數隨形變變則歸一

文／謝曉華

華羅庚說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”數與形的結合可以幫助我們直觀地解決很多數學問題。不僅如此，在幾何問題中，圖形中的“位置關系”決定著“數量關系”。在圓這一章中，點、線、角、弧與圓位置關系的情況比較多，我們稍不注意，就會導致漏解、錯解。

類型一 點與圓的位置關系

例1點M是非⊙O上的一點，若點M到⊙O上的點的最小距離是4，最大距離是8，則⊙O的半徑是____。

【錯解】6。

【錯因分析】點和圓的位置關系有三種：點在圓內、圓外、圓上。此處忽略了點在圓外這種位置關系，導致漏解。

【正解】本題有如下兩種情況：

如圖1，當點M在⊙O內，連接OM，過點M作直徑AB，則AM=8，BM=4。

圖1

∵⊙O的直徑AB=AM+BM=8+4=12，

如圖2，當點M在⊙O外時，同理可得⊙O的半徑=

圖2

綜上，⊙O的半徑是6或2。

【總結】處理點與圓的相關問題時，從“位置關系”來看有三種情況：點在圓內、圓外、圓上；從“數量關系”來看，點在圓內、圓外這兩種情況對應圓的半徑分別為：點到圓上距離的最大值與最小值之和的一半、點到圓上距離的最大值與最小值之差的一半。

類型二 圓心與圓內兩條平行弦的位置關系

例2⊙O中兩條平行的弦長分別為AB=6和CD=8，圓的半徑為5，則兩條平行弦AB和CD之間的距離為____。

【錯解】1。

【錯因分析】圓心與圓中的兩條平行弦有兩種位置關系：圓心在兩條平行線之間，圓心在兩條平行線外。此處忽略了圓心在兩條平行線之間的情況，導致漏解。

【正解】本題有如下兩種情況：

如圖3，當圓心在兩條平行線之間時，過點O作OM⊥AB交AB于點M，延長MO交CD于點N，連接OB、OD。

圖3

∵OM⊥AB，

在Rt△BOM中，∠BMO=90°，

在Rt△DON中，∠OND=90°，

如圖4，當圓心在兩條平行弦AB和CD外時，同理可得兩條平行弦間的距離為1。

圖4

綜上，兩條平行弦AB和CD之間的距離為7或1。

【總結】在圓中，圓心與圓內一組平行弦的關系，從“位置關系”來看有兩種情況：圓心在兩條平行線之間，圓心在兩條平行線外；從“數量關系”來看，平行弦之間的距離等于圓心到兩條弦之間的距離和或差。

類型三 圓心與圓周角的位置關系

例3⊙O的半徑為2，弦AB=2，AC=2，則∠BAC的度數為___。

【錯解】15°。

【錯因分析】圓心與圓周角的位置關系有兩種：圓心在圓周角內，圓心在圓周角外。此處忽略了圓心在圓周角內的情況，導致了漏解。

【正解】本題有如下兩種情況：

如圖5，當圓心在圓周角∠CAB內部時，過點O作OM⊥AB、ON⊥AC，分別交AB、AC于點M、N，連接OA。

圖5

在Rt△AOM中，∠AMO=90°，

∴△AOM為等腰直角三角形。

∴∠AOM=∠OAB=45°。

(3)新疆巴里坤膨潤土礦富Al2O3、Fe2O3、Na2O、TiO2，貧Si2O、K2O、MgO。巴里坤膨潤土礦床的母質為基性非富硅物質。Na2O的含量遠遠大于CaO，且ENa2+/CEC為83.5%，為鈉基膨潤土。

同理，在Rt△AON中，NA=3，OA=2，ON=1，∴∠OAN=30°。

∴∠BAC=∠OAB+∠OAC=45°+30°=75°。

如圖6，當圓心在圓周角∠CAB外部時，同理可得∠BAC=∠OAB-∠OAC=45°-30°=15°。

圖6

綜上，∠BAC=75°或15°。

【總結】在圓中，對于圓心與圓周角，從“位置關系”來看有兩種：圓心在圓周角內，圓心在圓周角外；從“數量關系”來看，∠BAC的度數分別為圓周角頂點和圓心的連線與圓周角的兩邊構成的兩個角的和與差。

類型四 動點與弧的位置關系

例4點P為⊙O外一點，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，點C為⊙O上與A、B不重合的點，若∠P=30°，則∠C的度數為____。

【錯因分析】點在圓上時，點與圓弧有兩種位置關系：點在優弧上，點在劣弧上。此處忽略了點在劣弧上的情況，導致漏解。

【正解】本題有如下兩種情況：

如圖7，當點C在優弧上時，連接OA、OB。

圖7

∵PA與⊙O相切于A點，OA是⊙O的半徑，∴∠OAP=90°。

同理，∠OBP=90°。

在四邊形AOBP中，∠OAP+∠P+∠OBP+∠AOB=360°。

如圖8，當點C在劣弧上時。

圖8

∵四邊形ACBC′是⊙O的內接四邊形，

∴∠C+∠C′=180°。∴∠C′=105°。

綜上，∠C=75°或105°。

【總結】在圓中，對于點與圓弧，從“位置關系”來看有兩種情況：點在優弧上，點在劣弧上；從“數量關系”來看，這兩種情況下的兩個角互為補角。同學們可以利用切線、圓周角定理、圓內接四邊形求解。

“數”與“形”是數學知識的核心構成要素，尤其是在幾何的學習過程中，數量關系和位置關系是數與形關系的直接體現。在圓這一章的學習過程中，我們要考慮點、線、角、弧在圖形中的不同位置。位置關系不同，數量關系也會發生變化，更深入地分析可以發現：不同位置關系下對應的數量關系之間也存在著對應關系。也正是位置的不確定，我們才需要分類討論出不同的數量關系。