一類線性函數(shù)方程Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)的求解補注*
2022-10-31 14:33:12石勇國宋西泠羅小宇
中學數(shù)學雜志 2022年9期
關鍵詞：方法
石勇國 宋西泠 羅小宇
(內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 641100) (四川省資中縣球溪高級中學 641208) (內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 641100)
在各類高中數(shù)學競賽中，常見的一類線性函數(shù)方程形如：
Af
(x
)+Bf
(φ
(x
))=g
(x
)，(1)
其中A
,B
為給定實數(shù)，f
是未知函數(shù)，g
為已知函數(shù)，φ
是迭代周期為n
的函數(shù)，這里的迭代周期是指存在最小的正整數(shù)n
，使得φ
自身復合n
次等于本身，即對于在定義域內(nèi)任意的x
，有φ
(x
)≠x
(m
=1,2,…,n
-1)，φ
(x
)=x.
對于具有迭代周期性質(zhì)的線性函數(shù)方程，在上世紀60年代左右，已有初步研究，代換法是求解該類函數(shù)方程的基本方法.
1987年，革燕芳討論了迭代周期為2、用代換法求解方程(1)的過程.
1990年，李光芹利用歸納法對于φ
是迭代周期為n
的函數(shù)，得到了方程(1)的求解公式.
最近，周德春探究了A
=2且B
=1，φ
是迭代周期為2，3，4，5的線性分式函數(shù)(另外可參見文[6]與[7])時，方程(1)的求解公式以及相關例子.
上述研究都滿足非奇異條件A
-B
≠0，而對于奇異情形A
-B
=0的方程(1)如何求解沒有涉及.
本文重點探討線性函數(shù)方程(1)在奇異情形A
-B
=0下的求解方法，并且給出實例，完整討論了迭代周期為2的線性函數(shù)方程(1)的所有解.
1 非奇異情形下的解
例1
已知函數(shù)f
(x
)滿足其中x
≠0，求f
(x
).
解
用代換x
，則有φ
(φ
(x
))=x
，且聯(lián)立解得那么，對于更一般的函數(shù)方程(1)，是否存在f
(x
)的求解公式？下面，就求解線性函數(shù)方程的方法展開說明.
定理1
假設A
-B
≠0，φ
是迭代周期為2的函數(shù)，則方程(1)的解為(2)
證
由φ
(x
)=φ
(φ
(x
))=x
，以φ
(x
)代換x
，代入Af
(x
)+Bf
(φ
(x
))=g
(x
)，即Af
(φ
(x
))+Bf
(x
)=g
(φ
(x
)).
與方程(1)聯(lián)立并化簡得
A
f
(x
)-B
f
(x
)=Ag
(x
)-Bg
(φ
(x
)).
由于A
-B
≠0，因此在定理1中，若φ
(x
)是一個迭代周期為2的分式線性函數(shù)，則φ
必定具有如下形式證明從略，詳見文[5]和文[7].
于是，方程(2)可以改寫為一般地，當φ
(x
)為一個迭代周期為n
的函數(shù)，且A
+(-1)-1B
≠0時，歸納可得求解方法詳見文[4].
以上所有求解方法都基于非奇異的必要條件A
-B
≠0.
然而，在奇異情形A
-B
=0下，以上定理都不再適用.
那么，又如何求奇異情形下方程(1)的解呢？2 奇異情形下的解
在方程(1)中，當A
-B
=0時，不妨假設A
=B
=1，或A
=1且B
=-1，并考慮最簡單情形g
(x
)=0時方程(1)的解.
引理1
設φ
(x
)是迭代周期為2的函數(shù)，A
=B
=1，則線性函數(shù)方程f
(x
)+f
(φ
(x
))=0的解形如f
(x
)=h
(x
)-h
(φ
(x
))，其中h
為任意函數(shù).
證明
因為f
(x
)=-f
(φ
(x
))，那么f
(φ
(x
))=-f
(x
)，由2f
(x
)=f
(x
)+f
(x
)=f
(x
)-f
(φ
(x
))，得令為任意函數(shù)，則有
f
(x
)=h
(x
)-h
(φ
(x
)).
引理2
設φ
(x
)是迭代周期為2的函數(shù)，A
=1且B
=-1，則線性函數(shù)方程f
(x
)-f
(φ
(x
))=0的解形如f
(x
)=h
(x
)+h
(φ
(x
))，h
為任意函數(shù).
證明
因為f
(x
)=f
(φ
(x
))，那么f
(φ
(x
))=f
(x
)，由2f
(x
)=f
(x
)+f
(x
)=f
(x
)+f
(φ
(x
))，得令為任意函數(shù)，則有
f
(x
)=h
(x
)+h
(φ
(x
)).
例2
已知求該方程的解.
解
根據(jù)引理1，設h
(x
)為任意函數(shù)，則形如的函數(shù)均是解.
例3
已知求該方程的一般解.
解
根據(jù)引理2，設h
(x
)為任意函數(shù)，則形如的函數(shù)是一般解.
進一步地，討論g
(x
)≠0時，方程(1)有解的必要條件，以及求解方法.
引理3
設φ
(x
)是迭代周期為2的函數(shù)，A
=B
=1，則f
(x
)+f
(φ
(x
))=g
(x
)有解的必要條件為g
(x
)=g
(φ
(x
))，且存在一個特解為證明
用φ
(x
)代換x
，得到新方程f
(φ
(x
))+f
(x
)=g
(φ
(x
))，而由原式f
(x
)+f
(φ
(x
))=g
(x
)，故g
(x
)=g
(φ
(x
)).
將代入原式，得
左邊右邊，故其是特解.
引理4
設φ
(x
)是迭代周期為2的函數(shù)，A
=1且B
=-1，則f
(x
)-f
(φ
(x
))=g
(x
)有解的必要條件為g
(x
)=-g
(φ
(x
))，且存在一個特解為證明
用φ
(x
)代換x
，得到新方程f
(φ
(x
))-f
(x
)=g
(φ
(x
))，又由原式f
(x
)-f
(φ
(x
))=g
(φ
(x
))，則g
(x
)=-g
(x
).
將代入原式，得
左邊右邊，故其是特解.
定理2
設φ
(x
)是迭代周期為2的函數(shù)，則函數(shù)方程f
(x
)+f
(φ
(x
))=g
(x
)的解形如為任意函數(shù).
證明
因為f
(x
)=g
(x
)-f
(φ
(x
))，則有2f
(x
)=f
(x
)+f
(x
)=f
(x
)+g
(x
)-f
(φ
(x
))，即令為任意函數(shù)，則有
類似地，可以證明：
定理3
設φ
(x
)是迭代周期為2的函數(shù)，則函數(shù)方程f
(x
)-f
(φ
(x
))=g
(x
)的解形如為任意函數(shù).
證明
因為f
(x
)=g
(x
)+f
(φ
(x
))，則有2f
(x
)=f
(x
)+f
(x
)=f
(x
)+g
(x
)+f
(φ
(x
))，即令為任意函數(shù)，則有
例4
已知求該方程的特解和一般解.
解
用代換x
，有φ
(φ
(x
))=x
，驗證滿足g
(x
)=g
(φ
(x
)).
由引理3，得到特解為再由定理2，方程的一般解形如：
其中h
為任意函數(shù).
例5
已知求該方程的特解和一般解.
解
首先，利用換元法將方程變形，令sinx
則原式為令則有φ
(φ
(t
))=t.
可以驗證且滿足g
(t
)= -g
(φ
(t
))，由引理4和定理3得到特解為一般解則形如：其中h
為任意函數(shù).
例6
已知求該方程的特解和一般解.
解
用代換x
，則有φ
(φ
(x
))=x
，可以驗證滿足g
(x
)=g
(φ
(x
))，由引理3得到特解為再由定理2得一般解形如：其中h
為任意函數(shù).
3 總結
本文針對一類線性函數(shù)方程Af
(x
)+Bf
(φ
(x
))=g
(x
)，其中φ
(x
)是迭代周期為2的函數(shù)，提供了通用的求解方法，補充探討了這類線性函數(shù)方程在奇異情形A
-B
=0時解的性質(zhì)以及求解的方法，并設計了實際例子以作參考.
類似本文方法，可以繼續(xù)研究φ
(x
)的迭代周期為3，4，5，…，n
時該線性函數(shù)方程的解.
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