課程視域下的數(shù)學(xué)單元作業(yè)重構(gòu)
——以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)復(fù)習(xí)課為例

韋慶賀

(江蘇省連云港市厲莊高級(jí)中學(xué) 222121)

1 引言

《學(xué)記》中說(shuō)“時(shí)教必有正業(yè),退息必有居學(xué)”，其中“居學(xué)”指課外作業(yè)，作業(yè)是達(dá)到“學(xué)以致用”和“以用促學(xué)”的重要手段.在教學(xué)過(guò)程中，為保證學(xué)生掌握知識(shí)的持久性和提升知識(shí)運(yùn)用的靈活性，很多教師無(wú)力采取其他途徑，只有通過(guò)大量、重復(fù)的作業(yè)訓(xùn)練，讓學(xué)生收集各種題型，以緩解學(xué)生在考試過(guò)程中面對(duì)新題型而產(chǎn)生的陌生感．隨著課程改革的進(jìn)一步深化,如何利用作業(yè)提升教學(xué)質(zhì)量和促進(jìn)學(xué)生發(fā)展是一線教師亟待解決的問(wèn)題．2019年國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見(jiàn)》，提出提高作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量，精心設(shè)計(jì)基礎(chǔ)性作業(yè)，適當(dāng)增加探究性、實(shí)踐性、綜合性作業(yè)．作業(yè)設(shè)計(jì)要從學(xué)習(xí)活動(dòng)整體考慮，系統(tǒng)、科學(xué)、合理設(shè)計(jì)不同層次的作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)預(yù)習(xí)、及時(shí)整理和鞏固所學(xué)知識(shí)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

2 單元作業(yè)有關(guān)概述

單元作業(yè)是為某個(gè)教學(xué)單元所設(shè)計(jì)的所有作業(yè)的總和．合理的單元作業(yè)應(yīng)具有整體性、結(jié)構(gòu)化和進(jìn)階性的特點(diǎn)．單元作業(yè)可以增強(qiáng)同一單元不同課時(shí)作業(yè)之間的結(jié)構(gòu)性和遞進(jìn)性，減少一些僅僅針對(duì)低水平目標(biāo)、反復(fù)操練性質(zhì)的作業(yè)，進(jìn)而留出時(shí)間增加發(fā)展高階思維、關(guān)鍵能力的作業(yè)比例，有助于發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)．

3 單元作業(yè)重構(gòu)的教學(xué)實(shí)踐

根據(jù)課堂內(nèi)容設(shè)計(jì)單元作業(yè)，本節(jié)課內(nèi)容 為高三復(fù)習(xí)課:指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．

3.1 教學(xué)目標(biāo)

(1)理解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)；

(2)能夠利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決比較大小，會(huì)用研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法研究簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)性質(zhì)；

(3)解決簡(jiǎn)單的含參復(fù)合函數(shù)、抽象函數(shù)不等式恒成立及存在性、函數(shù)零點(diǎn)等問(wèn)題，體會(huì)從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

3.2 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)主要體現(xiàn)于兩個(gè)層面：一是掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，會(huì)應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；二是解決不等式恒成立、存在性等問(wèn)題的常用方法，會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法解決問(wèn)題．

3.3 教學(xué)過(guò)程

引題

若不等式4>log

x

在上有解，則

a

的取值范圍是

.

設(shè)計(jì)意圖

此題入口寬，回顧指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，回顧解決不等式存在性問(wèn)題及恒成立問(wèn)題的常用方法，激活學(xué)生思維．

例題

已知函數(shù)

f

(

x

)=

a

+

b

，其中

a

>0且

a

≠1，

b

>0且

b

≠1．(1)請(qǐng)寫出一組數(shù)對(duì)(

a

,

b

)，使函數(shù)

f

(

x

)為偶函數(shù)

.

(2)設(shè)給出以下三個(gè)條件：①方程

f

(

x

)-

k

=0在[-1,2]上有兩個(gè)實(shí)根；②對(duì)任意的

x

∈[-1，2],使

f

(

x

)≤

k

恒成立；③存在

x

∈[-1，2],使得不等式

f

(

x

)+

x

-

k

>0成立

.

從這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求

k

的取值范圍．

設(shè)計(jì)意圖

第(1)問(wèn)以兩個(gè)指數(shù)函數(shù)“疊加”形式呈現(xiàn),給學(xué)生一個(gè)相對(duì)陌生的情境,并用“例題”的形式給出,是學(xué)生相對(duì)陌生的設(shè)問(wèn)情境,激發(fā)其探究欲望,幫助回顧研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法

.

第(2)問(wèn)以“結(jié)構(gòu)不良”的形式設(shè)問(wèn),是新高考中的常見(jiàn)題型,不同的學(xué)生根據(jù)自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)選擇條件嘗試解決,掌握解決復(fù)合函數(shù)方程根的問(wèn)題、不等式恒成立問(wèn)題、不等式存在性問(wèn)題的常用方法與基本數(shù)學(xué)思想．變式1：已知函數(shù)

f

(

x

)=

a

+

b

，其中

a

>0且

a

≠1，

b

>0且

b

≠1

.

設(shè)對(duì)任意的

x

∈

R

，

f

(2

x

)≥

mf

(

x

)-6恒成立，求

m

的最大值．

設(shè)計(jì)意圖

此題仍是一個(gè)恒成立問(wèn)題，但與例題第(2)問(wèn)中的恒成立問(wèn)題相比較，需要對(duì)不等式進(jìn)一步的觀察與發(fā)現(xiàn)，找出與之間的關(guān)系，從而將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為不等式

t

-

mt

+4≥0對(duì)任意的

x

∈[2，+∞)恒成立的問(wèn)題

.

對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)仍是一個(gè)“新情境(數(shù)學(xué)情境)”的問(wèn)題，旨在激活和發(fā)展學(xué)生的高階思維能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．變式2：已知函數(shù)

f

(

x

)=

a

-

b

為奇函數(shù)，其中

a

>0且

a

≠1，

b

>0且

b

≠1

.

若

a

>

b

,對(duì)任意

x

∈[2,4]，不等式≥0恒成立，求

a

的取值范圍．

設(shè)計(jì)意圖

將研究對(duì)象

f

(

x

)=

a

+

b

為偶函數(shù)改為研究

f

(

x

)=

a

-

b

為奇函數(shù)，結(jié)構(gòu)形式上的相似及研究方法的相似，能較好地保持學(xué)生思維的連續(xù)性，使其思維處在高階狀態(tài)

.

但此變式并沒(méi)有給出具體的

a

,

b

的值(這也是此題的另一個(gè)難點(diǎn))，這需要學(xué)生調(diào)動(dòng)研究抽象函數(shù)不等式問(wèn)題的常用方法——轉(zhuǎn)化為“作用對(duì)象”大小關(guān)系問(wèn)題．滲透類比思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

3

.

4 課堂小結(jié)

(1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；

(2)利用函數(shù)性質(zhì)解決相關(guān)方程有根(或函數(shù)存在零點(diǎn))、不等式有解或恒成立問(wèn)題的方法與思想；

(3)解決函數(shù)問(wèn)題，特別要關(guān)注數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論思想的應(yīng)用．

4 單元作業(yè)重構(gòu)中的幾個(gè)原則

4

.

1 合理設(shè)計(jì)基礎(chǔ)性作業(yè)

作業(yè)1：已知集合則

M

∩

N

=( )

.

作業(yè)2：已知

f

(

x

)=|lg

x

|，若則( )

.

A

.a

<

b

<

c

B

.b

<

c

<

a

C

.c

<

a

<

b

D

.c

<

b

<

a

題目來(lái)源及意圖

作業(yè)1和作業(yè)2來(lái)源于人教A版《普通高中教科書高中·數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))》復(fù)習(xí)參考題4，這兩道題旨在幫助學(xué)生回憶指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并利用單調(diào)性進(jìn)行比較大小、求值域等，體現(xiàn)作業(yè)的基礎(chǔ)性原則，對(duì)應(yīng)教學(xué)目標(biāo)(1)．

教材是課程實(shí)施的重要載體，是教師設(shè)計(jì)作業(yè)的重要依據(jù)，明確教材中單元學(xué)習(xí)的目的和任務(wù)，并以此為標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)整個(gè)單元的作業(yè)體系，才能確保作業(yè)設(shè)計(jì)不超綱、不走樣．

4

.

2 科學(xué)設(shè)計(jì)鞏固性作業(yè)

作業(yè)3：設(shè)函數(shù)

f

(

x

)=ln|2

x

+1|- ln|2

x

-1|，則

f

(

x

)( )

.

A

.

是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B

.

是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C

.

是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D

.

是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減作業(yè)4：已知函數(shù)

f

(

x

)=2+

x

，

g

(

x

)= log

x

+

x

，

h

(

x

)=

x

+

x

的零點(diǎn)分別為

a

,

b

,

c

，則

a

,

b

,

c

的大小順序是

.

題目來(lái)源及意圖

作業(yè)3來(lái)源于教輔精選，考查復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的一般研究方法

.

作業(yè)4來(lái)源于人教A版《普通高中教科書高中·數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))》復(fù)習(xí)參考題4，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的思想方法，這兩題體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性原則，對(duì)應(yīng)教學(xué)目標(biāo)(2)

.

作業(yè)5：(多選)已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的是( )

.

A

.f

(

x

)為奇函數(shù)，

g

(

x

)為偶函數(shù)B

.

對(duì)任意

x

，

x

∈

R

，且

x

≠

x

，都有C

.

對(duì)任意

x

，

x

∈

R

，且

x

≠

x

，都有D

.

函數(shù)

f

(

x

)與

g

(

x

)既無(wú)最小值，也無(wú)最大值作業(yè)6：(多選)已知函數(shù)且

a

≠1)，則下列說(shuō)法正確的是( )

.

A

.

函數(shù)

f

(

x

)為偶函數(shù)B

.

當(dāng)

a

>1時(shí),函數(shù)在

f

(

x

)在(0，+∞)上為減函數(shù)C

.

方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解D

.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)

f

(

x

)-

t

有兩個(gè)零點(diǎn)

題目來(lái)源及意圖

作業(yè)5和作業(yè)6來(lái)源于教輔精選，考查研究復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的一般方法、數(shù)形結(jié)合思想等，與課堂例題相匹配，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性原則,對(duì)應(yīng)教學(xué)目標(biāo)(2)、(3)．

4

.

3 適度設(shè)計(jì)拓展性作業(yè)

作業(yè)7：已知函數(shù)則

y

=

f

(

f

(

x

))-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

.

題目來(lái)源及意圖

作業(yè)7為教輔改編題

.

本節(jié)課課堂上沒(méi)有出現(xiàn)“迭代函數(shù)”的相關(guān)例題及處理方法，但本題是一個(gè)利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的典型問(wèn)題

.

設(shè)計(jì)在作業(yè)中，可以給部分優(yōu)生一個(gè)自主探索發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，并在此過(guò)程中進(jìn)一步感悟數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)作業(yè)的拓展性原則，對(duì)應(yīng)教學(xué)目標(biāo)(3)．

4

.

4 優(yōu)化設(shè)計(jì)綜合性作業(yè)

作業(yè)8：設(shè)函數(shù)

f

(

x

)=log(4+

a

·2-1)，

x

∈[0,1]

.

(1)若

a

=1，求方程

f

(

x

)+

x

=0的根；(2)若方程

f

(

x

)+

x

=0在[0,1]上無(wú)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)

a

的取值范圍．

題目來(lái)源及意圖

作業(yè)8為教輔改編題，此題考查指對(duì)數(shù)運(yùn)算、指對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、恒成立問(wèn)題、方程根的存在性問(wèn)題等．問(wèn)題分析和解決過(guò)程，體現(xiàn)了作業(yè)設(shè)計(jì)中注重方法指導(dǎo)、思維過(guò)程的表達(dá)與交流等功能，對(duì)應(yīng)教學(xué)目標(biāo)(3)．

4

.

5 創(chuàng)新設(shè)計(jì)新情境作業(yè)

作業(yè)9：對(duì)于定義在[

p

,

q

]上的函數(shù)

m

(

x

)，設(shè)

x

=

p

，

x

=

q

，用任意的

x

(

i

=1,2,…,

n

-1)將[

p

,

q

]劃分成

n

個(gè)小區(qū)間，其中

x

-1<

x

<

x

+1，若存在一個(gè)常數(shù)

M

>0，使得|

m

(

x

)-

m

(

x

)|+|

m

(

x

)-

m

(

x

)|+…+ |

m

(

x

-1)-

m

(

x

)|≤

M

恒成立，則稱函數(shù)

m

(

x

)為在[

p

,

q

]上的有界變差函數(shù)

.

(1)證明函數(shù)

f

(

x

)=2+2-是在[0,2]上的有界變差函數(shù)，并求出

M

的最小值；(2)寫出一個(gè)

f

(

x

)在[

p

,

q

]上是有界變差函數(shù)的充分條件，使上述結(jié)論成為其特例(不要求證明)

.

題目來(lái)源及意圖

作業(yè)9改編自2021年上海市期末考題，是一個(gè)“新定義”情境下的問(wèn)題

.

首先，要熟悉函數(shù)

f

(

x

)=2+2-的性質(zhì)(這是對(duì)課堂內(nèi)容的回顧),其次需要從題干信息中分析出

M

的求法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng),對(duì)應(yīng)教學(xué)目標(biāo)(3)．

在強(qiáng)調(diào)作業(yè)“減負(fù)增效”的背景下,教師應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)變觀念,科學(xué)評(píng)估作業(yè)質(zhì)與量的關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)單元作業(yè)重構(gòu)應(yīng)貫徹全面育人理念，關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成,關(guān)注學(xué)生個(gè)體間的差異,關(guān)注各學(xué)科各階段作業(yè)量,關(guān)注五育教育融合,助力每位學(xué)生全面發(fā)展．