分類討論思想在高考解題中的應(yīng)用研究

邵雪潔 白 偉

(寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 756000)

1 前言

數(shù)學(xué)是一門(mén)高度抽象的學(xué)科，因此產(chǎn)生了數(shù)學(xué)獨(dú)特的思想與方法.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，思想與方法尤為重要.2022年高考，數(shù)學(xué)試卷的難度再次成為社會(huì)熱點(diǎn)，很多學(xué)生抱怨高考題太難.這背后暴露的問(wèn)題是沒(méi)有正確掌握高中數(shù)學(xué)思想與方法，知識(shí)學(xué)習(xí)與掌握流于表面，導(dǎo)致基礎(chǔ)不扎實(shí)，所以，教師在教學(xué)中要注重對(duì)學(xué)生思想方法的滲透，學(xué)生在學(xué)習(xí)中也要關(guān)注知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法.分類討論是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的一種基本且重要的思想方法，可以有效將問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單化處理，大大降低解題的難度.近幾年高考中，分類討論思想涉及題目所占分?jǐn)?shù)比例居高不下.因此，本研究從高考題出發(fā)，研究分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用，希望能為教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)提供一些啟發(fā).

2 相關(guān)理論

《數(shù)學(xué)辭海》第六卷指出：分類討論方法是一種常用的研究方法，當(dāng)被研究的問(wèn)題包含多種可能的情況，而人們不能對(duì)它一概而論的時(shí)候，就需要按照問(wèn)題出現(xiàn)的所有可能情況進(jìn)行討論，綜合每種情況下相應(yīng)的結(jié)論，從而使問(wèn)題得以解決的方法.

分類討論思想的關(guān)鍵在于分類，分類是將研究對(duì)象的全體按照一定的邏輯分成不同的小集合.分類需要遵循同一性原則和合理性原則，保證分類結(jié)果的準(zhǔn)確性.同一性原則，即同一問(wèn)題的分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能交叉使用不同標(biāo)準(zhǔn)，這樣才能避免分類結(jié)果的重疊或超出討論對(duì)象的整體范圍.從集合的角度來(lái)看，被分類的大集合可以由小集合合并組成，且小集合的交集是空集.合理性原則要求分類要有依據(jù)，根據(jù)研究對(duì)象和問(wèn)題進(jìn)行分類，而且要有利于問(wèn)題的解決.當(dāng)進(jìn)行分類討論時(shí)，一般可以遵循以下步驟：確定討論對(duì)象的全體、對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理分類、對(duì)不同子類分別進(jìn)行討論、將所有子類的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)歸納.

3 分類討論思想在高考解題中的應(yīng)用統(tǒng)計(jì)

為了得到高考對(duì)于分類討論思想考查的一般規(guī)律，筆者選取了2018年到2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷(理科)的5套試題為例，對(duì)題目類型、分?jǐn)?shù)占比和考查知識(shí)點(diǎn)三個(gè)方面進(jìn)行分析，分析結(jié)論見(jiàn)表1.

表1

3.1 題目類型

從表1的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，高考對(duì)于分類討論思想考查的題目類型涵蓋了所有高考試題類型.填空和選擇大概率會(huì)涉及兩道題目，分值約10分.解答題中的考查基本設(shè)置在最后兩道綜合性較強(qiáng)的題目中和兩道選考題中，每套題目都有涉及，分值在25分左右.由此不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于分類討論思想的考查較為集中地分布在綜合性較強(qiáng)的難題之中.

3.2 分?jǐn)?shù)占比分析

從表1的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，2018-2022年高考題中關(guān)于分類討論思想考查的分?jǐn)?shù)占比均在20%-30%之間，每年分?jǐn)?shù)占比相對(duì)穩(wěn)定.從占比數(shù)值上來(lái)看，分類討論思想的應(yīng)用在高考考查中占有較大的比重，且居高不下，所以分類討論思想的教學(xué)和學(xué)習(xí)應(yīng)該受到教師和學(xué)生的特別重視.

3.3 考查內(nèi)容分析

縱觀5套高考題，關(guān)于分類討論思想的考查涉及內(nèi)容很廣，幾乎涵蓋了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全部?jī)?nèi)容，主要包括概率問(wèn)題、代數(shù)問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題、絕對(duì)值問(wèn)題、幾何問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題等.分類討論思想運(yùn)用范圍的廣泛性也決定了它在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位.

4 具體案例分析

4.1 函數(shù)問(wèn)題

函數(shù)問(wèn)題是高考考查的難點(diǎn)問(wèn)題，分類討論思想與函數(shù)問(wèn)題的結(jié)合也是屢見(jiàn)不鮮，而且常常是壓軸題目.函數(shù)單調(diào)性的討論、含參數(shù)問(wèn)題、不等式恒成立問(wèn)題、交點(diǎn)問(wèn)題等都是常見(jiàn)的考查形式.在函數(shù)問(wèn)題中如何進(jìn)行分類討論，以2021年高考全國(guó)Ⅰ卷(理)第20題為例.

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn).

(1)求a；

分析(1)第(1)問(wèn)需要求出含參數(shù)a的函數(shù)y=xf(x)=xln(a-x)的導(dǎo)函數(shù)，將x=0代入導(dǎo)函數(shù)中，可由極值點(diǎn)得到對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值為零，可求出a=1.注意接下來(lái)還要驗(yàn)證當(dāng)a=1時(shí)，x=0是函數(shù)y的極值點(diǎn).

(2)由題意可得xf(x)≠0，所以自變量范圍是x<1且x≠0，將自變量分為0xf(x)，為了方便求導(dǎo)函數(shù)，令1-x=t，可構(gòu)造新的函數(shù)求極值，同樣需要討論新函數(shù)單調(diào)性，可以得出新函數(shù)滿足q(t)>q(1)=0，即可證明g(x)<1.

4.2 去絕對(duì)值問(wèn)題

絕對(duì)值問(wèn)題經(jīng)常在高考選考題的不等式選講部分進(jìn)行考查，考查的方式多是用絕對(duì)值定義函數(shù)問(wèn)題.絕對(duì)值由于其自身的定義，在進(jìn)行去絕對(duì)值時(shí)要進(jìn)行分類討論.如果學(xué)生能夠進(jìn)行正確的分類并將絕對(duì)值去掉，那么由絕對(duì)值定義的函數(shù)將會(huì)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行作答即可.下面以2020年高考全國(guó)Ⅰ卷(理)第23題為例進(jìn)行分析.

例2已知函數(shù)f(x)=|3x+1|-2|x-1|.

(1)畫(huà)出y=f(x)的圖象；

(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集；

(2)將不等式進(jìn)行移項(xiàng)后，用函數(shù)h(x)表示出f(x)-f(x+1)，即h(x)=|3x+1|-|3x+4|+2|x|-2|x-1|，然后仿照第(1)問(wèn)進(jìn)行分類討論去絕對(duì)值后，在每一類情況下令h(x)>0求出解集，最后將所有結(jié)果進(jìn)行歸納綜合，即可得出f(x)>f(x+1)解集.

4.3 解析幾何問(wèn)題

幾何問(wèn)題也是高中階段的重難點(diǎn)問(wèn)題，是高考中的重要考查內(nèi)容，常常以解答題的形式出現(xiàn).直線斜率的存在問(wèn)題、參數(shù)問(wèn)題、圖形的位置關(guān)系等都是比較復(fù)雜的問(wèn)題.這類問(wèn)題通常需要應(yīng)用分類討論思想將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.下面以2022年高考全國(guó)Ⅰ卷(理)第20題進(jìn)行舉例分析.

(1)求E的方程；

4.4 概率問(wèn)題

概率問(wèn)題在高考中屬于必考題，很多題目的求解需要學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類，例如在排列組合、比賽問(wèn)題、涂色問(wèn)題中，都需要學(xué)生能夠把握特殊元素或者特殊位置進(jìn)行分類討論.一般來(lái)說(shuō)難度不大，偶爾也會(huì)有相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題，但是無(wú)論何種難度的概率問(wèn)題，學(xué)生能夠把握問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行分類是正確解決問(wèn)題的前提和關(guān)鍵.下面以2018年高考全國(guó)Ⅰ卷(理)第15題為例進(jìn)行闡述.

例4 從2位女生，4位男生中選3個(gè)人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有____種.

分析本題考查實(shí)際情境中組合問(wèn)題的概率求解，設(shè)置生活中的問(wèn)題情景，考查學(xué)生的實(shí)際問(wèn)題求解能力.學(xué)生只需將題目中的問(wèn)題分成兩類進(jìn)行討論，即一位女生參加和兩位女生參加，然后分別求出概率，將兩種情況的概率相加即可.

5 總結(jié)

本文通過(guò)對(duì)高考題的研究，發(fā)現(xiàn)高考特別重視對(duì)學(xué)生分類討論思想的考查.這其實(shí)不難理解，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)是內(nèi)容多、難度大，而分類討論思想能夠簡(jiǎn)化研究對(duì)象，幫助發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，所以有關(guān)分類討論思想的命題在高考中長(zhǎng)期占有著重要地位.因此，分類討論思想方法的掌握無(wú)疑是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的關(guān)鍵.教師在平時(shí)的教學(xué)中要以知識(shí)為載體，注重分類討論思想方法的培養(yǎng)，從而提高學(xué)生問(wèn)題解決的能力.