一道雙變元代數式最值的探究

王 健

(安徽省滁州中學 239000)

涉及雙變元(或多變元)代數式的最值或取值范圍問題是高考、自主招生以及各類數學競賽中的熱點之一．此類問題的破解方法與切入點多種多樣，往往能合理交匯數學知識，融合數學思想，拓展思維方法，提升數學能力，是培養考生的數學核心素養的一大主陣地，備受各方關注．

1 問題呈現

2 問題剖析

此題以雙變元的代數式的值為條件，進而求解其中涉及一次分式的關系式的最大值與最小值，參數不具有對稱性或輪換性，沒有特殊的規律．

結合題目條件與代數關系式的特征，可以通過換元思維(單變量換元或雙變量換元)，利用解二次不等式來達到目的；可以通過配湊思維，利用基本不等式來達到目的；可以借助不等式的性質以及不等式的求解，借助不等式性質達到目的；還可以通過重要不等式，利用權方和不等式來達到目的等．

3 問題解決

解法1(換元法1)結合基本不等式，可得

由柯西不等式，可得

解后反思根據題目條件中代數式的結構特征，通過巧妙換元處理，進行整體化思維，利用條件加以代換，轉化為含有一個參數的函數、方程或不等式問題，從而更加有效地利用函數性質、方程的解或不等式的應用等來解決代數式的最值問題．

解后反思根據題目條件中代數式的結構特征，進行合理的配湊處理，使得對應的代數關系式更加吻合重要不等式的特征，為進一步確定代數式的最值提供條件．配湊法處理問題時，技巧性強，具有一定的“設計”性與目的性，對數學運算、邏輯推理以及數學思想方法的要求非常高．

利用基本不等式，可得

3.1 煙農文化水平低、種植分散管理困難 該研究中煙農以中青年男性為主，整體文化程度低，大部分人只有初中及以下學歷。煙農文化素養低，雖然參加過一些相關培訓，但在實際操作中，并沒有嚴格遵守規定，缺乏用藥安全意識，不能做到科學用藥。全州種煙農戶以5年以上的小面積煙農為主，僅有岑鞏縣地區3.3 hm2以上大戶比較多，因戶均面積小、烤煙種植較分散、管理難度大，難以有效監督農藥使用情況，容易造成農藥殘留。

解后反思根據題目條件中代數式的結構特征，對所求的代數關系式進行整體化思維，綜合利用代數關系式的恒等變形與轉化，以及基本不等式的應用、二次不等式的求解等，綜合不等式的性質等來巧妙處理，實現問題的巧妙轉化與應用．

化簡，得2(a+2b)2-13(a+2b)+18≤0.

解后反思根據題目條件中代數式的結構特征，結合代數式的合理化歸與轉化，借助一些常見的重要不等式(柯西不等式、權方和不等式、排序不等式等)來分析與處理．

4 變式拓展

探究1保留原來題目的條件，將求解相關代數式的“最大值與最小值之和”問題變為求解“最大值”或“最小值”問題．

解后反思根據以上變式問題的創設，只求出相應代數關系式的最大值或最小值，目標更加直接，難度也有所降低，比較吻合中等學生的能力范圍．

解析結合基本不等式，可得

解后反思這里只是以上變式問題的一種解析方法，還可以參照原問題的不同解析思維與方法，同樣可以用來解決該變式問題，這里不多加以敘述．

5 教學啟示

5.1 通技通法，技巧策略

破解雙變元代數式的最值問題，關鍵是利用題目條件，通過合理配湊與巧妙轉化，借助基本不等式以及柯西不等式、權方和不等式等一些重要不等式來確定最值問題．而其他的技巧方法，如換元、配湊、不等式求解等方法的應用，是在整體思維下的一點靈活變通與創新．

5.2 思維視角，能力提升

具體解決涉及雙變元代數式的最值(最大值或最小值)或取值范圍問題，破解思維各異，但一些基本的破解思維和常見方法值得我們系統掌握，并在此基礎上舉一反三、融會貫通、深化思維、巧妙轉化、合理應用，學會變式拓展，發散數學思維，養成良好的學習習慣與思維方式，提升數學思維品質，提高數學能力，培養數學學科的核心素養．