從“充分與必要”視角辨析一道三角題的解法
2022-10-31 14:33:12蘭詩全
中學數學雜志 2022年9期
蘭詩全
(福建省古田縣第一中學 352200)
“問題是數學的心臟”，找到答案只是數學解題的前一半，更重要的是解題后的反思．“不思故無惑，不惑故無問，不問故無得．”為什么是正確的、為什么是錯誤的、錯在哪里呢，對這些“為什么”的追問一定可以大大提升分析、解決數學問題的能力．反思才能悟出其中的方法與思想，反思才能悟出問題的真本質、真規律、真道理．
以下從充分與必要視角對一道題目的多種解法進行正誤辨析，以示解題中要對充分與必要條件加以高度重視，理清思路、認識到位、理解深刻，要發現規律，要揭示本質，才能真正掌握知識，提高解題能力，提升數學素養．
題目
在銳角三角形ABC
中，角A
,B
,C
所對的邊為a
,b
,c
，若b
=ac
，求cosB
的取值范圍．錯解當且僅當a
=c
時取等號．又在銳角三角形ABC
中，故cosB
<1，所以cosB
的取值范圍為辨析
以上解法對嗎？為什么？銳角三角形ABC
與等價嗎？顯然不等價，解題中條件的相互轉化一定要等價！銳角三角形ABC
等價于角A
,B
,C
都是銳角，以上解法只考慮到銳角三角形ABC
的一個必要條件就得答案，一般會擴大所求的取值范圍．錯解2 由b
=ac
，得b
不是最長邊也不是最小邊，不妨設a
≤b
≤c
，則A
≤B
≤C
．又由△ABC
為銳角三角形，且A
+B
+C
=π，得2B
+C
≥π，所以2B
≥π-C
，由C
為銳角，得即得又當且僅當a
=c
時取等號，所以cosB
的取值范圍為辨析
很多學生認為以上解法是正確的，但事實上是錯誤的．這又是為什么？細想b
=ac
這個條件用到位了嗎？沒有用到位，沒有用充分！由b
=ac
?b
不是最長邊也不是最小邊(不妨設a
≤b
≤c
)?A
≤B
≤C
，但反過來由A
≤B
≤C
推不出b
=ac
，即b
=ac
內在的本質關系未充分利用，錯解2也是條件不等價變形造成的！利用已知條件的必要條件A
≤B
≤C
來解答就得出問題的解，這與解法1類似，往往會擴大所求的取值范圍．錯解3 由b
=ac
，得b
不是最長邊也不是最小邊，不妨設a
≤b
≤c
，則A
≤B
≤C
．由△ABC
為銳角三角形且b
=ac
?C
為銳角且b
=ac
?0b
=ac
設則所以
辨析
cosB
的最大范圍為[-1,1]，所以cosB
的范圍不可能是不是利用了b
=ac
的準確數量關系了嗎？不是關注了條件的轉化要等價嗎？又錯在哪里？不斷追問，問個水落石出！原來a
≤b
≤c
這個條件還沒用到位，由a
≤b
≤c
應有所以解法3中應得故有以下正確解法．正解1 由b
=ac
，得b
不是最長邊也不是最小邊，不妨設a
≤b
≤c
，則A
≤B
≤C
．由△ABC
為銳角三角形且b
=ac
及a
≤b
≤c
?C
為銳角且b
=ac
且設則∈
所以
辨析
以上解法正確嗎？“水本無華，相蕩乃成漣漪；石本無火，相擊而發靈光．”經過廣泛討論，積極思考后又有學生認為不對，理由是因為首先要構成三角形，從而在上述解法的基礎上還應滿足條件a
+b
>c
，故有以下正解2．正解2 在正解1的基礎上還應滿足a
+b
>c
，即再由正解1得后同正解1．辨析
正解1與正解2的最后答案是一樣的，這是偶然還是必然？要想找出內在本質規律，要想打破砂鍋問到底，此問題還應從以下命題說起．命題
已知三個正實數a
,b
,c
，且a
≤b
≤c
，角C
∈(0,π)，若滿足則a
+b
>c
．證明 因為0<C
<π，所以因為a
,b
,c
>0，所以故從而a
+b
>c
．這說明，滿足余弦定理形式的三邊a
,b
,c
一定能構成三角形．本題中，C
為銳角故正解2中考慮a
+b
>c
是多余的，正解1的解答為最佳．經常性地像這樣進行數學問題辨析，錯中求正、敗中求勝，數學問題將越辨越清，認識將越來越深刻．數學學習若不能揭示問題的本質，則對知識方法認識依然“云里霧里”，不能從錯誤的陰影中真正走出來，不能從正確中掌握規律，這是數學學習的大忌．以上辨析說明，對充要條件是否準確應用直接關系到解題的成敗，許多時候解題出錯都是因為充要關系沒用對，對充要條件的應用要特別注意，已知條件的相互轉化要注意充要性，一定要利用已知條件或與已知等價的條件來解題，這是本質，這是關鍵．
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