一類導數壓軸題的解法

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

1 發現問題

近期在研究全國各地模擬考試或統考題目發現，一類同時含有xex和lnx的求參數取值范圍的函數題目，它們可以用分離參數構造函數等常規解法作答，但解答過程繁雜.仔細研究，這類題有其自身的結構特征，宜使用切線放縮法解答.

2 典例研究

整理,得xex-3ax-lnx-1≥0.

令h(x)=xex-3ax-lnx-1，

則h(x)≥0恒成立.

因為xex=elnx·ex=ex+lnx，

所以h(x)=ex+lnx-3ax-lnx-1.

因為ex≥x+1，

所以h(x)≥(x+lnx+1)-3ax-lnx-1.

即h(x)≥x-3ax.

所以x-3ax≥0恒成立 .

例2 (重慶市一中2022屆高三上學期期中考試第16題)已知函數f(x)的導函數f′(x)滿足f′(x)-f(x)=e2x，且f(0)=1，當x∈(0，+∞)時，x[f(x)-a]≥1+lnx恒成立，則實數a的取值范圍是____.

分析由f′(x)-f(x)=e2x知f(x)=e2x，根據條件“x[f(x)-a]≥1+lnx”可以導出特征項“xe2x”，所以適合用切線放縮法解答.

解析因為(enx)′=nenx，

所以f′(x)-f(x)=e2x=2e2x-e2x.

由同構原理,得f(x)=e2x.

所以x[f(x)-a]=x(e2x-a)=xe2x-ax.

結合x[f(x)-a]≥1+lnx,得

xe2x-ax≥1+lnx.

因為xe2x=elnx·e2x=e2x+lnx，

所以e2x+lnx-ax-lnx-1≥0.

因為e2x+lnx≥2x+lnx+1，

所以(2x+lnx+1)-ax-lnx-1≥0.

即2x-ax≥0.

所以a≤2.

例3 (西南大學附屬中學2022屆高三第一學期期末考試理科第22題)對于任意的x∈(0,+∞)，lnx+2ax+1≤xe3x恒成立，求實數a的取值范圍.

分析本題易于分離參數，然后利用xex=ex+lnx及ex≥x+1，放縮的同時構造新函數，可求得參數的取值范圍.

解析由lnx+2ax+1≤xe3x，x∈(0,+∞)，

因為xe3x=elnx·e3x=e3x+lnx，

所以xe3x-lnx-1=e3x+lnx-lnx-1

≥(3x+lnx+1)-lnx-1

=3x.

評析以上三例均含有(或變形得)xex和lnx+1，處理的辦法雷同，恒等變形、放縮、求最值，套路明顯.其本質特征是若xex和lnx+1在不等式的異側，則xex的系數與lnx的真數的系數相反，當不具有這種特征時，解法失效.理由為：λxex=elnλx·ex=ex+lnλx≥x+lnλx+1，所以λxex-lnλx-1=λex+lnx-lnλx-1=λex+lnx才能整體消元.一般取λ=1.這樣題目顯得簡潔明了，也不影響問題的本質.下面舉一個形似質異的題目，以示區別.

例4(河南省洛陽市2022屆高三第一次統一考試理科第12題)已知函數f(x)=xa-alnx(a>0)，g(x)=ex-x，若x∈(1,e2)時，f(x)≤g(x)成立，則實數a的最大值是( ).

分析表面上題設中也含有ex，lnx等，但不具有上述特征，需用其他辦法解答.觀察兩函數的結構，非常相似，比較其差異可以發現alnx在f(x)中的“角色”與x在g(x)中“角色”一致，因此要在f(x)的函數形式上下功夫，結合對數恒等式是可以實現形式統一的.

解析因為x=elnx，

所以xa=(elnx)a=ealnx.

因此f(x)=ealnx-alnx=g(alnx).

因為f(x)≤g(x)，

所以g(alnx)≤g(x).

因為g′(x)=ex-1，

當x∈(1,e2)時，g′(x)=ex-1>0，

所以g(x)在(1,e2)上單調遞增.

所以alnx≤x.

當x∈(1,e2)時，lnx>0，

當x∈(1,e)時，h′(x)<0；

當x∈(e,e2)時，h′(x)>0.

因此h(x)min=e.所以a≤e.故選A.

3 理論溯源

在人教A版(2005年版)普通高中課程標準實驗教科書選修2-2第32頁B組第1題的第3小題：證明ex>1+x(x≠0)，并通過函數圖象直觀驗證結論.

事實上，本題通過圖象可得函數f(x)=ex與h(x)=1+x恰好相切于點(0，1)，當x≠0時，f(x)的圖象始終在h(x)的圖象之上.俗稱切線放縮.它的另一功能是實現了函數變換，減少或統一函數類型，方便于解題.

4 教學思考

4.1 教學應在公式的證明上下功夫

對于x=elnx，教材是沒有提及的，甚至恒等式alogax=x也沒有提到.這需要教師在教學中進行嚴格認真地證明，而不是直接告訴學生結果，直接刷題“硬”用.這樣不僅應用別扭，而且容易遺忘.素不知，這是定義的抽象應用，等式左邊是以logax為指數，a為底數的指數式，右端可以看作冪，依據對數的定義可得alogax=x?logax=logax，并且對x的范圍也沒有限制，所以此式叫恒等式.僅需將a換成e，等式x=elnx就成立了.在教學中，我們發現學生對此不熟悉，更談不上靈活應用，對xex=ex+lnx就更加陌生了.所以我們應在公式證明上下功夫.

4.2 教學應在公式的理解上下功夫

對于ex≥1+x，我們應從形式和幾何意義兩方面進行深刻理解.這里的x可以換成任意的符號，均不影響不等式的正確性，例如en≥1+n將指數問題轉換成數列了；esinx≥1+sinx將指數問題轉換成三角函數了；elogax≥1+logax將指數問題轉換成對數了.另外，從函數觀點看，左端是曲線，右端是直線，并且二者具有相切關系，數形結合可以解決很多復雜的問題，尤其是與函數凸凹性相結合，是突破難題的一個殺手锏.例如2017年全國課標Ⅱ卷第21題：設函數f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求實數a的取值范圍．

4.3 教學應在變式教學上下功夫