沿繩方向加速度問題的深入思考

鄧 偉

(重慶市開州中學 405499)

高中階段與繩連接有關的速度、加速度問題極為常見.處理繩牽連模型中速度分解問題時，教師經常用到的結論：沿繩方向的速度大小相等.但又引出另外一個值得我們深思的問題：沿繩方向的加速度大小是否相等？

1 一道聯考題的思考

在一次區域聯考中，筆者遇到一個很有爭議的題目，題目如下：

例1如圖1所示，將質量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質量為m的環，環套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d.現將環從與定滑輪等高的A處由靜止釋放，當環沿直桿下滑距離也為d時(圖中B處)，下列說法正確的是(重力加速度為g)( ).

A．環剛釋放時輕繩中的張力等于2mg

D．環減少的機械能大于重物增加的機械能

圖1

原參考答案：B.

解析環剛開始釋放后，重物由靜止開始加速上升，故重物有向上的加速度，根據牛頓第二定律有F-2mg=2ma,得F>2mg，故A項錯誤；

有教師認為：環剛開始釋放時，環的加速度為g，通過沿繩方向加速度相等，得到重物在環釋放瞬間加速度為0，則繩的張力F=2mg，故A正確.那究竟哪種說法是正確的呢？

2 沿繩方向加速度關系與速度關系是否相同

假設沿繩方向加速度與速度的關系是一致的，以例1為例，設環到B點的加速度向下為aB，此時繩與桿的夾角為θ，若我們類比速度之間的關系，可以得到重物加速度a物=aBcosθ.再用特例進行反證：如果環下落到B點前，在外力作用下已保持勻速下落，在B點對環分析，有aB=0，從加速度關系可得，重物上升加速度a物=aB=0，說明重物也是勻速上升.但從速度關聯的角度，當環勻速下落時，因為兩者速度滿足v物=vBcosθ，當環下落過程中，角度θ越來越小，利用余弦函數得出重物上升速度是越來越大的，說明重物的加速度豎直向上不為0.兩個結論產生了矛盾，說明假設不成立：沿著繩方向加速度關系與沿繩方向速度關系不一定相同.

3 沿繩方向加速度關系的推導

同樣借助例1，用數學方法來推導：

圖2

[f(g(t))]′=f′(g(t))·g′(t)得：

①

②

③

④

將②③④式代入①式得：

⑤

⑥

綜上分析，我們可以得出結論：環的加速度沿繩的分量等于重物上升加速度(左端繩子伸長的加速度)與環繞點轉動的向心加速度矢量和.

4 高中范圍內，哪些情況物體沿繩方向加速度相等

4.1 繩兩側的物體速度方向與連接的繩平行，都做直線運動，不存在繞點轉動.

例2如圖3所示，A、B兩小球由繞過輕質定滑輪的輕繩相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數為k的輕質彈簧相連，C球放在水平地面上.現用手控制住A，并使輕繩剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側輕繩豎直、右側輕繩與斜面平行.已知A的質量為4m，B、C的質量均為m，重力加速度為g，輕繩與滑輪之間的摩擦不計.開始時整個系統處于靜止狀態；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面.求：斜面的傾角α；

圖3

解析:由題意可知，當A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面，C的加速度為0；AB加速度時刻相等，此時為零.將ABC作為一個整體：

由牛頓第二定律得4mgsinα-2mg=0，

4.2 物體做圓周運動存在繞點轉動的情況，但速度為0

物體即使存在繞點轉動的情況，如果速度為0，向心加速度也為0，所以沿繩方向的加速度仍然相同，這些情況一般出現在開始運動時或運動結束時.

例3(2018江蘇卷)如圖4所示，釘子A、B相距5l，處于同一高度．細線的一端系有質量為M的小物塊，另一端繞過A固定于B．質量為m的小球固定在細線上C點，B、C間的線長為3l．用手豎直向下拉住小球，使小球和物塊都靜止，此時BC與水平方向的夾角為53°.松手后，小球運動到與A、B相同高度時的速度恰好為零，然后向下運動．忽略一切摩擦，重力加速度為g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6.求：

圖4

(3)小球向下運動到最低點時，物塊M所受的拉力大小T.

對例1分析，也屬于第二類情況，由于初速度為0，所以沿繩方向加速度相同，由于初始位置的繩子與環的加速度方向垂直，故重物上升加速度為0，此時繩子的拉力等于物體受到的重力，故A選項為正確答案.

5 綜述

通過對沿繩方向加速度問題的深入思考，可以得如下結論：連接體沿繩方向加速度的關系與速度間的關系不一定相同.我們既要考慮平動的加速度，也要考慮轉動時的向心加速度.在高中物理繩牽連模型中，下列兩種情況的加速度與速度關系是相同的：第一，繩兩側的物體速度方向與連接的繩子平行，都做直線運動，不存在繞點轉動的情況；第二，物體做圓周運動存在繞點轉動時，但速度為0的情況.