對(duì)一道系數(shù)和為定值試題的探究

高繼浩

(四川省名山中學(xué) 625100)

1 試題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2 解法探究

視角1 (設(shè)線法)設(shè)出直線l的方程并與橢圓方程聯(lián)立,通過向量關(guān)系將λ1,λ2用兩根表示,再借助韋達(dá)定理求解.

解法1(正設(shè)直線)顯然直線l的斜率存在,F(1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為y=k(x-1),與橢圓方程聯(lián)立消去y，得

(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.

由韋達(dá)定理,得

而P(0,-k),則

解法2(反設(shè)直線)易知F(1,0).當(dāng)直線l的斜率不為零時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為x=my+1(m≠0).

與橢圓方程聯(lián)立消去x,得

(m2+2)y2+2my-1=0.

由韋達(dá)定理,得

故λ1+λ2=-4.

綜上,λ1+λ2=-4.

視角2(代點(diǎn)法)直接設(shè)出A,B,P三點(diǎn)的坐標(biāo),通過向量關(guān)系解出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)并代入橢圓方程,再借助韋達(dá)定理求解.

x1=λ1(1-x1),y1-n=-λ1y1.

代入橢圓方程,得

所以λ1,λ2是關(guān)于x的方程x2+4x+2-2n2=0的兩根,故λ1+λ2=-4.

視角3(參數(shù)法)借助橢圓參數(shù)方程設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),通過向量關(guān)系得到參數(shù)關(guān)系,再利用和差化積與積化和差公式求解.

3 推廣引申

將試題第(2)問進(jìn)行一般化推廣得到：

前面的四個(gè)解法中,解法3較為簡(jiǎn)潔,下用此法證明命題1.

x1=λ1(c-x1),y1-n=-λ1y1.

代入橢圓方程,得

同理可得

所以λ1,λ2是關(guān)于x的方程b4x2+2a2b2x+a2(b2-n2)=0的兩根.

將命題1中右焦點(diǎn)改為x軸上一點(diǎn)后得到：

將命題1、命題2引申到雙曲線中,得到：

命題2至4的證明過程與命題1類似,略.

在拋物線中有：

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,n),則

x1=λ1(t-x1),y1-n=-λ1y1.

代入拋物線方程,得

同理可得

4 對(duì)偶拓展

受文[1]啟發(fā),將命題2和命題4中點(diǎn)E的位置改為y軸上,分別得到：

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(m,0),則

x1-m=-λ1x1,y1=λ1(tb-y1).

顯然λ1≠-1,

代入橢圓方程,得

同理可得

所以λ1,λ2是關(guān)于x的方程a2(1-t2)x2+2a2x+a2-m2=0的兩根.

命題7的證明過程與命題6類似,略.

5 方法運(yùn)用

我們對(duì)命題的證明采用了前面的解法3進(jìn)行,借助同構(gòu)方程思想使得問題的解決過程簡(jiǎn)潔明了,運(yùn)算量小.下面給出兩個(gè)變式練習(xí)題,供參考.

證明易知F(1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(4,n),則

x1-4=λ1(1-x1),y1-n=-λ1y1.

顯然λ1≠-1,

所以λ1,λ2是關(guān)于x的方程9x2-4n2-36=0的兩根.

故λ1+λ2=0.

x1-t=-λ1t,y1=λ1n.

代入拋物線方程,得

所以λ1,λ2是關(guān)于x的方程t2x2-2(t2+2n)x+t2=0的兩根.

故λ1·λ2=1.