固本思“源”無(wú)中生“圓”

文／王進(jìn)

教材的例題是學(xué)習(xí)之“源”，部分中考題實(shí)際上就是在教材例題或習(xí)題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行組合、加工、深化得到的。因此，同學(xué)們要重視自己的學(xué)習(xí)過(guò)程，對(duì)教材中的例題變式或習(xí)題變式多加思考，以鍛煉自己的數(shù)學(xué)思維能力。下面以蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第57頁(yè)的例2為模板，談?wù)劺}的學(xué)習(xí)與拓展。

【原題呈現(xiàn)】如圖1，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，∠ACD=60°，∠ADC=50°。求∠CEB的度數(shù)。

圖1

【分析】本題要想求∠CEB的度數(shù)，從原圖上來(lái)看似乎只能借助對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角或三角形的外角來(lái)解決，但這三種思路無(wú)法與“∠ADC=50°”建立實(shí)質(zhì)性的關(guān)聯(lián)，所以想到作輔助線。由條件“AB是⊙O的直徑”聯(lián)想到構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角，所以連接BD得到△BDE，再借助外角的性質(zhì)定理即可求出“∠CEB=∠ABD+∠EDB”。此時(shí)只剩下∠ABD一個(gè)未知量，利用“同弧所對(duì)的圓周角相等”即可化未知為已知。輔助線也可以連接BC，再借助三角形內(nèi)角和定理求出∠CEB的度數(shù)。

本題在連接BD后，構(gòu)造出了直角、同弧所對(duì)的圓周角以及△BDE。通過(guò)輔助線構(gòu)造新的角是幾何證明常見的方法之一，而輔助線的選擇往往和題目中的已知條件和未知的結(jié)論相關(guān)，由“已知”想“可知”，由“未知”推“需知”，從兩頭出發(fā)，向中間靠攏，最終選擇最優(yōu)輔助線。

變式1（2019·江蘇南京）如圖2，⊙O的弦AB、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，且AB=CD。求證：PA=PC。

圖2

【分析】想要證明兩條線段相等，如果將其分別放在兩個(gè)三角形中，首先想到證明“兩個(gè)三角形全等”；如果將其放在一個(gè)三角形中，首先想到利用“等角對(duì)等邊”證明這個(gè)三角形是等腰三角形。通過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)連接AC構(gòu)造△APC更為簡(jiǎn)便，再利用“等弧所對(duì)的圓周角相等”即可證明△APC為等腰三角形。

證明：連接AC。

【點(diǎn)評(píng)】“全等”“等角對(duì)等邊”是證明兩邊相等的兩種常見方法。而在圓中，我們需要利用“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”來(lái)找到具有相等關(guān)系的角，從而掌握更為簡(jiǎn)便的證明方法。

變式2（2022·新疆）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，AC=CD，連接AD，延長(zhǎng)DB交過(guò)點(diǎn)C的切線于點(diǎn)E。求證：BE⊥CE。

圖3

【分析】對(duì)于這類題型，我們應(yīng)利用好圓的性質(zhì)，抓住“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”等關(guān)鍵信息，尋找相等關(guān)系的角。從位置關(guān)系想數(shù)量關(guān)系，從數(shù)量關(guān)系想位置關(guān)系，做好“數(shù)量關(guān)系”與“位置關(guān)系”之間的轉(zhuǎn)化。

證明：連接OC。

∵CE與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠OCE=90°。

∵AC=CD，∴∠ADC=∠CAD。

∴∠CAD=∠ABC。

∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠CAD+∠DBC=180°。

又∵∠DBC+∠CBE=180°，

∴∠CAD=∠CBE。

又∵∠ABC=∠CAD，∴∠ABC=∠CBE。

∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB。

∴∠CBE=∠OCB。∴OC∥BE。

∴∠OCE+∠E=180°。

∴∠E=180°-∠OCE=180°-90°=90°。

∴BE⊥CE。

【點(diǎn)評(píng)】本題重在考查同學(xué)們對(duì)圓的性質(zhì)的靈活運(yùn)用。我們?cè)谑煜そ滩睦}的同時(shí)，也要經(jīng)常思考如何才能巧妙地架起多個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的橋梁，如何選擇和串聯(lián)好不同的定理，只有在不斷的反思與總結(jié)中才能做到熟能生巧。

變式3如圖4，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)P是梯形外一點(diǎn)，PD與底邊BC相交于E，若PA=PC，∠APC=∠BCD，求證：PB=PE。

圖4

【分析】引入四邊形的外接圓，通過(guò)證四點(diǎn)共圓，證五點(diǎn)共圓，將圖形放在同一個(gè)圓中處理，利用“同圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”從而使問(wèn)題得到順利解決。

證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，

∴∠ABC=∠DCB，AB=CD。

∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，∠DCB+∠ADC=180°。

又∵∠ABC=∠DCB，

∴∠ABC+∠ADC=180°，∠DCB+∠BAD=180°。

∴點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓。

∵∠APC=∠BCD，∠DCB+∠ADC=180°，

∴∠APC+∠ADC=180°。

∴點(diǎn)A、P、C、D四點(diǎn)共圓。

∴點(diǎn)A、B、P、C、D五點(diǎn)共圓。

∴∠BAP=∠ECP。

∴∠APB=∠CPE。

在△ABP和△CEP中，

∴△ABP≌△CEP（ASA）。

∴PB=PE。

【點(diǎn)評(píng)】借助“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓”構(gòu)造出“輔助圓”，再利用“同圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”將看似無(wú)關(guān)的兩個(gè)角建立起等量關(guān)系，最后利用“三角形全等”得證。

變式4（2017·廣西河池）如圖5，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥BD于點(diǎn)F，則CF的長(zhǎng)是____。

圖5

【分析】如圖6，連接DE，首先因?yàn)镋是矩形ABCD邊BC的中點(diǎn)，由矩形的對(duì)稱性可知DE=AE，所以Rt△ABE和Rt△DCE的外接圓是等圓（直徑AE=DE）。因?yàn)椤螮FD+∠DCE=90°+90°=180°，所以點(diǎn)D、F、E、C四點(diǎn)共圓。由“圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角”可知∠AEB=∠CDF，即得到兩等圓中的等角。最后，通過(guò)“等角對(duì)等弦”即可求出CF=AB=2。

圖6

【點(diǎn)評(píng)】“同圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”是我們經(jīng)常使用的圓的性質(zhì)定理，但其實(shí)，在等圓中也同樣適用。在常規(guī)的幾何圖形中構(gòu)造等圓是本題的一個(gè)妙解，用“等角對(duì)等弦”來(lái)解決，新穎別致，簡(jiǎn)潔明了。

許多同學(xué)在圓的學(xué)習(xí)中都會(huì)通過(guò)添加垂線段、連接圓心與圓上一點(diǎn)形成半徑或連接圓上兩點(diǎn)形成直徑等進(jìn)行解題，這類方法可以解決部分題型的變式，但在解決一些較難問(wèn)題時(shí)，上述方法就起不了太大作用。例如，在上述變式3和變式4中，題目中本身沒(méi)有圓，但往往只需要在圖形中構(gòu)造“輔助圓”，根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)，就能使問(wèn)題化難為易。