聚焦“待定系數法”的解題應用

朱 磊

(江蘇省新海高級中學 222006)

眾所周知，“待定系數法”是分析、解決有關代數問題的一種常用解題技巧.如果在解題中能夠加以適時靈活運用，那么可幫助我們確定解題的思維方向，獲得問題的簡捷求解.基于此，本文擬通過歸類舉例的方式加以具體說明，旨在幫助同學們提升解題的技能技巧.

1 運用“待定系數法”，處理冪函數問題

解析由于f(x)是冪函數，可設f(x)=xα，從而根據f(4)=3f(2)得4a=3×2a，解得a=log23.

所以函數f(x)=xlog23.

評注一般地，如果題意給出f(x)是冪函數，那么可靈活運用“待定系數法”求解函數f(x)的解析式，此時應設f(x)=xα，這里α是一個待定量，可由其他已知條件求解.

2 運用“待定系數法”，處理復數問題

解析設復數z=a+bi(a,b∈R)，

因為z-i=a+(b-1)i，

解得a=b=1.故所求復數z=1+i.

評注一般地，求解有關復數問題時，如果已知條件中無具體的復數，那么解題時可先設出復數的代數形式，化抽象為具體，有利于活用復數的四則運算，進一步分析、解決問題.

3 運用“待定系數法”，求解數列的通項公式

例3在數列{an}中，a2=4,a5=22,a6=32，且通項公式an是二次函數，求數列{an}的通項公式.

解析因為{an}的通項公式an是二次函數，

所以可設an=an2+bn+c(a≠0).

因此，根據a2=4,a5=22,a6=32，可得

故所求數列{an}的通項公式為an=n2-n+2.

評注從函數的角度看，本題實際上研究的是根據二次函數圖象上的三個不同的點，求解二次函數的解析式.結合本題，我們可進一步理解、認識：數列是一類特殊的函數.

4 運用“待定系數法”，求解圓的方程

例4若圓C經過坐標原點和點(4,0)，且與直線y=1相切，則圓C的方程是____.

解析設圓C的方程為

(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，

則根據題意可得

評注運用“待定系數法”求解圓的方程時，可活用圓方程的標準式或一般式.具體問題求解的關鍵是先依據題設構建關于參數a,b,r(或D,E,F)的方程組，再求解該方程組.

5 運用“待定系數法”，求解直線的方程

例5已知點P(2,0)，圓C:x2+y2-6x+4y+4=0，若點P∈l，且圓心C到直線l的距離等于1，求直線l的方程.

解析若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y=k(x-2)，即kx-y-2k=0.

化簡,得3x+4y-6=0.

若直線l的斜率不存在，則易知直線l的方程為x=2，所以圓心C(3,-2)到直線l的距離等于1，適合題意.

綜上，所求直線l的方程為3x+4y-6=0，或者x=2.

評注運用“待定系數法”求直線的方程時，可靈活運用直線方程的幾種不同形式.特別提醒：利用點斜式、斜截式時，若不明確直線的斜率是否存在，則應分情況加以討論.

6 運用“待定系數法”，求解圓錐曲線的方程

解析設橢圓的方程為

則根據題意，得

7 運用“待定系數法”，求解函數的解析式

例7根據下列條件，求解函數f(x)的解析式：

(1)已知導函數f′(x)是一次函數，且x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1；

(2)已知函數f(x)是三次函數，且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0.

解析(1)根據導函數f′(x)是一次函數，可知f(x)是一元二次函數，從而設函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，則f′(x)=2ax+b.

從而，根據x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1，得

x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1.

化簡，得(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.

又因為上式對?x∈R恒成立，則有a=b,b=2c,c=1,解得a=2,b=2,c=1.

故f(x)=2x2+2x+1.

(2)由于f(x)是三次函數，因此可設函數

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，

則求導得f′(x)=3ax2+2bx+c.

于是，由題意可得

故f(x)=x3-3x2+3.

評注如果已知所給函數是一元二次函數(或一元三次函數)，那么活用“待定系數法”可巧求函數解析式，往往需要設為一元二次函數(或一元三次函數)的一般式或其他形式.

8 運用“待定系數法”，處理有關立體幾何問題

圖1 圖2 圖3

解析如圖3所示，建立空間坐標系A-xyz，則點C(4,4,0),E(4,0,2),P(0,0,4),D(0,4,0).

根據圖形，可設點F(a,0,0)，

設n=(x1,y1,z1)是平面DEF的法向量，

設m=(x2,y2,z2)是平面PCE的法向量，

令x2=1，則y2=1,z2=2，故取m=(1,1,2)．

因此，由平面DEF⊥平面PCE,得m·n=0

評注一般地，運用“待定系數法”可幫助我們順利求解平面法向量的坐標.特別地，如果能夠由圖形直接確定直線與平面垂直，那么該平面的法向量的坐標易觀察獲得，此時就不需要利用“待定系數法”.

綜上可知，靈活運用“待定系數法”能夠幫助我們根據題意創設有利條件，迅速明確解題的方向，從而便于順利求解目標問題.顯然，只有在解題實踐之后，不斷進行歸納、總結，才能在具體解題時努力做到活用“待定系數法”迅速處理相關數學問題.