利用函數的性質求參數的取值范圍

2022-11-03 04:14:10田素偉

數理化解題研究 2022年28期

田素偉

(上海市泥城中學 201306)

函數和不等式是歷年高考的重點和難點，近年來，數學高考中出現了一些重視基礎、考查能力的新型試題，特別是在不等式恒成立或方程的問題中含參數的問題更是精彩紛呈，如何求這類問題中參數的取值范圍？下面就常見的幾種題型分別舉例說明.

1 構造函數求參數的取值范圍

例1 如果x∈[2,3]時，不等式2021x+a-2021ax2+1≥2022-x-a-2022-ax2-1恒成立，求實數a的取值范圍.

解析由2021x+a-2021ax2+1≥2022-x-a-2022-ax2-1，可得

2021x+a-2022-x-a≥2021ax2+1-2022-ax2-1.

構造函數f(x)=2021x-2022-x，

由此可知f(x)=2021x-2022-x在(-∞，+∞)是增函數.

所以f(x+a)=2021x+a-2022-x-a，

f(ax2+1)=2021ax2+1-2022-ax2-1.

由2021x+a-2022-x-a≥2021ax2+1-2022-ax2-1可得f(x+a)≥f(ax2+1).

所以x+a≥ax2+1.

所以原題可化為：當x∈[2,3]時，不等式x+a≥ax2+1恒成立，求實數a的取值范圍.

2 雙變量問題先確定主變量求參數的取值范圍

分析本題中有兩個變量m和θ，題目中含有符號f，如何去掉f，利用函數的單調性即可.

解析由f(x)=x2021+x，顯然f(x)為奇函數，且單調遞增.

因為f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立，

所以f(msinθ)>f(m-1)恒成立.

所以msinθ>m-1恒成立.

這里有兩個變量m和t，因為t的取值范圍已經確定，所以確定以t為主變量，把不等式轉化為關于t的函數,設f(t)=mt-m+1,

(1)當m=0時,此時f(t)=1>0符合題意;

解得m<1且m≠0.

在進行完現場勘察后，根據所獲得的實際情況以及相關資料，特別是安全要求和技術要求，來進行運維現場的危險源辨識、危險點預測等。所謂危險源辨識指的是系統分析作業現場的實際情況，對有危險隱患存在的位置、方式以及可能發生事故的規律和途徑來進行分析和辨識。在實際的辨識危險源過程中，要進行責任制，安排專門的負責人和工作人員來細分責任。全面排查現場的各方面隱患，由負責人實施落實。

由(1)(2)可知：實數m的取值范圍是(-∞,1).

評析本題利用函數的性質轉化為關于兩個變量m和t的不等式，因為t的取值范圍已經確定，所以確定以t為主變量，把不等式轉化為關于t的函數,一般情況下含兩個變量m和t的不等式，如果其中一個變量的取值范圍能確定，那么就以這個變量為主變量，另外一個變量作為參數.

3 在任意和存在性問題中求參數的取值范圍

所以函數f(x)max=f(1)=10.

因為g(x)=2x+m在區間[2,3]上單調遞增，

所以g(x)max=23+m=8+m.

所以10≤8+m.

所以m≥2.

解析因為對?x1∈[-1,3]，?x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，所以只需f(x)min≥g(x)min即可.

4 利用數形結合求參數的取值范圍

分析首先通過函數圖象變換作出f(x)的圖象(如圖1)，因為關于f(x)的一元二次方程[f(x)]2+bf(x)+c=0最多只能解出2個f(x),若方程要恰有七個不相同的實數解,設[f(x)]2+bf(x)+c=0的兩個根分別是f1(x)，f2(x),所以兩個函數值f1(x)，f2(x)共對應7個不同的x,假設函數值f1(x)對應3個不同的x，f2(x)函數值共對應4個不同的x，設t=f(x)，所以函數y=t與y=f1(x)圖象的交點是3個，函數y=t和y=f2(x)的圖象的交點是4個，由圖象可知t=1或t=0時,即f1(x)=1,函數y=t與y=f1(x)圖象的交點是3個，由圖象可知0

解析首先通過函數圖象變換作出f(x)的圖象(如圖1).