探最值尋本質歸方法

文／張麗

圓中的最值問題是初中數學的難點問題，這類問題具有知識面廣、綜合性強的特點，是考試中的熱門題型。因此，本文選取了圓中兩類常見的線段最值問題，透過問題，尋找本質，歸納方法，以幫助大家構建“會一題通一類”的方法策略。

基于“三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”的最值問題

例1如圖1，設⊙O的半徑為r，圓外一點P到圓心O的距離為d，則點P到⊙O圓周上的點的最小距離為___，最大距離為___。

【解析】點P的位置、⊙O的大小和位置是確定的，但圓周上的點有無數個。

如圖2，在⊙O上任取一點C（異于點A、B）。在△PCO中，PO+CO＞PC＞PO-CO（三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊），PO+BO＞PC＞PO-AO，即PB＞PC＞PA。

圖2

當點C與點A重合，即點C在線段PO上時，PC取最小值=PA=d-r；當點C與點B重合時，即點C在線段PO的延長線上時，PC取最大值=PB=d+r。

例2如圖3，已知正方形ABCD的邊長為2，點E是邊BC上的動點，BF⊥AE交CD于點F，垂足為G，連接CG。求CG的最值。

圖3

【解析】由“定邊AB=2，且定邊所對的定

角∠BGA=90°”可知，點G在以AB的中點O為圓心，AO長為半徑的隱圓上，點G隨著點E的運動而運動，點G最左運動到點B，最右運動到AC與BD的交點N，即點G的運動軌跡為。如圖4，CG的最小值=CO-BO=-1；由于點G取不到線段CO的延長線與⊙O的交點處，所以CG的最大值不等于CO+BO，此時由得CG的最大值=BC=2。

圖4

【歸納】圓外定點與圓上的點的距離的最值：連接圓外定點與圓心，與圓交于一點，圓外定點到這個交點的距離為最小值；延長圓外定點與圓心的線段，和圓交于另一點，圓外定點到這個交點的距離為最大值。利用這一結論可以快速地解決圓外一點到圓上點的距離最值問題，做到化動為靜，轉為定量計算。

基于“垂線段最短”的最值問題

例3如圖5，在直角坐標系中，⊙A的圓心A的坐標為（-1，0），半徑為1，點P為直線y上的動點，過點P作⊙A的切線，切點為Q，則切線長PQ的最小值為___。

圖5

【解析】由于PQ是⊙A的切線，由切線的性質知PQ⊥AQ，因此構造Rt△APQ，由勾股定理可得，所以PQ的最小值就轉化為PA的最小值。點A是定點，點P在定直線上運動，由“垂線段最短”知，當AP垂直于直線y=-x+3時，AP最小，得PQ的最小值為2。

例4如圖6，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB、AC于點E、F，連接EF，則線段EF的最小值為 。

圖6

【解析】如圖7，根據弦EF所對的圓周角∠BAC為定角，同弦所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為直角，可將∠BAC轉化為Rt△EMF中的∠EMF，得到。或如圖8，在⊙O中，由垂徑定理、圓周角定理，在Rt△EOH中 找 到，即EF=。由“垂線段最短”知，當AD⊥BC時，AD最小，即求出線段EF的最小值。該最小值為3。

圖7

圖8

【歸納】綜合運用圓的垂徑定理、圓周角定理、切線長定理，把所求線段長度的最小值轉化成定點到定直線（線段）的最小值，根據“垂線段最短”，即可求解。