考慮畸變的起重機薄壁箱梁的自由振動分析

譚敏堯 ，程文明 ，李杭飛 ，臧付連

（西南交通大學機械工程學院， 四川 成都 610031）

在起重機械中薄壁箱形梁在工程中得到了廣泛的使用，在這些應用中減輕重量是非常重要的.同時，由于這種結構的特點是高剛度重量比，且在靜載荷和動載荷的作用下薄壁箱形梁對扭轉和不穩定性都非常敏感. 薄壁箱形梁在反對稱荷載作用下，除引起截面扭轉外，還產生截面畸變. 在薄壁箱形結構設計中，傳統方法僅考慮延伸、彎曲、扭轉、翹曲4 種位移形變，在高階模態下，若不考慮畸變效應，將大大影響自由振動頻率預測的準確度. 為了提高薄壁箱形梁結構的計算精度，根據結構力學特征建立廣義位移模型，在原有基礎上，增加畸變形變，這對薄壁箱形梁振動特性的研究具有重要的意義.

Gere 等[1]采用Rayleigh-Ritz 方法研究了各種邊界條件下均布梁的彎扭耦合自由振動. 根據圣維南理論，Dokumaci 等[2-3]在靜載荷和動載荷作用下建立了一些存有扭轉的模型. Ohga 等[4]利用傳遞矩陣法研究了開、閉截面薄壁構件的自由振動. 此外，Adam[5]分析了單對稱梁的耦合彎扭振動. Arpaci等[6-7]研究了任意截面梁的自由振動. 對于任意開口截面薄壁梁的振動，Jrad 等[8]推導了不同邊界條件下彎扭耦合模態的高自由振動模態的解析解.G?kda?等[9]研究了單對稱開截面梁的自由振動和受迫振動的彎扭耦合. 在模型中，由虛功原理導出了包含質量和剛度特性的動力剛度矩陣. Rafezy 等[10]建立了三維非對稱截面的復合材料梁彎曲運動的精確動力剛度矩陣. 李海超等[11]提出一種半解析法來分析圓柱殼結構自由振動特性. 蒲育等[12]基于擴展的N階廣義剪切變形梁理論獲得彈性地基簡支梁的自由振動精確解. Ovesy 等[13]通過考慮不同的本構方程假設，對薄壁組合梁的自由振動特性進行了研究. Vo 等[14]利用精剪變形理論對任意疊合梁進行了振動和屈曲分析. 該理論解釋了剪切應變隨梁高的拋物線變化，產生的耦合稱為三耦合振動和屈曲. Filippi 等[15]提出了一類用于組合結構靜力和動力分析的新型精細化梁理論. 這些梁模型是通過對梁截面上位移場的3 個分量執行切比雪夫多項式的高階展開得到的. 考慮軸向翹曲效應和材料各向異性對殼壁中表面剪切應變的影響，Wang 等[16]提出了一種精度較高的薄壁封閉截面組合梁結構動力學模型.

雖然一些文獻對薄壁閉合梁進行了動力分析，但很少有文獻考慮彎曲、扭轉和畸變的耦合來求解薄壁閉合梁. 分析發現，薄壁箱梁的截面畸變對固有頻率有顯著影響. 因此，要正確地預測薄壁箱梁的動力特性，必須同時考慮彎曲、扭轉和畸變形變.Kim 等[17]就薄壁箱梁靜力和動力進行了翹曲、扭轉和畸變耦合變形的靜力和動力特性分析. Kaya 等[18]采用微分變換方法（DTM）分析軸向加載的閉口截面復合材料Timoshenko 梁的自由振動響應，該梁的材料耦合特性是由于鋪層方向的影響而發生彎曲和扭轉振動. Kim[19]對在軸向力作用下組合梁的空間耦合進行了自由振動分析，利用能量原理推導出運動方程和力-位移關系方程，并基于位移分量的冪級數展開式給出位移參數的顯式表達式. 基于能量法，Proki?等[20]利用Benscoter 理論推導了薄壁梁的微分運動方程，研究了簡支薄壁梁的自由振動行為. 但僅考慮到橫向剪切變形、轉動慣量及翹曲影響，假設了薄壁箱形梁板面完全剛性，即忽略了箱梁橫截面的畸變形變. Dancila 等[21]提出了除非考慮薄壁箱形梁橫截面畸變形變，否則無法準確預測更高的固有頻率.

本文基于彈性力學理論，用能量法分析了簡支薄壁箱形梁的自由振動. 考慮到彎曲、扭轉和畸變的耦合作用，預測了薄壁箱形梁自由振動的固有頻率和模態振型. 根據Benscoter 理論，在廣義位移的基礎上，將各變形模態用廣義坐標位移表示出來，進而求出薄壁箱形梁的固有頻率和模態振型的精確顯示公式. 該表達式簡單明了，適合于一般的簡支薄壁箱形梁理論的實際使用.

1 動力學基本理論

1.1 基本假設

為了確定薄壁箱形梁的幾何形狀，使用了兩個坐標系. 如圖1 所示. 圖中：θ為扭轉角. (x，y，z)為笛卡爾直角坐標系，其中，x軸與薄壁箱形梁的梁長重合，y軸和z軸與橫截面的主軸重合. (n，s，x)為局部坐標系，其中，n為沿等值線（截面中線）測量的法向坐標，s為任意起始點沿等值線測量的剖面坐標. 點M(w，v，u)為橫截面上任意一點，其中，v、w、u分別為y、z、x軸方向的位移. 薄壁箱形梁的理論基于以下假設：

圖1 薄壁箱形梁坐標系Fig. 1 Coordinate systems of thin-walled box beams

1） 在各板中，中線平面沿輪廓線方向的線剪切應變分布與圣維南扭轉的線剪切應變分布相同；

2） 假設薄壁箱形梁截面的中面輪廓不可延伸；

3） 變形量足夠小，可采用線彈性理論.

1.2 運動學方程

根據薄壁箱形梁的靜力屈曲分析[22]可以得出，薄壁箱形梁上以任意一點M為初始點的位移分量在小扭轉的情況下，使用Vlasov 模型產生的經典位移關系為

式中：χ為畸變角；i= 1 ～ 4 是箱梁各板的編號；ωi為扭轉翹曲函數，如式（4）；Ωi為畸變翹曲函數，如式（5）；ηi、ψni分別為橫截面y軸和z軸方向的畸變位移，如式（6）、（8）；t為時間；Zi(s)、Yi(s)、hi(s)均為橫截面系數，分別如式（9） ～ （11）； ξ1、 ξ2分別如式（12）、（13）.

式（4） ～ （13）中：b和h分別為箱梁橫截面的寬和高；(z0,y0)為橫截面的剪切中心；Lside為箱梁橫截面各邊相對應的長度.

根據Kim 等[17]理論研究，橫截面畸變形變的幾何系數ψsi(s)可滿足主要的靜、動平衡條件. 此外，當每個板是不等厚時，κ是不連續的.

本文重點研究薄壁箱形梁在動載荷作用下的行為. 因此，在自由振動和線性動力學框架下，用式（1） ～ （3）作為運動學方程是充分、有效的. 為此需要對應變、動能和外載荷進行分析，進而推導運動控制方程. 應變能U的微分為

式中：σxi和τsi為薄壁箱形梁的正應力和切應力分量；εxi和 γsi分別為正應變和剪切應變，分別如式（15）、（16）；Fi為各板的面積；L為梁長.

式中：u0、w0、v0分別為任意點M在u、w、v方向的初始位移.

應變能的變化可以用薄壁單元截面上的內力函數表示. 在動力學系統變分原理的基礎上，推導動力學運動方程. 根據式（14）對橫截面進行積分后，應變能可表示為

式中：N為軸向力；My和Mz分別為關于y軸和z軸的彎矩；Bωθ為雙力矩；Bωχ為畸變引起的雙力矩；Msv為圣維南扭矩；Msvχ為畸變引起的扭矩. 具體如式（18）所示.

2 運動控制方程

在能量原理的基礎上，應用哈密頓理論推導運動控制方程. 箱梁總能量的微分可由應變能U、動能T和外載荷功W表示，如式（19）.

式中：t1和t2分別為起、止時間.

利用虛位移原理可以得到薄壁箱形梁的運動方程. 圖2 中考慮了橫截面x1=x和x2=x+dx之間的一個小單元，在中面上承受單位面積上的外載荷p(px,py,pz)，其中：px、py、pz分別為x、y、z單位面積上的外載荷. 圖2 中：ρ為單位體積質量密度. 在橫截面上作意一點的應力為

圖2 薄壁箱形梁的微單元Fig. 2 A micro-element of a thin-walled box beam

式中：α為輪廓中線的法線與x軸之間的夾角；τxs為切應力.

虛位移δu滿足必要的連續性條件和位移邊界條件，可以采用與實位移向量相同的形式. 根據虛位移原理，虛位移可表示為

加速度矢量可以表示為

等質量密度薄壁箱形梁單元的動能為

動能的微分表示為

根據能量原理，薄壁箱形梁單元單位長度外載荷和慣性力的虛功為

經整理計算，應用虛位移原理，可獲得關于虛位移參數δu0、δv0、δw0、δθ、δχ的方程，對于任意虛位移參數均能恒等地滿足這些方程，即虛位移參數的系數表達式必須消失. 將式（17）代入式（18），可以得到控制方程和相關的邊界條件，則關于延伸、彎曲、扭轉和畸變耦合的方程為

式中：mz和my分別為單位長度外力引起的關于z軸和y軸的彎矩；mp和mω分別為單位長度外力引起扭矩和雙力矩；mpχ和mΩ分別為單位長度外力引起畸變扭矩和畸變雙力矩.

式（26） ～ （30）是薄壁箱形梁延伸、彎曲、扭轉和畸變的自由振動的最一般形式，變量u、v、w、θ、χ是完全耦合的.

對于具有連續質量分布且結構形式簡單的結構可采用廣義位移法. 對于簡支梁，設任意時間t的任一截面的位移可用三角函數表示為

式中：V(x)、W(x)、Θ(x)、X(x)分別為橫向位移、縱向位移、扭轉和畸變的振幅，如式（31）.

式中： s in λk為滿足位移邊界條件的振動模態函數，其中， λk=kπx/L，為形狀函數,k=1，2，3，…；CV、CW、CΘ、CX均為常數.

在簡支梁的情況下，各支點處的支撐為防止旋轉和可自由彎曲，其邊界條件為

為了求出CV、CW、CΘ、CX為非零解，式（30） ～ （32）的導數必須為0，即

式中：ω*=，E為彈性模 量；G為 剪 切模量；Iy和Iz分別為關于y、z軸的慣性矩；It和Iωθ分別為圣維南扭轉和翹曲常數；Id和Iωχ分別為畸變引起的扭轉和翹曲常數；Ip為扭轉和翹曲耦合慣性矩；Ipχ為畸變與翹曲耦合慣性矩；A為橫截面面積；A1、A2分別為縱向、橫向彎曲與畸變耦合慣性矩參數；A3、A4分別為縱向、橫向彎曲與翹曲耦合慣性矩參數.

經整理可得四階頻率代數方程為

式中：a、c、d、e和f均為常數.

3 算例分析

3.1 畸變模態下薄壁箱形梁的自由振動（算例1）

為了驗證理論公式（式（34））的正確性，求解薄壁箱形梁在畸變模態下自由振動時的頻率和振型，并與有限元分析（ANSYS）結果進行對比. 圖3 為簡支薄壁箱形梁的幾何參數. 通過對薄壁箱梁的模態分析，驗證該方法的有效性和準確性. 該梁的材料參數和幾何參數為：E= 210 GPa，G= 80.7 GPa，ρ=7 850 kg/m3，b= 150 mm，h= 200 mm. 薄壁箱形梁的板厚為：m1=m3= 4 mm，m2= 8 mm，m4= 5 mm. 在有限元分析過程中，ANSYS 軟件中采用4node181的殼單元進行分析，在網格劃分后生成1 932 個節點和1 890 個單元.

圖3 薄壁箱形梁的幾何參數Fig. 3 Geometrical parameters of thin-walled box beams

表1 為考慮橫截面畸變形變的理論方法和有限元分析方法下薄壁箱形梁其中的4 階模態（2、4、6、8 階）的固有頻率對比. 為了對結果進行評估，將有限元法的固有頻率表示為ωFEA，本方法的固有頻率表示為ω1,Δ為本理論的固有頻率與有限元固有頻率的相對誤差.

由表1 可以看出：固有頻率結果具有較強的一致性，其中最大誤差為0.89%（在第8 階時），驗證了本文分析方法可以較準確地進行薄壁箱形梁固有頻率的預測；伴隨著模態階數的升高，固有頻率的誤差逐漸增加.

表1 薄壁箱形梁其中4 階的固有頻率比較Tab. 1 Comparison of 2-, 4-, 6-, and 8-order natural frequencies of thin-walled box beams

圖4 為2、4、6 階和8 階的彎曲模態振型.

圖4 彎曲模態振型Fig. 4 Bending mode shapes

由圖4 可以看出：薄壁箱形梁的所有振型均為傅立葉變換，所得到的彎曲模態振型與ANSYS 彎曲模態振型結果吻合良好.

3.2 不同長度對自由振動的影響（算例2）

為了研究畸變形變對薄壁箱梁自由振動特性的影響，考慮了3 種不同長度的結構. 將本文的計算結果與Proki?等[20]的彎扭耦合（不考慮畸變形變）情況下求解的自由振動的精確解進行對比分析. 薄壁箱形梁的材料參數和幾何參數與算例1 相同. 表2 為箱梁長度分別為3、4、5 m 時薄壁箱形梁的前4 階自由振動頻率及其相對誤差. Proki?方法計算的彎扭組合結果用ω1表示；考慮畸變形變的相關結果用ω2表示；Δ1為Proki? 結果與有限元分析法的自由振動頻率的相對誤差；Δ2為考慮畸變形變情況下的自由振動頻率與有限元分析法的自由振動頻率的相對誤差.

表2 簡支薄壁箱形梁的固有頻率Tab. 2 Natural frequencies of simply supported thin-walled box beams

在表2 中，將ω1與ωFEA進行比較，可以看出：本方法的解與有限元方法的結果有較強的一致性，且準確性和有效性較高，尤其是在第4 階模態情況下，最大相對誤差Δ2僅為0.38%（當L=3 m）；與Proki? 方法相比，自由振動頻率ω1＜ω2，即考慮畸變形變可有效降低自由振動頻率，進而提高了自由振動數值精確解的有效值；長細比越大，自振頻率越小；在高階模態下考慮畸變時的固有頻率更接近于有限元法的解，因此，在高階模態上考慮畸變效應的振動分析更占優勢.

4 結 論

考慮畸變效應的耦合位移模態特征，提高了預測自由振動的準確度，有利于薄壁箱形梁的設計和性能分析. 得到如下結論：

1） 推導出包含軸向延伸、彎曲、翹曲、扭轉和畸變的運動學高耦合強度的控制方程.

2） 考慮畸變形變的模態振型與有限元分析結果吻合較好. 前4 階模態情況下最大相對誤差僅有0.38%（當L=3 m 時）.

3） 與Proki?方法相比，考慮畸變效應情況下，自由振動頻率可以得到有效降低，提高了自由振動數值精確解的有效值.