高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的設(shè)計

201600 上海市松江一中 曹素玲

伴隨著新一輪課程改革的推進及新教材的實施，如何落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高課堂教學(xué)效率成為廣大教師面臨和亟需解決的問題

.

與此同時，課堂教學(xué)作為落實教育教學(xué)的“主戰(zhàn)場”，便自然而然地成為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的主要陣地

.

直觀想象素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必不可少的一種基本素養(yǎng)，它是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)

.

筆者結(jié)合具體實例，闡述直觀想象素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的培養(yǎng)

.

一、 注重教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

在教學(xué)中要合理創(chuàng)設(shè)直觀情境，其中包括實際情境、科學(xué)情境、數(shù)學(xué)情境、歷史情境等

.

合理創(chuàng)設(shè)情境便于學(xué)生理解學(xué)習(xí)內(nèi)容和要完成的任務(wù)，能夠激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情，也有利于提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力

.

例如，對于“函數(shù)的單調(diào)性”一節(jié)的引入環(huán)節(jié)進行如下設(shè)計

.

情境1

回顧我們之前學(xué)習(xí)過的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像，分別說說當(dāng)

a

>1和0<

a

<1時，圖像所表現(xiàn)出的趨勢如何？指數(shù)函數(shù)圖像如表1所示

.

表1

y=axa>10<a<1圖像

對數(shù)函數(shù)圖像如表2所示

.

表2

y=logaxa>10<a<1圖像

設(shè)計意圖：

新教材對函數(shù)的編排做了很大的調(diào)整，將指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)提到函數(shù)的概念之前，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想，順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，便于學(xué)生由具體函數(shù)直觀地認(rèn)識函數(shù)的性質(zhì)

.

本節(jié)課從學(xué)生熟悉的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖像入手創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生直觀感受圖像中“當(dāng)

a

>1時，

y

隨

x

的增大而增大”和“當(dāng)0<

a

<1時，

y

隨

x

的增大而減小”的趨勢，在感知函數(shù)值增減變化的過程中，推動學(xué)生對單調(diào)性由形到數(shù)的認(rèn)識，將感性認(rèn)識升華為理性認(rèn)識

.

情境2

氣溫曲線你注意過一天之內(nèi)的氣溫變化嗎？請根據(jù)我市某日氣溫隨時間變化的曲線圖(如圖1所示)，說說氣溫的變化情況

.

圖1

設(shè)計意圖：

氣溫波動是學(xué)生在現(xiàn)實生活中能夠切實感受到的，借助學(xué)生實際生活的感受經(jīng)驗引入，讓學(xué)生感受氣溫在某個時間段“上升”“下降”的趨勢與圖像單調(diào)性的聯(lián)系，初步獲得對函數(shù)單調(diào)性的感性認(rèn)識，為理性概念的生成做鋪墊

.

理解函數(shù)單調(diào)性的形式定義僅僅是理解函數(shù)性質(zhì)的一部分，在教學(xué)中，教師也要培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，使學(xué)生在頭腦中“留住”一批具體的函數(shù)模型，這樣不僅可以幫助學(xué)生提升直觀想象素養(yǎng)，還可以對輔助函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)起到事半功倍的效果

.

二、 注重實物模型的制作，增進直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展

從平面幾何過渡到立體幾何時，思維方式會發(fā)生較大的變化

.

從以往學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗來看，很多學(xué)生不具備從二維空間迅速切換到三維空間的能力，尤其對于空間想象能力欠發(fā)達的學(xué)生來說，他們遇到的困難更大

.

因此，教師在進行立體幾何教學(xué)時，可引導(dǎo)學(xué)生親手制作立體幾何模型，通過觀察現(xiàn)實模型，恰當(dāng)運用類比思想，不斷培養(yǎng)、發(fā)展和完善學(xué)生的直觀素養(yǎng)

.

例如，讓學(xué)生動手制作圓錐模型，觀察從圓錐側(cè)面沿母線剪開得到的展開圖是扇形，在此基礎(chǔ)上，教師再啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生尋找平面幾何與立體幾何之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)扇形弧長與底面圓周長相等，從而掌握二者間的轉(zhuǎn)化

.

除了制作模型，教師還要引導(dǎo)學(xué)生通過對模型的理解與洞察將問題直觀化

.

例如，在講解“多面體的表面積”時，筆者布置了一道2005年的高考題作為拓展題

.

有兩個相同的直三棱柱，高為底面三角形的三邊長分別為3

a

,4

a

,5

a

(

a

>0)，請同學(xué)們動手制作模型并解決以下問題

.

(1)用它們能拼成什么樣的幾何體？

(2)在所有可能拼成的直四棱柱情形中，全面積最小的是哪一個？全面積是多少？

(3)在所有的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，求

a

的取值范圍

.

設(shè)計意圖：

模型是想象的基礎(chǔ)，通過利用模型，學(xué)生可以更容易地理解和推理數(shù)學(xué)問題，本題主要考查棱柱的側(cè)面積和表面積，學(xué)生通過動手制作模型，拼接模型，很快就會發(fā)現(xiàn)這兩個直三棱柱可以拼成一個直三棱柱和三個直四棱柱，接著根據(jù)公式分別求出棱柱的側(cè)面積和表面積，通過比較，問題就迎刃而解了

.

空間想象能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，在學(xué)習(xí)立體幾何之初，教師一定要多注重實物模型演示，讓學(xué)生多運用直觀感知、操作確認(rèn)、度量計算等認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì)，逐步發(fā)展空間想象能力，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

.

三、 注重多媒體技術(shù)的運用，促進直觀表象能力的形成

多媒體在新課程改革的背景之下?lián)?dāng)著重要的角色，在教學(xué)過程中有著不可替代的作用

.

由于信息技術(shù)具有較強的直觀性，可以將靜態(tài)的數(shù)學(xué)課堂轉(zhuǎn)化為動態(tài)的數(shù)學(xué)課堂，在很短的時間內(nèi)吸引學(xué)生的眼球，所以，在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)注重相關(guān)教學(xué)軟件的應(yīng)用

.

在研究

A

,

ω

,

φ

對函數(shù)

y

=

A

sin(

ωx

+

φ

)的影響時，可以先給

ω

賦值，然后通過對比各個圖像之間的差異，利用幾何直觀感受參數(shù)

ω

對函數(shù)的影響

.

例如，通過作出函數(shù)

y

=2sin

x

和及

y

=sin2

x

和的圖像，發(fā)現(xiàn)其與函數(shù)

y

=sin

x

圖像的區(qū)別和聯(lián)系

.

在此基礎(chǔ)上，通過對圖像的觀察，結(jié)合函數(shù)表達式進一步討論、抽象、歸納出參數(shù)

A

，

ω

對函數(shù)圖像及周期的影響，利用同樣的方法可以探究

φ

對函數(shù)的影響，最后得出結(jié)論

.

(如圖2所示)

圖2

又如，在講解由函數(shù)

y

=sin

x

的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到的圖像時，兩種方法的分解圖分別如圖3-1、圖3-2所示

.

方法1：

先伸縮后平移(如圖3-1所示)

.

方法2：

先平移后伸縮(如圖3-2所示)

.

圖3-1

圖3-2

設(shè)計意圖：

函數(shù)

y

=

A

sin(

ωx

+

φ

)的圖像與性質(zhì)是三角函數(shù)中的一個較為抽象的內(nèi)容，在較為抽象的數(shù)學(xué)知識的教學(xué)過程中，應(yīng)該充分利用多媒體技術(shù)，形象地揭示知識的產(chǎn)生或變化過程，在動態(tài)的分析探究中深化對概念的認(rèn)知，促進學(xué)生直觀表象能力的形成

.

四、 注重數(shù)形結(jié)合的滲透，促進直觀素養(yǎng)的提升

直觀想象是學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)

.

直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一朝一夕能夠完成的，它需要教師在教學(xué)過程中不斷引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘題目的條件，發(fā)現(xiàn)條件背后隱藏的數(shù)學(xué)思想方法，并盡可能幫助學(xué)生形成一些有用的“數(shù)學(xué)模型”

.

學(xué)生遇到新問題時，能對問題直觀地進行判斷，甚至無需論證推理就能直接看出一些結(jié)論，然后再運用相關(guān)結(jié)論解決問題

.

筆者在向量的習(xí)題課中選取了這樣一道例題

.

在△

ABC

中，若為

BC

邊的三等分點，則________

.

向量是數(shù)學(xué)中“形”與“數(shù)”的統(tǒng)一，它不僅具有幾何的“形”，還有“數(shù)”的特點．向量的“形”不僅是學(xué)生理解概念的一種直觀的方法，也可以為學(xué)生提供解決問題的思路

.

本題看似考查向量數(shù)量積的運算，而實質(zhì)考查向量的“距離”

.

在解決問題之前，學(xué)生需要明確兩點

.

(1)對于有公共始點的兩向量的和與差的模分別表示相應(yīng)平行四邊形的兩對角線長，對角線長相等的平行四邊形一定是矩形

.

(2)有公共點的兩向量的和的模即為△

AEF

第三邊

EF

對應(yīng)的中線長

AG

的兩倍

.

教材只講解了向量的幾何表示、三角形法則、四邊形法則等，它讓向量具備了“形”的特征，但對于條件表示矩形，△

AEF

中的和的模為第三邊

EF

對應(yīng)的中線長

AG

的兩倍，則屬于需要學(xué)生積累的基本模型

.

明確這兩點之后就可以畫出圖形了(如圖4所示)

.

圖4

解答：

由知

AB

⊥

AC

，由

AB

=2，

AC

=1得因為

E

，

F

為

BC

邊的三等分點，取

EF

的中點

G

，則在△

AEF

中，由可得故

設(shè)計意圖：

知識的積累依賴于直觀，數(shù)形結(jié)合思想正是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中“直觀想象”的體現(xiàn)

.

在處理本題時，正因為抓住了“公共始點”“和”“差”“模”“數(shù)量積”等關(guān)鍵詞，把向量問題轉(zhuǎn)化成三角形或四邊形中的“距離”問題，才達到了數(shù)形轉(zhuǎn)化的目的

.

在教學(xué)中，要增強學(xué)生運用“直觀想象”思考問題的意識，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

.

直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)不是在短時間內(nèi)就能完成的，它需要依托具體的數(shù)學(xué)知識與方法，在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)思想方法的掌握過程中，通過逐步積累、領(lǐng)悟、內(nèi)省形成

.

對于絕大多數(shù)學(xué)生來說，數(shù)學(xué)能力的形成與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升主要依賴于(或源于)數(shù)學(xué)課堂，因此，在結(jié)合新教材備課的過程中，教師要多思考教材編寫者的意圖是什么，教師應(yīng)該向?qū)W生教什么，怎么教，這樣才能使直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)得到有效體現(xiàn)與落實

.