探析復合函數零點問題的三種類型及求解策略

蘇藝偉

(福建省龍海第一中學新校區 363100)

對于復合函數的零點問題,常常采用換元的方法求解.通常將表達式中的某部分換成t,看成是函數y=g(t)與函數t=f(x)復合而成,最終轉化為研究直線y=t與曲線y=f(x)圖象的交點個數問題.此類題型體現了函數與方程思想,能夠較好地考查學生的數形結合能力,邏輯推理、分析問題與解決問題的能力,經常出現在選填壓軸試題當中,深受命題者親賴.

類型1 函數f(x)中將某個整體替換成t.

令h′(x)=0,得x=2.

又h(0)=0,故h(x)的圖象如圖1所示.

圖1

對于方程t2+2at+2=0,有Δ=4a2-8.

此時方程t2+2at+2=0無解,不符合題意;

類型2 含f2(x)的表達式中將f(x)替換成t.

圖2

解析令t=f(x),則關于t的方程t2-(2m+1)t+m2=0存在兩個實根t1,t2.

不妨設t1

故關于x的方程f2(x)-(2m+1)f(x)+m2=0有7個不同的實根就是函數y=f(x)圖象與直線y=t1,y=t2交點個數之和為7.

如圖2所示,要使得交點個數和為7,則

0

將t2=4代入方程t2-(2m+1)t+m2=0,

得m=2或m=6.

又t1t2=m2<16,故m=2.

分析由于方程f2(x)-(2m+1)f(x)+m2=0含有f2(x),故將f(x)替換成t,轉化為研究方程t2-(2m+1)t+m2=0實根的分布情況以及直線y=t與曲線y=f(x)圖象交點個數.

類型3 含f[f(x)]的表達式中將f(x)替換成t.

圖3 圖4

對于方程②,函數y=f(t)圖象與直線y=-k交點橫坐標t的取值范圍如圖3所示.

當-k≤0,即k≥0時,y=f(t)圖象與直線y=-k無交點;

當0<-k<1，即-1

當1<-k

當-k≥e,即k≤-e時,交點橫坐標t1<0,t2≥1，對應圖4中的2個交點.

綜合上述分析,當k≥-1時,關于x的方程f[f(x)]+k=0的零點個數有0個;

當-e

當k≤-e時,關于x的方程f[f(x)]+k=0的零點個數有2個.

分析由于方程f[f(x)]+k=0含有f[f(x)],故將f(x)替換成t,轉化為研究方程f(t)=-k以及直線y=t與曲線y=f(x)圖象交點個數.

圖5 圖6

A.無論a為何值,均有2個零點

B.無論a為何值,均有4個零點

C.當a>0時,有3個零點, 當a<0時,有2個零點

D.當a>0時,有4個零點, 當a<0時,有1個零點

當a>0時,先考慮方程④,函數y=f(t)圖象與直線y=-1相交于A,B兩點,對應的橫坐標分別為t1,t2.如圖5所示.顯然t1<0,0

再考慮方程③,如圖6所示,函數y=f(x)圖象與直線y=t1的交點個數有2個,函數y=f(x)圖象與直線y=t2的交點個數有2個.

故當a>0時,函數y=f[f(x)]+1有4個零點.同理可知,當a<0時,有1個零點.

分析由于方程f[f(x)]+1=0含有f[f(x)],故將f(x)替換成t,轉化為研究方程f(t)=-1以及直線y=t與曲線y=f(x)圖象交點個數.

通過對上述幾道試題的分析,不難發現此類復合函數零點問題,既注重基礎,又兼顧能力,較好地體現了中國高考評價體系提出的基礎性、綜合性、應用性、創新性要求.此類試題的解決思路較為固定,往往采用換元的方法,結合圖形,觀察一條直線與一條曲線圖象交點的個數.然而法無定法,試題千變萬化,在實際解題中,我們必須根據題目所給出的條件靈活地選擇合適的方法,方能以不變應萬變,實現解題的最優化.