挖掘例題價值提升解題能力

文／王文慧

教材中的例題是經過精挑細選的，具有代表性和示范性，其中的價值不容小覷。研究例題中蘊含的知識點和思想方法，并加以拓展，對我們解題能力的提升有很大幫助。本文以蘇科版數學教材九年級上冊第67頁的例2為例，談談例題的學習與拓展。

【原題呈現】如圖1，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠CAD=∠ABC。判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由。

圖1

【分析】本題考查圓的切線判定定理：經過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。由題目條件出發，利用直徑所對圓周角為90°進行轉化，就可以證明直線AD垂直于直徑AB。詳細證明過程見教材。

這是一道較為典型的證明圓的切線的題目。在證明過程中，利用題目的已知條件和圓周角定理推出需要證明的結論，滲透推理能力和轉化思想，相關結論也較為重要。

思考一 條件和結論對調，逆命題還成立嗎？

變式1如圖1，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，直線AD與⊙O相切，∠CAD和∠ABC相等嗎？

【分析】從題目條件出發，利用直徑和切線的性質，搭建橋梁，建立關聯，得到相關結論，解決問題。

解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°。

∴∠BAC+∠ABC=90°。

∵直線AD與⊙O相切，

∴AD⊥AB。∴∠BAC+∠CAD=90°。

∴∠CAD=∠ABC。

【點評】這道題考查了切線的性質，推理的過程就是把例題的解題過程倒過來，利用逆向思維就可以解決問題，這是我們常常需要用的思維方式。這里還有一個重要結論“弦切角（弦與切線的夾角）等于它所夾弧所對的圓周角”，常在我們解決一些較為復雜的問題時用到。

思考二 這個問題可以一般化嗎？

變式2如圖2，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的弦，∠CAD=∠ABC。判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由。

圖2

【分析】將例題中的直徑AB改為弦，也就是從特殊到一般。由于AB是直徑這個條件沒有了，直接證明遇到困難，我們便需要添加輔助線。既可以連接半徑，也可以作直徑，證明直線AD與半徑（或直徑）垂直，進而證明直線AD是⊙O的切線。

解法一：如圖3，連接AO、CO。

圖3

∵AO=CO，∴∠CAO=∠OCA。

∵在△AOC中，∠CAO+∠OCA+∠AOC=180°，∴∠CAO+∠OCA+2∠ABC=180°。

又∵∠CAD=∠ABC，

∴2∠CAO+2∠CAD=180°。

∴∠CAO+∠CAD=90°。

∴AO⊥AD。

又∵AO是半徑，

∴直線AD與⊙O相切。

解法二：如圖4，作直徑AE，連接EC。

圖4

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE=90°。

∴∠EAC+∠AEC=90°。

∵∠AEC=∠ABC，∠CAD=∠ABC，

∴∠EAC+∠CAD=90°，即AE⊥AD。

∵AE是直徑，∴直線AD與⊙O相切。

【點評】從特殊到一般，沒有直徑的條件時，可以構造直徑，利用圓周角定理轉化為教材例題來解決；也可以連接半徑，利用整體思想證明垂直。變式2更為直觀地呈現了圖形的本質特點，滲透著轉化思想和整體思想。

變式3如圖2，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的弦，直線AD與⊙O相切，∠CAD和∠ABC相等嗎？

【分析】將變式2的條件和結論對調，在同樣沒有直徑的條件下，添加輔助線依然首先考慮作半徑或者直徑，再利用切線性質來解決。

解：如圖4，作直徑AE，連接EC。

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE=90°。

∴∠EAC+∠AEC=90°。

∵直線AD與⊙O相切，∴AD⊥AE，

即∠EAC+∠CAD=90°。

∴∠CAD=∠AEC=∠ABC。

【點評】變式3是變式2的逆命題，通過轉化思想可以將問題轉化為變式1，進而解決。

本題將弦切角定理進一步一般化，我們如果可以靈活應用，將會更方便地解決問題。

結合三個變式，我們不難發現，對待一個幾何問題，常常用“五化”去研究，即強化條件、弱化條件、一般化條件、特殊化條件、條件結論互逆化。這樣的研究可以增強我們的邏輯推理能力，提升我們的思維水平，提高分析解決問題的能力。

延伸（2021·江蘇南京）如圖5，FA、GB、HC、ID、JE是五邊形ABCDE的外接圓的切線，則∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=°。

圖5

【分析】這道題有五條切線，求的是五個弦切角的和。解決這個問題既可以用圓的切線性質，也可以利用弦切角定理把弦切角轉化為圓周角。在解題的過程中，我們還需要靈活利用弧的度數概念及整體思想等。

解法一：如圖6，由弦切角定理可知∠BAF=∠ADB，∠CBG=∠BEC，∠DCH=∠CAD，∠EDI=∠EAD，∠AEJ=∠ACE。

圖6

∠ADB、∠BEC、∠CAD、∠EAD、∠ACE對的弧分別是，這些弧加在一起就是一整個圓，則這些圓周角的和就等于360°的一半，即180°。

解法二：如圖7，由切線性質定理可知∠BAF+∠OAB=90°，∠CBG+∠OBC=90°，∠DCH+∠OCD=90°，∠EDI+∠ODE=90°，∠AEJ+∠OEA=90°。因 為∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA=270°，所 以∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=180°。

圖7

【點評】求五個弦切角的和，可以利用弦切角定理轉化為圓周角解決，也可以利用切線性質定理解決。在解決這個問題的過程中，我們無法求出單個弦切角的度數，所以要有整體意識、轉化思想，這些都是我們在解決問題中需要具備的方法和能力。