高中階段的排列組合問題

梁佳殷

(黑龍江省哈爾濱師范大學教師教育學院 150025)

1 特殊元素和特殊位置

這類問題的主要特征是具有特殊元素或者特殊位置.這時我們應優先安排它們的位置.

例1由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字的四位奇數？

2 元素之間相鄰

這類問題的主要特征是有某幾個元素必須相鄰.這時我們先將它們捆綁在一起，視為一個元素，先求捆綁外部的排列，再求捆綁內部的排列，稱為捆綁法.

例2A，B，C，D，E，F，G七個人站在一排拍照，其中A，B，E三人想站在一起，D，G二人想站在一起，求一共有多少種不同的站法？

3 元素之間不相鄰

這類問題的主要特征是有某幾個元素必須不相鄰.這時我們可以先將沒有特殊要求的元素進行排列，再將必須不相鄰的元素進行插空，稱為插空法.

例3 (改自2021年理科甲卷10)將4個1和2個0隨機排成一行，若2個0不相鄰，共有多少種不同的排法？

4 元素之間順序固定

這類問題的主要特征是有某幾個元素的前后順序固定，這時我們共有三種做法.其一，先將其他元素安排進空位中，再考慮順序固定的幾個元素；其二，先將順序固定的幾個元素列出，用其他元素進行插空；其三，對所有元素進行全排列，再除去順序固定元素的排列數.

例4學校迎新晚會共有A，B，C，D，E，F，G七個節目，考慮到節目效果，節目G必須在節目A之前，節目A必須在節目D之前，求一共能安排多少種不同的節目順序？

解法2 先將順序固定的幾個元素列出，由于其順序固定，只有1種排法，即GAD，再將剩余的4個元素進行插空，放入第一個元素時有4個空位，放入第二個元素時有5個空位，放入第三個元素時有6個空位，放入第四個元素時有7個空位，由分步乘法計數原理可得，共有1×4×5×6×7=840種不同的節目順序.

5 分配問題

這類問題的主要特征是將元素分配到不同的位置中，且每個位置要求至少有幾個元素.這時我們先按照要求進行選擇，再進行分配.

例5將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有( ).

A.60種 B.120種 C.240種 D.480種

6 分組問題

例6將A，B，C，D，E，F，G七個人分為3組，一組3個人，另外兩組2個人，求共有多少種分法？

7 元素相同問題

這類問題的主要特征是元素之間沒有任何區別，再將它們進行分組，且每組至少一個元素.這時我們先將全部元素列出，以插板的方式將其分組，即用(m-1)個隔板將全部n個相同元素分為m段，稱為隔板法.

例7把10個相同的小球放入7個不同的盒子中，每個盒子至少放1個球，共有幾種不同的放法？

8 復雜問題

之所以稱為復雜問題，是因為這類問題一般都不太容易理解，給的條件很復雜，學生在遇到這種題后第一反應一般是分類，就很容易出現多算、漏算的現象.這時我們可以將問題轉化為上述7類問題中的一種便于解答.

例8現有排成一排的十把椅子，若A，B，C，D四人都要入座，且每個人的左右兩邊都想留有一個空位，則一共有多少種不同的坐法？

9 分情況討論問題

這應該是學生最喜歡的一類問題，沒有什么特殊的技巧和解法，僅是討論各種可能的情況就能夠得出答案.

例9現要求在4名男生和3名女生中選擇4人作為班會的主持人，且要求必須有男生也有女生，求有多少種不同的選法？

注：有時運用窮舉法或者畫樹狀圖的方式，可能會得到意想不到的效果.

10 染色問題

染色問題是一種復雜的分情況討論問題，做法一般是先選擇其中一個位置，再跳格進行討論.

圖1

例10如圖1，一環形花壇分成A，B，C，D四塊，現有4種不同的花供選種，現在要求在花壇的每一塊都要種且只能種1種花，且相鄰的2塊所種的花顏色不能相同，則不同的種法總數為____.

這類問題也存在著通解，若一個圓被分為n個扇形，想用m種不同的顏色進行染色，每個小扇形只能染一種顏色且相鄰的兩個扇形顏色不能相同，則其共有(m-1)n+(-1)n(m-1)種不同的染色方法.

排列組合這一節對學生的數學建模、數學運算、邏輯推理等核心素養要求較高，但只要多加練習，能夠認準題型并熟練運用對應的方法，注意細節，就可以輕松解決.