基于Reissner 原理的波形鋼腹板箱梁約束扭轉分析

黃洪猛 ，張元海

（蘭州交通大學土木工程學院，甘肅 蘭州 730070）

波形鋼腹板箱梁因為能減輕結構自重、減小預應力損失、避免腹板斜裂縫而成為具有廣闊應用前景和吸引力的新型橋梁結構[1-2]. 不同于混凝土箱梁，波形鋼腹板箱梁用波形鋼腹板替換混凝土腹板后，箱梁的抗扭剛度被顯著削弱[2-3]，因此其扭轉和畸變效應也更加突出.

國內外學者對波形鋼腹板箱梁的約束扭轉效應開展了不少研究工作. 楊丙文等[4]分析了單箱單室波形鋼腹板箱梁的約束扭轉效應，但在懸臂板自由端出現了剪應力，與實際不符. 馬磊等[5]推導了單箱雙室波形鋼腹板箱梁扭轉控制微分方程，但僅分析了翹曲正應力. 鄧文琴等[6]推導了單箱三室波形鋼腹板懸臂梁扭轉控制微分方程，并給出了翹曲正應力和剪應力計算式. Nie 等[7-8]等在波形鋼腹板箱梁的試驗研究結果中靠近頂底板局部區域內出現了可觀的正應變. 張元海等[9]指出分析波形鋼腹板箱梁的約束扭轉時應考慮頂底板對波形鋼腹板的約束作用. 以上都是基于烏曼斯基第二理論（下文簡稱烏-Ⅱ理論）建立約束扭轉控制微分方程并開展的理論分析，而烏-Ⅱ理論應用了剪應力的兩種算式，出現了兩種不一致的縱向翹曲位移[10]. 張元海等[11]指出約束扭轉剪應力應按微元體平衡條件或根據自由扭矩和二次扭矩計算，不能直接按胡克定律計算. 此外，Kato 等[12]采用矩陣法提出了波形鋼腹板箱梁扭轉效應計算理論. 李運生等[13]采用能量變分法推導了波形鋼腹板曲線梁彎扭控制微分方程，并采用伽遼金法求得其解析解. 徐勛等[14]在廣義坐標法的基礎上基于混合變分原理建立了薄壁箱梁約束扭轉分析新理論，與Reissner 原理的結果是統一的，均考慮了全部次生剪應力對中面剪切變形的影響，計算精度更高. 鮑永方等[15]對適用于剛性扭轉的烏曼斯基理論和Reissner 原理進行比較，指出Reissner 原理的計算精度高于烏曼斯基理論.

為了更加合理地分析波形鋼腹板箱梁約束扭轉效應，本文將位移和應力同時作為變分參量，應用Reissner 原理推導出約束扭轉控制微分方程，給出了不同于烏-Ⅱ理論的翹曲系數. 同時考慮波形鋼腹板的褶皺效應，合理計算截面幾何特性，推演出翹曲正應力和剪應力的計算公式. 結合波形鋼腹板簡支箱梁數值算例，研究了應力分布特征及截面幾何參數變化對應力的影響規律.

1 波形鋼腹板的等效

1.1 等效剪切模量及等效厚度

圖1 為波形鋼腹板的形狀簡圖. 圖中：a、c、d分別為直板段長、斜板段投影長、斜板段長；hw、tw分別為波高和板厚.

圖1 波形鋼腹板形狀Fig. 1 Shape of corrugated steel web

因組成波形鋼腹板箱梁的各板件材料不同，約束扭轉分析時需通過等效原則將材料統一. 本文根據波形鋼腹板的力學性能先將其等效為正交異性平鋼板，再等效為混凝土腹板. 將波形鋼腹板等效為正交異性平鋼板后的等效剪切模量[16]為

式中：Gs為鋼板剪切模量； η =(a+c)/(a+d) .

波形鋼腹板在箱梁的受力中主要承受剪力，由式（1）采用剪切模量比可計算波形鋼腹板等效為混凝土腹板的厚度，波形鋼腹板的等效厚度為

式中：Gc為混凝土剪切模量；nG為鋼板與混凝土的剪切模量比，nG=Gs/Gc.

1.2 縱向等效彈性模量

在一個波長的波形鋼腹板兩端施加一對等值、反向的軸向力，采用卡氏第二定理計算出彎矩和軸力下的軸向位移，根據位移等效原則可求得波形鋼腹板等效為平鋼板的縱向彈性模量為

式中：Es為鋼板彈性模量； κ 為系數，

根據Ecetwe=Esetw及式（2）、（3）求出波形鋼腹板等效為混凝土腹板的縱向等效彈性模量為

式中：Ec為混凝土彈性模量；nE為鋼板與混凝土的彈性模量比，nE=Es/Ec；系數 λ=κnE/(ηnG) .

由于tw/hw一般很小，κ、λ則更小，波形鋼腹板表現出明顯的褶皺效應.

1.3 基本假定

根據薄壁箱梁的約束扭轉分析理論，結合波形鋼腹板的力學性能，對波形鋼腹板箱梁約束扭轉分析時作以下基本假定：

1） 剛性周邊假設，橫截面周邊不變形；

2） 橫截面上的翹曲正應力和剪應力沿壁厚均勻分布；

3） 混凝土頂底板與波形鋼腹板間不產生界面滑移，波形鋼腹板不發生剪切屈曲；

4） 波形鋼腹板箱梁處于線性彈性工作狀態.

2 約束扭轉應力

2.1 約束扭轉翹曲正應力

分析波形鋼腹板箱梁的約束扭轉效應時需考慮二次剪切變形的影響，引入廣義翹曲位移 β′(x) . 壁厚中面上任一點的縱向翹曲位移u(x,s)和切向位移v(x,s)分別為

式中： β′(x) 為廣義翹曲位移，x為縱向坐標；為廣義主扇性坐標，s為沿箱壁的曲線坐標，本文s原點取在豎向對稱軸與頂板中面的交點處； ρ(s) 為扭心至各板壁厚中面的垂直距離； φ (x) 為橫截面扭轉角.

由式（5）可得壁厚中面任一點的翹曲正應變和剪應變分別為

根據剛性周邊假設得各板件橫向正應變 εs=0 ，將式（6a）代入平面問題的物理方程求得翹曲正應力為

式中：Eo=Ec/(1-) ，μc為混凝土泊松比.

引起翹曲正應力的內力定義為扭轉雙力矩Bωˉ，借助式（7），可得

聯立式（7）和式（8）可得翹曲正應力與扭轉雙力矩的關系式為

2.2 約束扭轉剪應力

約束扭轉剪應力應按微元體平衡條件或根據自由扭矩和二次扭矩計算. 約束扭轉總扭矩Mz分解為自由扭轉扭矩M1和二次扭矩M2，對應總剪應力τz包含自由扭轉剪應力τ1和二次剪應力 τ2. 在閉口箱壁和懸臂板內同時存在τ1和 τ2，但是在懸臂板內的τ1沿壁厚呈線性分布且在壁厚中面上為0，故懸臂板承擔的自由扭轉扭矩和提供的抗扭剛度較小.

閉口箱壁中面上任一點的自由扭轉剪應力為

式∮中：Msc為閉口箱壁承擔的自由扭矩；ψ=Ω//tds，Ω為箱∮梁橫截面閉口箱壁中面所圍面積的2 倍；Id=Ω2/ 1/tds+/3 ，為全截面抗扭慣性矩；t為壁厚.

根據波形鋼腹板箱梁的抗扭特性需對抗扭慣性矩進行修正，考慮懸臂板的貢獻，抗扭慣性矩[17]為

式中：ζ為修正系數，對矩形波形鋼腹板箱梁，ζ=0.400bw/bt-0.060 ≥0.

將式（9）代入各板件微元體平衡方程?qωˉ/?s+(∮/?x)t=0，根據截面翹曲位移連續性條件(qωˉ/t)ds=0 ，求得各板件的二次剪力流qωˉ，進而可得壁厚中面上任一點的二次剪應力 τ2為

式中：M2=；為廣義扇性靜面矩.

由式（10）、（11）可得各板壁厚中面上任一點的總剪應力為

3 基于Reissner 原理建立控制微分方程

基于Reissner 原理建立波形鋼腹板箱梁的約束扭轉控制微分方程時，將位移和應力同時作為了變分參量，建立的能量泛函[18]為

式中： σ 為應力向量；u為位移向量； ε (u) 為應變向量；V(σ) 為余能密度；F為體力向量，本文中為0；P為面力向量；V為體積；l為計算跨徑.

能量泛函中的應變能為

將式（6）、（9）和式（12）代入式（14），得

余能函數為

將式（9）和式（12）代入式（16），得

當箱梁上僅作用分布扭矩mt時，外力勢能為

將式（15）、（17）和式（18）代入式（13），并對能量泛函數 ΠR進行一階變分運算，可得

由 δ ΠR=0 可得能量泛函的約束條件：

1） 力與位移的關系條件

2） 力的平衡條件

借助式（20）和式（21），并忽略mt的高階微分，可得波形鋼腹板箱梁約束扭轉控制微分方程為

不同于Reissner 原理，采用烏Ⅱ-理論推導波形鋼腹板箱梁約束扭轉控制微分方程時，首先要確定廣義翹曲位移 β′與扭率 φ′之間的關系. 由剪切胡克定律及式（6b）可得總剪力流qz為

M1和M2疊加得Mz，即

將式（24）及 dMz=-mtdz代入式（25），忽略mt的高階微分，可得約束扭轉控制微分方程為

兩種方法推導的約束扭轉控制微分方程表達式相同，且均可采用初參數法求解[19]，但翹曲系數公式不同. 采用烏-Ⅱ理論推導約束扭轉控制微分方程時應用了由胡克定律和微元體平衡條件得到的剪力流的兩種算式及兩種不一致的縱向翹曲位移[10]，且未考慮全部次生剪應力對中面剪切變形的影響. 應用Reissner 原理建立扭轉控制微分方程時將位移和應力同時作為變分參量，并考慮了全部次生剪應力對中面剪切變形的影響，通過建立能量泛函并對其變分，得出力與位移的關系條件及力的平衡條件，與剛性周邊假設下的力與位移的關系條件及力的平衡條件是相符的，因此該理論更準確.

4 算例分析

4.1 算例概況

算例采用計算跨徑為40 m 的簡支波形鋼腹板箱梁，梁端設置1.5 m 厚混凝土橫隔板，跨中作用集中扭矩荷載=1 000 kN·m ，箱梁橫截面尺寸見圖2. 圖2 中還示出了計算點Ⅰ ～ Ⅵ 的位置. 波形鋼腹板采用1600 型，其幾何尺寸：a=d=430 mm，c=370 mm，hw=220 mm，tw=16 mm. 混凝土的材料特性：Ec=34.5 GPa，Gc=13.8 GPa，μc=0.2；鋼板的材料特性：Es=206 GPa，Gs=79 GPa，μs=0.31. 求得扭心至頂板中面的距離為0.595 0 m，極慣性矩Iρ=4.823 6 m4，抗扭慣性矩Id=4.059 8 m4，廣義主扇性慣性矩Iωˉ=0.755 5 m6，按烏-Ⅱ理論和本文方法計算的翹曲系數分別為ξw=0.158 3，ξR=0.069 3.

圖2 波形鋼腹板箱梁橫截面 （單位：m）Fig. 2 Cross-section of box girder with CSWs （unit：m）

4.2 理論驗證

圖3 為按本文方法和烏-Ⅱ理論計算的扭轉內力分布曲線. 由圖3 可以看出：按不同方法計算的雙力矩和二次扭矩在跨中截面有明顯差異，按烏-Ⅱ理論計算的雙力矩和二次扭矩分別比本文方法計算的約增大了51%和128%. 由于兩種方法計算的翹曲系數差異較大導致扭轉內力的差異較大，也說明不同方法計算的翹曲系數對扭轉內力有顯著影響.

圖3 箱梁扭轉內力曲線Fig. 3 Torsional forces of box girder

為驗證本文方法合理性，按本文方法、烏-Ⅱ理論計算橫截面翹曲正應力和總剪應力，并與有限元解對比. 有限元解是采用ANSYS 軟件建立空間有限元模型求得，有限元模型如圖4 所示. 混凝土板和波形鋼腹板分別采用SOLID45 實體單元和SHELL63殼單元模擬，由于分析時假設波形鋼腹板與混凝土頂底板之間無界面滑移[20]，故在模型中殼單元和實體單元間用主從約束法作剛性連接處理；每側梁端底板上設置2 個支座，左側梁端約束為3 個坐標軸方向的平動位移Ux、Uy和Uz，右側梁端約束為橫向和豎向平動位移Uy和Uz；集中扭矩荷載等效成剛性扭轉荷載的力流形式，均勻施加于跨中截面閉合箱壁各單元的節點上，頂底板施加反向水平荷載/(2h)，其中，h為梁高，波形鋼腹板施加反向豎直荷載Mˉ/(2bt) . 剛性扭轉荷載下的箱梁有限元模型在縱向僅產生扭轉翹曲正應力.

圖4 波形鋼腹板箱梁有限元模型Fig. 4 Finite element model of box girder with CSWs

為避免有限元模型中集中扭矩施加位置的局部應力影響，根據扭轉內力分布及有限元模型的應力分布，選取距跨中1.6 m 的左截面正面（外法線方向與x軸一致的橫截面為正面）為分析截面. 以該截面上的Ⅰ、Ⅱ、Ⅴ 3 個計算點進行翹曲正應力對比，Ⅲ、Ⅳ、Ⅵ 3 個計算點進行總剪應力對比，各計算點的應力結果見表1. 表1 中的相對誤差為本文方法解或烏-Ⅱ理論解與有限元解的差除以有限元解求得. 由表1 可以看出，本文方法計算的應力與有限元解吻合更好. 但是由于剛性周邊等假設，理論解與有限元解之間還是存在一定的誤差.

表1 距跨中1.6 m 左截面應力比較Tab. 1 Comparison of stresses at left section 1.6 m from mid-span

4.3 應力分布

為了解波形鋼腹板箱梁的應力在橫截面上的分布規律，圖5 為跨中左截面翹曲正應力、二次剪應力、總剪應力的分布圖，其中箭頭方向為剪應力的方向. 由圖5 可以看出：點Ⅰ和點Ⅴ的翹曲正應力絕對值較大，而波形鋼腹板幾乎不產生翹曲正應力；點Ⅴ和點Ⅵ的二次剪應力絕對值較大，腹板的二次剪應力與自由扭轉剪應力疊加后使得總剪應力減小且沿梁高呈均勻分布，而底板的二次剪應力與自由扭轉剪應力疊加后使得總剪應力增大，懸臂板壁厚中面上不產生自由扭轉剪應力，但存在二次剪應力.

圖5 跨中左截面應力分布（單位：kPa）Fig. 5 Stress distribution at left section from mid-span（unit： kPa）

4.4 參數影響分析

為進一步探索截面幾何參數變化對波形鋼腹板箱梁約束扭轉效應的影響，選取不同高寬比的梁為分析對象. 梁高h分別取值為2.15、4.30 m，即高寬比h/bt分別為0.5、1.0. 根據圖2 分別改變tw、bf，腹板厚度tw以2 mm 為步長從8 mm 增大至22 mm，懸臂板單側寬度bf從0 開始以0.215 m 為步長增大至4.300 m，即懸臂板寬度與閉合箱壁寬度的比值（簡稱懸臂板寬度比，bf/bt）從0 開始以0.05 為步長增大至1.00.

為比較烏-Ⅱ理論與本文方法計算的翹曲系數的差異，圖6 繪制了烏-Ⅱ理論與本文方法計算的翹曲系數比值 ξw/ξR隨tw、bf/bt的變化曲線. 由圖6可以看出：翹曲系數比值受腹板厚度和懸臂板寬度比的影響顯著，且隨腹板厚度和懸臂板寬度比的增大呈增長趨勢，不同高寬比梁的翹曲系數比值增長趨勢有差異；當tw＞10 mm 和bf/bt＞0.20 時，翹曲系數比值大于1；翹曲系數比值偏離1 越遠，則兩種方法的計算結果差異越大；當腹板厚度為22 mm時，高寬比較小的梁的翹曲系數比值達到了4.70；當懸臂板寬度比為1.00 時，高寬比較大的梁的翹曲系數比值達到了3.10.

圖6 翹曲系數比值隨腹板厚度和懸臂板寬度比的變化曲線Fig. 6 Variation of warping coefficient ratio with web thickness and cantilever slab width ratio

由于點Ⅰ和點Ⅴ的翹曲正應力絕對值較大，圖7繪制了跨中左截面點Ⅰ和點Ⅴ翹曲正應力隨tw、bf/bt的變化曲線. 由圖7 可以看出：點Ⅰ和點Ⅴ的翹曲正應力絕對值均隨腹板厚度的增大而減少，隨懸臂板寬度比的增大先增大后減少，bf/bt=0.10 時開始減小；當bf/bt＞0.10 時，懸臂板寬度增大可以減少翹曲正應力.

圖7 翹曲正應力隨腹板厚度和懸臂板寬度比的變化曲線Fig. 7 Variation of warping normal stress with web thickness and cantilever slab width ratio

圖8 繪制了跨中左截面點 Ⅳ 和點 Ⅵ 的總剪應力隨tw、bf/bt的變化曲線. 由圖8 可以看出：高寬比較小的梁的總剪應力明顯大于高寬比較大的梁；對高寬比較大的梁，當tw=8 mm 和bf/bt=0.30 時，點Ⅵ總剪應力分別達到點 Ⅳ總剪應力的34.4%、30.2%，而混凝土與鋼板的剪切模量比為0.17，底板總剪應力顯然不容忽視，經分析，懸臂板根部的總剪應力同樣不容忽視. 因此，在波形鋼腹板箱梁設計時，應對頂底板進行精細化設計，防止斜裂縫的產生；隨著懸臂板寬度的增大，當bf/bt＞0.30 時，總剪應力幾乎不變；對高寬比較小的梁的總剪應力隨腹板厚度增大而減小，而對高寬比較大的梁，腹板厚度對總剪應力的影響不顯著.

圖8 總剪應力隨腹板厚度和懸臂板寬度比的變化曲線Fig. 8 Variation of total shear stress with web thickness and cantilever slab width ratio

5 結 論

1） Reissner 原理將位移和應力同時作為變分參量，考慮約束扭轉全部次生剪應力對中面剪切變形的影響來推導波形鋼腹板箱梁約束扭轉控制微分方程，理論更準確. 本文推導的約束扭轉控制微分方程表達式與烏-Ⅱ理論的相同，但翹曲系數公式不同.數值算例的結果表明，相對于烏-Ⅱ理論，本文方法的計算結果與有限元解吻合更好，驗證了本文方法的合理性.

2） 按烏-Ⅱ理論與本文方法計算的翹曲系數的比值表征了兩種理論計算結果的差異，翹曲系數比值偏離1 越遠，則計算結果的差異越大. 兩種方法計算的翹曲系數受腹板厚度和懸臂板寬度的影響顯著，翹曲系數比值最大可達到4.70.

3） 波形鋼腹板箱梁發生約束扭轉時，波形鋼腹板幾乎不承擔翹曲正應力，主要承擔剪應力，混凝土頂底板既承擔翹曲正應力又承擔剪應力. 底板總剪應力可達到腹板總剪應力的34.4%，而混凝土相對鋼板的抗剪性能較差，應對頂底板予以重視，并對其精細化設計，防止主拉應力超限引起斜裂縫.

4） 波形鋼腹板厚度增大可以減小約束扭轉翹曲正應力；隨著懸臂板寬度的增大，懸臂板寬度比大于0.10 時，翹曲正應力減小，而當懸臂板寬度比大于0.30 時，總剪應力幾乎無變化.