挖掘例題價(jià)值提升解題能力

文／王文慧

教材中的例題是經(jīng)過(guò)精挑細(xì)選的，具有代表性和示范性，其中的價(jià)值不容小覷。研究例題中蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn)和思想方法，并加以拓展，對(duì)我們解題能力的提升有很大幫助。本文以蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第67頁(yè)的例2為例，談?wù)劺}的學(xué)習(xí)與拓展。

【原題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠CAD=∠ABC。判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

圖1

【分析】本題考查圓的切線判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。由題目條件出發(fā)，利用直徑所對(duì)圓周角為90°進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就可以證明直線AD垂直于直徑AB。詳細(xì)證明過(guò)程見(jiàn)教材。

這是一道較為典型的證明圓的切線的題目。在證明過(guò)程中，利用題目的已知條件和圓周角定理推出需要證明的結(jié)論，滲透推理能力和轉(zhuǎn)化思想，相關(guān)結(jié)論也較為重要。

思考一 條件和結(jié)論對(duì)調(diào)，逆命題還成立嗎？

變式1如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，直線AD與⊙O相切，∠CAD和∠ABC相等嗎？

【分析】從題目條件出發(fā)，利用直徑和切線的性質(zhì)，搭建橋梁，建立關(guān)聯(lián)，得到相關(guān)結(jié)論，解決問(wèn)題。

解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°。

∴∠BAC+∠ABC=90°。

∵直線AD與⊙O相切，

∴AD⊥AB。∴∠BAC+∠CAD=90°。

∴∠CAD=∠ABC。

【點(diǎn)評(píng)】這道題考查了切線的性質(zhì)，推理的過(guò)程就是把例題的解題過(guò)程倒過(guò)來(lái)，利用逆向思維就可以解決問(wèn)題，這是我們常常需要用的思維方式。這里還有一個(gè)重要結(jié)論“弦切角（弦與切線的夾角）等于它所夾弧所對(duì)的圓周角”，常在我們解決一些較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)用到。

思考二 這個(gè)問(wèn)題可以一般化嗎？

變式2如圖2，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的弦，∠CAD=∠ABC。判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

圖2

【分析】將例題中的直徑AB改為弦，也就是從特殊到一般。由于AB是直徑這個(gè)條件沒(méi)有了，直接證明遇到困難，我們便需要添加輔助線。既可以連接半徑，也可以作直徑，證明直線AD與半徑（或直徑）垂直，進(jìn)而證明直線AD是⊙O的切線。

解法一：如圖3，連接AO、CO。

圖3

∵AO=CO，∴∠CAO=∠OCA。

∵在△AOC中，∠CAO+∠OCA+∠AOC=180°，∴∠CAO+∠OCA+2∠ABC=180°。

又∵∠CAD=∠ABC，

∴2∠CAO+2∠CAD=180°。

∴∠CAO+∠CAD=90°。

∴AO⊥AD。

又∵AO是半徑，

∴直線AD與⊙O相切。

解法二：如圖4，作直徑AE，連接EC。

圖4

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE=90°。

∴∠EAC+∠AEC=90°。

∵∠AEC=∠ABC，∠CAD=∠ABC，

∴∠EAC+∠CAD=90°，即AE⊥AD。

∵AE是直徑，∴直線AD與⊙O相切。

【點(diǎn)評(píng)】從特殊到一般，沒(méi)有直徑的條件時(shí)，可以構(gòu)造直徑，利用圓周角定理轉(zhuǎn)化為教材例題來(lái)解決；也可以連接半徑，利用整體思想證明垂直。變式2更為直觀地呈現(xiàn)了圖形的本質(zhì)特點(diǎn)，滲透著轉(zhuǎn)化思想和整體思想。

變式3如圖2，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的弦，直線AD與⊙O相切，∠CAD和∠ABC相等嗎？

【分析】將變式2的條件和結(jié)論對(duì)調(diào)，在同樣沒(méi)有直徑的條件下，添加輔助線依然首先考慮作半徑或者直徑，再利用切線性質(zhì)來(lái)解決。

解：如圖4，作直徑AE，連接EC。

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE=90°。

∴∠EAC+∠AEC=90°。

∵直線AD與⊙O相切，∴AD⊥AE，

即∠EAC+∠CAD=90°。

∴∠CAD=∠AEC=∠ABC。

【點(diǎn)評(píng)】變式3是變式2的逆命題，通過(guò)轉(zhuǎn)化思想可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變式1，進(jìn)而解決。

本題將弦切角定理進(jìn)一步一般化，我們?nèi)绻梢造`活應(yīng)用，將會(huì)更方便地解決問(wèn)題。

結(jié)合三個(gè)變式，我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)待一個(gè)幾何問(wèn)題，常常用“五化”去研究，即強(qiáng)化條件、弱化條件、一般化條件、特殊化條件、條件結(jié)論互逆化。這樣的研究可以增強(qiáng)我們的邏輯推理能力，提升我們的思維水平，提高分析解決問(wèn)題的能力。

延伸（2021·江蘇南京）如圖5，F(xiàn)A、GB、HC、ID、JE是五邊形ABCDE的外接圓的切線，則∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=°。

圖5

【分析】這道題有五條切線，求的是五個(gè)弦切角的和。解決這個(gè)問(wèn)題既可以用圓的切線性質(zhì)，也可以利用弦切角定理把弦切角轉(zhuǎn)化為圓周角。在解題的過(guò)程中，我們還需要靈活利用弧的度數(shù)概念及整體思想等。

解法一：如圖6，由弦切角定理可知∠BAF=∠ADB，∠CBG=∠BEC，∠DCH=∠CAD，∠EDI=∠EAD，∠AEJ=∠ACE。

圖6

∠ADB、∠BEC、∠CAD、∠EAD、∠ACE對(duì)的弧分別是，這些弧加在一起就是一整個(gè)圓，則這些圓周角的和就等于360°的一半，即180°。

解法二：如圖7，由切線性質(zhì)定理可知∠BAF+∠OAB=90°，∠CBG+∠OBC=90°，∠DCH+∠OCD=90°，∠EDI+∠ODE=90°，∠AEJ+∠OEA=90°。因 為∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA=270°，所 以∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=180°。

圖7

【點(diǎn)評(píng)】求五個(gè)弦切角的和，可以利用弦切角定理轉(zhuǎn)化為圓周角解決，也可以利用切線性質(zhì)定理解決。在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，我們無(wú)法求出單個(gè)弦切角的度數(shù)，所以要有整體意識(shí)、轉(zhuǎn)化思想，這些都是我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題中需要具備的方法和能力。