例談“以直代曲”思想在證明代數不等式中的應用

金 毅

(內蒙古自治區呼和浩特市第二中學 010000)

我們經常會見到一類條件不等式，給出有限個變量的范圍或它們和的值，之后證明與這些變量有關的代數式的和的取值范圍.

一種通常的表現形式是：

當然，等號或不等號的呈現形式也不唯一，以上僅作為一個常見表示展現給大家，目的是從形式上先做了解. 我們可以看到，很多解答中對這類問題都展現了非常高超的配湊變形技巧，這讓我們不禁思考：對于這類問題在思考時的總體方向是什么？本文就將深入探究這類問題，將思考的過程予以展現，找出問題思考的總體方向，尋找隱藏在變形技巧后面的總體規律，并形成主要的解題思想——以直代曲.

1 “以直代曲”思想之割線放縮技巧

割線放縮是以直代曲思想的重要呈現，它的理論基礎是函數的凸性. 關于函數的凸性，我們利用二階導數判斷，當f″(x)≤0在區間M上成立時，f(x)在區間M上為上凸函數；當f″(x)≥0在區間M上成立時，f(x)在區間M上為下凸函數.

圖1

這樣，我們得到了在[0,1]上的不等關系

故原不等式成立，取等條件為a=b=c=d=1.

點評本題是利用割線放縮的一道典型例題，首先，整體的放縮方向是“往大放”，同時考慮到函數的凸性是“下凸”，于是想到“封口”處理. 從圖1來看，直線和函數是“割線”關系，故名割線放縮. 事實上，根據剛才對例題的分析可以看到，函數的凸性是在放縮過程中必須要重點考慮的一個部分. 可以看到，割線放縮的關鍵是根據不等式的結構形式，找到要研究的函數，之后研究這個函數的凸性區間端點等非常重要的信息，之后確定直線的位置.

2 “以直代曲”思想之切線放縮技巧

通過剛才的分析，我們知道分析函數的凸性是極為重要的，這點不僅僅是應用在割線放縮中，切線放縮也至關重要. 同樣，切線放縮也是“以直代曲”思想的重要呈現.

圖2

根據剛才的分析，[0,1]上的凸性不一致，所以我們要用作差配湊的方式嚴謹證明此不等式.

點評本題依據函數在取等條件時的凸性決定使用切線放縮. 本題的函數凸性不唯一，所以在證明時我們用了作差比較來嚴格證明. 例1的函數凸性唯一，所以我們使用圖象說明即可. 切線放縮是一種更為常用的與函數凸性結合的方法，一般的步驟仍然是先分析函數凸性，根據不等號方向確定切線放縮的直線，同時，切點可以根據取等條件確定.

令h(x)=-36x3+15x2+2x-1，

h′(x)=-108x2+30x+2=(1-3x)(36x+2)，

所以，令a+b+c=1，得到的是等價不等式，這樣處理是合理的.

3 “以直代曲”思想之切割線放縮的綜合應用

可以看出，在[0,2]上函數凹凸性不唯一，應該是先上凸再下凸. 結合要放縮的方向，我們總體上使用割線放縮. 但是，因為是先上凸后下凸，如果連接區間端點的話就會穿過圖象，我們的考慮是從區間左端點向下凸部分引切線. 也就是說，我們用“切點”作為割線放縮“封口”的另一個端點.

圖3

點評從本題來看，雖然主體使用了割線放縮，但是其中的一個端點使用了切點，也就是說，本題綜合使用了前面的兩個“以直代曲”的思路. 事實上，在具體利用直線放縮不等式的時候，不是固定用切線或者是割線，而是一定要根據函數的凸性，“因地制宜”地選擇解決問題的方法.

本文展示了“以直代曲”的具體思想來解決代數不等式問題，給出了每一個放縮時具體用的函數圖象. 在實際做題中，函數的凸性分析是至關重要的. 一定要在具體的問題中靈活運用，用圖形從直觀形象的分析中盡快找到解決問題的思路.