對一道高考圓錐曲線試題的推廣及證明

付宏祥

(甘肅省定西市安定區東方紅中學 743000)

1 問題的提出

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點．

筆者在對該題探究中發現，問題可推廣到圓錐曲線的橢圓與雙曲線的一般情形，有如下結論：

2 結論的證明

2.1 結論1的證明

證明依題意有A(-a,0)，B(a,0)．

如圖1，設直線x=ka與x軸交于點M．

圖1

①當點P為點M時，點C，D分別與點B，A重合，此時，直線CD為x軸；

[(k+1)2m2b2+1]y2-2(k+1)mb2y=0．

所以點C的坐標為

同理，直線PB的方程為x=(k-1)may+a.

[(k-1)2m2b2+1]y2+2(k-1)mb2y=0．

所以點D的坐標為

(1)若直線CD的斜率不存在，則yC=-yD.

化簡整理,得(k2-1)m2b2=1.

(2)若直線CD的斜率存在，則

故直線CD的方程為

化簡整理,得

注(1)圓錐曲線中的橢圓為封閉曲線，直線PA,PB與橢圓一定存在兩個交點，結合圖象可知，當01時，存在條件(k2-1)m2b2=1，使得直線CD垂直于x軸；

(2)根據橢圓具有的對稱性質，該結論在k<0且k≠-1時仍然成立，故將結論1可推廣到k≠0，k≠±1的任意常數結論都成立；

(3)上述2020年全國Ⅰ卷理科21題為結論1在a=3，b=1，k=2的特殊情形．

2.2 結論2的證明

證明依題意有A(-a,0)，B(a,0)．

如圖2，設直線x=ka與x軸交于點M．

圖2

①當點P為點M時，點C，D分別與點B，A重合，此時，直線CD為x軸；

[(k+1)2m2b2-1]y2-2(k+1)mb2y=0．

所以點C的坐標為

同理，直線PB的方程為

x=(k-1)may+a.

[(k-1)2m2b2-1]y2+2(k-1)mb2y=0．

當(k-1)2m2b2-1=0時，直線PB與雙曲線E僅有一個交點，不合題意；

當(k-1)2m2b2-1≠0時，解得

所以點D的坐標為

(1)若直線CD的斜率不存在，則yC=-yD.

化簡整理,得(1-k2)m2b2=1.

(2)若直線CD的斜率存在，則

故直線CD的方程為

注(1)圓錐曲線中的雙曲線為非封閉曲線，當(k-1)2m2b2-1=0時，直線PA，PB與雙曲線的兩條漸近線平行，除A，B外無另一交點，不符合題意；當(k-1)2m2b2-1≠0時，直線PA，PB與雙曲線一定存在兩個交點，結合圖象可知，若01時，直線CD不可能垂直于x軸；

(2)根據雙曲線具有的對稱性質，該結論在k<0且k≠-1時，仍然成立，故亦可將結論2推廣到k≠0，k≠±1的任意常數結論都成立．

3 結論的拓展

結論3，4與結論1，2的條件與結論對調，易于證明結論3，4，本文不再贅述．