進行不等式運算 “同解變形”是關鍵

田加貴

(云南師范大學附屬中學 650106)

高一學生在剛進入高中學習時，學習了一些簡單的不等式知識，對于不等式的性質和運算往往用等式的性質和運算來操作，而且出現了錯誤后還不清楚錯在什么地方，筆者近期在為學生布置課后練習時，有這樣一道練習題：

題目已知實數a,b滿足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4.

(1)求實數a,b的取值范圍;

(2)求3a-2b的取值范圍.

對于這道練習題，有的學生做出了結果，但解答是不正確的，有些學生解答的結果本身就是錯誤的，這些學生還不知道是為什么，自已也找不出原因，這究竟是怎么回事呢？下面列舉兩種典型的錯誤作一點分析，并對原題給出幾種解答，僅供參考.

錯解1(1) 因為 -3≤a+b≤2，

①

-1≤a-b≤4，

②

①+②，得-4≤2a≤6.

即-2≤a≤3.

所以實數a的取值范圍為[-2,3].

由②得 -4≤-a+b≤1.

③

①+③,得 -7≤2b≤3.

(2) 由(1)有 -2≤a≤3.

即-6≤3a≤9 .

④

由(1)有 -7≤2b≤3 .

即-3≤-2b≤7 .

⑤

④+⑤,得-9≤3a-2b≤16.

所以3a-2b的取值范圍為[-9,16].

錯解2 (1) 同上(略).

(2) 由(1)有 -2≤a≤3.

⑥

由②得-2≤2a-2b≤8.

⑦

⑥+⑦,得-4≤3a-2b≤11.

所以3a-2b的取值范圍為[-4,11].

錯誤原因1 對于(1)問，在進行一些同向不等式相加時, 不是同解變形.

由于結果是單獨要求實數a,b的取值范圍，所以無可厚非.

對于(2)問，由于在運算中，應用了(1)問的非同解變形的結果或再一次進行了非同解變形運算，從而造成錯誤解答. 也就是說不應當利用擴大了范圍的結果或行為進行后續運算.

錯誤原因2 前一解法的(2)問，屬于推理錯誤，結果錯誤；后一解法的(2)問，屬于推理錯誤，結果正確.

錯誤原因3 前一解法的(2)問，得到

不妨取a=3，b=1，則有a+b=4.

顯然不滿足-3≤a+b≤2.

后一解法的(2)問，也是利用了由

-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4,

得到-4≤2a≤6.即-2≤a≤3.

這種在非同解變形的條件下，表面上得到了正確結果，但這只是一種巧合而已.因為a并不能在[-2,3]上任意取值，這是由于b還不確定；再者如果按照這種推理，由-2≤a≤3 得-3≤-a≤2， 又由-3≤-a≤2和-3≤a+b≤2可得-6≤b≤4，這樣由-2≤a≤3和-6≤b≤4可得-8≤a+b≤7，這還是-3≤a+b≤2嗎？

正解1 (1) 同上(略).

(2)(待定系數法)

設3a-2b=m(a+b)+n(a-b)

=(m+n)a+(m-n)b，

所以3a-2b的取值范圍為[-4,11].

正解2 (1) 同上(略).

(2)(換元法)

設a+b=A，a-b=B， 則

-3≤A≤2，-1≤B≤4.

所以3a-2b的取值范圍為[-4,11].

正解3 (1) 同上(略).

(2)(構造法)

因為以上三點其任意兩點連線斜率相等, 即

即-4≤3a-2b≤11.

正解4 (1) 同上(略).

(2)(數形結合法)

因為在平面直角坐標系aOb中，滿足不等式-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4的實數a,b的值構成的點(a,b)形成圖1陰影區域.

圖1 圖2

令k=3a-2b，

當a=-2，b=-1時，得

kmin=3×(-2)-2×(-1)=-4.

當a=3，b=-1時，得

kmax=3×3-2×(-1)=11.

所以 -4≤k≤11.

即-4≤3a-2b≤11.