單位圓在三角函數教學中的作用

郭芳麗

(陜西省咸陽師范學院附中 712099)

在初中，我們利用直角三角形學習了銳角三角函數；到了高中，為進一步研究任意角的三角函數，需要借助單位圓.單位圓簡單直觀，具有圓的對稱性和旋轉不變性，三角函數有了單位圓的加入，便展開了一系列行之有效的教學活動.

1 理解弧度制

圖1

在講解角的集合與實數集對應關系的過程中，引入(如圖2所示)單位圓模型：讓單位圓M與數軸相切于原點O，把數軸看成一個皮尺， 對于任意一個正數a，它對應數軸上的點A，把線段OA逆時針方向纏繞到單位圓M上，點A對應單位圓上的點A′，這樣以MO為始邊，經逆時針方向旋轉以MA′為終邊的圓心角α的弧度數為正數a；同樣對于任意一個負數b，對應數軸上的點B，將線段OB順時針方向纏繞到單位圓M上，點B對應單位圓上點B′，則以MO為始邊經過順時針方向旋轉以MB′為終邊的圓心角β的弧度數為負數b.

2 定義任意角的三角函數

圖3

3 推導誘導公式

利用單位圓的對稱性與幾何直觀易得：

(1)角α與-α的終邊關于x軸對稱，終邊與單位圓交點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(圖4)，即cos(-α)=cosα=u,sin(-α)=-sinα=-v.

圖4 圖5

(2)角α與α±π的終邊關于原點對稱，終邊與單位圓交點的橫、縱坐標均互為相反數，即cos(α±π)=-cosα=-u,sin(α±π)=-sinα=-v(圖5).

(3)角α與π-α的終邊關于縱軸對稱，終邊與單位圓交點的橫坐標互為相反數，縱坐標相等，即cos(π-α)=-cosα=-u,sin(π-α)=sinα=v(圖6).

圖6 圖7

圖8 圖9

4 研究三角函數性質

如圖9，在給定的單位圓中，設任意角x的終邊與單位圓交于點P(cosx,sinx)，當自變量x變化時，點P的橫、縱坐標也在變化.根據正弦函數y=sinx和余弦函數y=cosx的定義，易知以下基本性質：

圖10

圖11

5 繪制三角函數的圖象

(1)先作出三角函數線：在圖12中，設單位圓與任意角α的終邊交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為點M，過點A(1,0)作x軸的垂線，與角α的終邊或終邊的反向延長線交于點T，則有向線段MP,OM,AT就是角α的正弦線、余弦線和正切線.

圖12

(2)再借助正弦線和正切線繪出正弦函數和正切函數在一個周期內的圖象(圖13).

圖13

6 證明同角三角函數關系

圖14 圖15

7 推證兩角差的余弦公式

所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

總之，將單位圓融入三角函數教學，不僅有很好的輔助借鑒意義，還事半功倍.