩

（福建師范大學(xué)物理與能源學(xué)院，福建福州 350117）

龍洗是古代的一種薄壁盥洗用具，一般為青銅材質(zhì)，形似現(xiàn)在的臉盆.盆底裝飾有魚紋的，稱“魚洗”；盆底裝飾有龍紋的，稱“龍洗”（如圖1）.龍洗出現(xiàn)的時(shí)間，最早可追溯至公元前五世紀(jì)，后在唐宋時(shí)期逐漸發(fā)展成熟.［1，2］該器物最初是工匠為皇宮設(shè)計(jì)的，后逐漸流傳至為民間.圖1、圖2所示龍洗底部扁平，盆底刻有4條龍，龍口位置位于圖2中a、b、c、d4處，盆沿左右兩邊各有一個(gè)把柄，稱為雙耳（如圖1）.龍洗的外觀并不復(fù)雜，但奇妙之處在于：用手緩慢有節(jié)奏地摩擦盆邊兩耳，盆會(huì)像受擊撞一樣振動(dòng)起來，盆內(nèi)水波蕩漾；倘若手法得當(dāng)，4個(gè)龍口均可以噴出水花.［3］雖然龍洗的噴水原理已被廣泛認(rèn)可，［4］但對(duì)其振動(dòng)模型的研究卻多為定性研究.為了研究龍洗振動(dòng)的細(xì)節(jié)，本文結(jié)合駐波方程，并利用Matlab建模，［5-8］模擬出龍洗振動(dòng)幅度的空間分布圖像.

圖1 龍洗構(gòu)造圖

圖2 龍洗的龍口和十字線標(biāo)注圖

1 理論分析

當(dāng)雙手以一定頻率摩擦龍洗雙耳時(shí)，在雙耳產(chǎn)生兩個(gè)方向相反、頻率相同的相干波源，兩列波相干疊加，呈現(xiàn)出穩(wěn)定的駐波狀態(tài).［9］摩擦?xí)r，雙手緊挨雙耳，雙耳可視為固定端，處于波節(jié)位置.［9］則根據(jù)波的疊加原理，駐波方程為［10］

其中，L表示圖3中以右耳A點(diǎn)為起點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向的盆沿長(zhǎng)度，λ為波長(zhǎng)，f為頻率，u為L(zhǎng)處的振點(diǎn)偏離平衡位置的位移，φ表示以右耳A點(diǎn)處為起點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角度.

圖3 駐波方程參數(shù)示意圖

由（1）式可知，龍洗模型側(cè)壁振動(dòng)時(shí)的波節(jié)和波腹各有4個(gè).［11］實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象（圖4）表明，龍洗噴水范圍對(duì)稱分布在的a、b、c、d4處，此4處即為（1）式中的4個(gè)波腹位置，亦即圖2中的a、b、c、d4個(gè)位置.從圖4中可見a、b、c、d之間有4個(gè)波節(jié)（位于圖4中4個(gè)白點(diǎn)位置），這一結(jié)果與（1）式的結(jié)果相符.

圖4 龍洗噴水實(shí)驗(yàn)

根據(jù)駐波形成條件，可知相鄰兩波節(jié)或波腹間的距離為半個(gè)波長(zhǎng)，可得

其中R為水面半徑.

將（2）（3）式代入（1）式可得

由（4）式可得龍洗各質(zhì)元隨位置變化的振幅函數(shù)（其中質(zhì)元是龍洗洗壁上產(chǎn)生振動(dòng)的每一個(gè)微元）

為了進(jìn)一步得到不同高度洗壁振幅的關(guān)系，利用柱面坐標(biāo)的波動(dòng)方程和簡(jiǎn)化邊界條件［12］可解出龍洗噴水時(shí)洗壁各質(zhì)元偏離平衡位置的位移如（6）式所示.這一過程中，為了簡(jiǎn)化模型，我們將龍洗視為柱形容器.［13-15］

（6）式中b為盆內(nèi)水體總高度，z為任意水高位置.Am為與角度φ相關(guān)的常數(shù)項(xiàng)，An為與任意水高位置z相關(guān)的常數(shù)項(xiàng).am為φ函數(shù)的初相位，與（3）式的φ一致，則

聯(lián)立（6）～（8）式獲得的振幅函數(shù)表達(dá)式為

與（5）式對(duì)比，可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)z=b，k=0時(shí)，（9）式與（5）式一致，說明（5）式是（9）式的特例，而（9）式是（5）式在空間上的延伸和拓展.

2 模擬方法與模擬結(jié)果

采用Matlab 對(duì)函數(shù)進(jìn)行模擬.為了方便模擬，計(jì)算中取A′=A1／A1max.圖5模擬了不同半徑（R）的龍洗，側(cè)壁（也稱“洗壁”）振幅的空間分布圖像，圖色的深淺程度與洗壁輪廓上振幅的大小成反比.為方便觀察，圖5中采用直角坐標(biāo)系，任意位置到（0，0，0）的水平距離為R.

圖5 不同半徑R 的洗壁波節(jié)和波腹的位置示意圖

2.1 龍洗洗壁振幅與半徑R 的關(guān)系

圖6展示的是R=19cm 時(shí)龍洗洗壁振幅空間分布的散點(diǎn)圖，更方便讀者定位龍洗壁沿的波節(jié)及波腹位置.

圖6 洗壁波節(jié)和波腹的位置示意圖

2.2 龍洗洗壁振幅與水高z的關(guān)系

取b=4.5cm，模擬（9）式可得圖7.為了方便模擬，計(jì)算中取A″=A2／A2max.從圖7 中可以看到，該圖完美呈現(xiàn)了4峰振型的現(xiàn)象，且4個(gè)波腹處的振幅隨著z值的增大明顯增大，而波節(jié)位置位于圖2中十字線位置.

比較圖5和圖7：圖5分析了同一高度、不同半徑R的洗壁質(zhì)元的振動(dòng)隨位置變化的空間分布，得到同一高度的洗壁振幅隨半徑R的變化圖像，進(jìn)而確定了洗壁振動(dòng)引起噴水過程的波節(jié)和波腹；圖7則定量分析了整個(gè)系統(tǒng)中洗壁質(zhì)元隨位置變化的三維空間分布圖像，不僅明確了龍洗噴水過程中的波節(jié)和波腹，并且獲得了洗壁振幅隨水深的變化情況.由圖7 可以發(fā)現(xiàn)，不同半徑（R）的龍洗，洗壁振幅都具有4峰振型的特征，即波腹波節(jié)均有4個(gè)，依次交替出現(xiàn).

圖7 龍洗半徑R 不同時(shí)，洗壁振幅空間分布圖像（b=4.5cm）

模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象（圖4）吻合.

為更好地展示龍洗洗壁各質(zhì)元振幅，我們作了不同z值的振幅分布橫向剖面圖，圖8 為z=1.5cm、z=3.0cm 和z=4.5cm 的振幅分布橫向剖面圖.對(duì)比圖8（a）、（b）、（c）發(fā)現(xiàn)，振幅的空間分布與圖5吻合，且當(dāng)z=b時(shí)［如圖8（c）］，模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象（圖4）高度一致.圖8中，隨著z值增加，各波腹位置的振幅明顯增大.且圖8各分圖中顏色最深位置呈“十”字交叉，此即對(duì)應(yīng)圖2 中“十”字交叉位置.

圖8 b=4.5cm 時(shí)，不同z值的振幅空間分布橫向剖面圖

從龍洗設(shè)計(jì)來看，龍洗中“龍吐水”的雕刻位置（圖2中a、b、c、d4處）需設(shè)計(jì)在圖8（c）中z=b時(shí)對(duì)應(yīng)振幅最大的位置（即波腹位置，亦即圖8（c）中a、b、c、d4處）.在沒有定量公式和數(shù)值模擬的古代，我們的祖先卻可以在青銅龍洗制作過程中準(zhǔn)確定位“龍吐水”的位置，實(shí)在令人嘆為觀止.

2.3 龍洗洗壁振幅與角度φ 的關(guān)系

圖9是圖7中經(jīng)過（0，0，0）點(diǎn)平行于z軸的縱剖面圖.從圖9（b）中可以看出，z取不同值時(shí)，φ=90°的振幅都為0，此處即為波節(jié)位置.而從圖9（a）（c）中可以看出，隨著z值的增加，波腹各質(zhì)元振幅逐漸增大，在z=b時(shí)，龍洗洗壁的振幅達(dá)到最大值，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象（圖4）呈現(xiàn)為龍洗的噴水現(xiàn)象.

圖9 不同φ 值的振幅空間分布縱向剖面圖

2.4 龍洗洗壁振幅與水體高度b的關(guān)系

為了研究水體高度b不同時(shí)的龍洗振動(dòng)圖像，我們模擬了b分別為1.5cm、3.0cm、4.5cm和6.0cm 的龍洗洗壁振幅空間分布圖像，如圖10.

圖10 水體高度b不同時(shí)，洗壁振幅空間分布圖像

比較圖10 與圖2，可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于4 節(jié)線（4峰）振動(dòng)的振型，圖2中a、b、c、d4點(diǎn)對(duì)應(yīng)圖10中不同b值的波腹位置，該處的振幅大于同一水平面的其他位置；4個(gè)波節(jié)位于圖2中十字線位置；對(duì)于任意b值，當(dāng)z=b時(shí)龍洗洗壁振幅最大；沿著洗壁，壁沿的振幅呈現(xiàn)出周期性變化，相對(duì)振幅如圖10所示.

3 結(jié)論

通過Matlab模擬，我們可以清晰地看到龍洗洗壁上振幅隨空間分布圖像，研究發(fā)現(xiàn)，洗壁振幅與角度φ和水高z密切相關(guān)，其振動(dòng)為典型的4峰振動(dòng)，當(dāng)z=b時(shí)洗壁振幅最大.該研究將抽象的龍洗噴水原理轉(zhuǎn)化為形象直觀的仿真圖，更好地解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，為龍洗噴水理論和實(shí)踐研究提供了有效的數(shù)據(jù)基礎(chǔ).