數形結合下初中數學典型題解題策略探究

◎張嘉銘

(廣東省惠州市惠陽區第一中學,廣東 惠州 516211)

數形結合的解題思想主要利用了數的結構特征，繪制出同其相對應的數學圖形，同時通過對圖形特點及規律的運用，使數學問題得到解決，或是將圖形轉化為代數，無須推理，便將要解答的問題轉變為數量關系數形結合的思想也可以使學生對于數學問題的解題效率變得更加高效，促進學生數學思維和數學素養的培養和提升，為以后數學的高效學習做好充分的準備

一、在數形結合下解典型數學問題的意義

(一)有利于提升數學解題的效率和質量

對初中數學這門學科來說，它的很多內容都是比較抽象的，使得學生理解起來比較困難在解題的過程中運用數形結合的解題思想，可以將抽象的數學問題通過圖形的形式進行直觀的表達，加強學生對數學題目的理解，從而有利于學生提升數學解題的效率和解題質量

(二)有利于促進學生數學思維模式的構建

數學對學生抽象思維、數學核心素養的培養都具有重要的作用在數形結合的背景下開展初中數學的典型題解題，可以有效培養學生的數學思維模式、數學解題思路，使學生在解決數學的復雜問題的時候可以自如運用數學的模型等方式，將復雜、抽象的數學問題簡單化，促進學生數學素養的高效培養，促進學生數學思維的構建

(三)有利于促進學生對數學知識的運用

在新課程標準改革的背景下，初中數學不僅要幫助學生獲得數學的基礎知識和基本技能，還要求學生可以將所學的知識靈活運用到實際問題的解決中，建立起科學的數學思想方法因此，在解題的過程中運用數形結合的解題方法，有利于促進學生對數學知識的運用

二、數形結合下初中數學典型題解題的策略

(一)數形結合思想在解有關圓的相關問題的應用

(1)求點的縱坐標；

(2)如圖2，以為直徑作圓，交直線于，交圓于，聯結并延長交于，求△的面積；

(3)另有一圓過點，與軸切于點，與直線交于點、，求證：·=2

圖1

圖2

在做題的過程中運用數形結合的解題方法，可以將上述題目中的數據或有關的描述在數學的圖形中展示出來，以利于學生對數學題目有一個直觀的理解，促進解題的高效開展，也促進學生對相關問題解決思路的把握

(二)數形結合的解題思想在銳角三角函數解題中的運用

很多數學問題在解題的過程中是比較抽象的，不利于學生理解對于初中階段的學生來說，他們的抽象思維還沒有得到完全的發展，對于一些難以理解的問題其解題思路是薄弱的，這就會導致學生對于數學問題失去學習的興趣，致使學生的抽象思維和抽象能力得不到及時的發展比如初中數學中的銳角三角函數這部分知識，很多學生對三角形中的函數是第一次接觸，那么對于一些題目理解不清也是正常的現象在解題的過程中，教師應該發揮對學生的引導作用，巧妙地借助數形結合的教學方法，將與題目相關的數學關系通過圖形的形式進行展現，幫助學生準確理解題目例如：會堂里豎直掛著一條幅，如圖3，小剛從與水平的點觀察，∠=30°，當他沿方向前進2米到達點時，視角∠=45°，求條幅的長度如果只是對文字進行解讀，對其中的很多知識是很難完全把握的，但是在圖形的輔助下，就會對題目的要求有更深層次的理解

圖3

(三)數形結合思想在二次函數解題中的應用

在初中數學的教學中，二次函數也是一個不可忽視的內容，是學生后續學習的關鍵在學習這部分內容時，教師一般會先帶領學生充分認識二次函數的相關定義和二次函數的性質，這就需要結合二次函數的圖像來理解數形結合的思想可以使學生對二次函數的相關內容理解得更加透徹比如二次函數的定義：一般地，把形如=++(、、是常數)的函數叫作二次函數，其中稱為二次項系數，為一次項系數，為常數項為自變量，為因變量等號右邊自變量的最高次數是2二次函數的圖像是一條對稱軸與軸平行或重合的拋物線二次函數的主要圖像如圖4所示

圖4

對函數的基本圖像掌握之后，其對稱軸、開口方向之類的性質就可以巧妙地借助于二次函數的圖像進行了解在對二次函數的基本內容了解之后，有關二次函數的相關題目也可通過數形結合來解決

(四)數形結合思想在一元二次方程解題中的應用

在有關一元二次方程的題目中，最常見的一類問題就是航海問題在解這類數學問題的時候，僅僅依靠題目的內容是很難將題目中的要求弄懂的，對于題目的理解往往需要配合相關的圖形比如：某海軍基地位于處，在其正南方向200海里處有一重要目標，在的正東方向200海里處有一重要目標，小島恰好位于的中點，島上有一補給碼頭小島位于上且恰好處于小島的正南方一艘軍艦從出發,經到勻速巡航，一艘補給船同時從出發，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦

(1)小島和小島相距多少海里?

(2)已知軍艦的速度是補給船的05倍，軍艦在由到的途中與補給船相遇于處，那么相遇時補給船航行了多少海里?(精確到01海里)

在解這道題的過程中，由于題目的敘述比較長，看完題目內容就已經一頭霧水，更不用提繼續做題了如果借助數形結合的思想，將題目中的數量關系用圖的形式展現出來，學生就可以對題目中的要求有直觀的了解(如圖5所示)

圖5

運用數形結合思想進行此類問題的解決，可以使學生對問題有直觀的把握，促進問題解決效率的提升，也促進學生對數學問題的理解，提升讀題解題的能力

(五)數形結合思想在勾股定理解題中的應用

圖6

(六)數形結合思維在不等式解題中的應用

數形結合可以有效提升學生的思維能力，將復雜的數量關系與直觀圖形結合，以減小解題的難度實際解題過程中，學生可以根據題目內容，將已知條件轉化為圖形來獲取答案初中階段數的最大范圍是實數，點是最簡單的幾何圖形，通過數軸可以將兩個不同的事物建立緊密的聯系數軸是解決數學問題的重要途徑之一比如：解不等式|-3|-|+5|>2解題過程中可以借助數軸進行表示，如圖7所示|-3|和|+5|分別表示點到點、的距離，可以假設一個點使-=2，由圖可知，表示數字-2時，|-3|-|+5|=2，所以不等式的解集為<-2解這一題時，通過數形結合，可以將復雜的問題化為比較簡單的問題，同時能有效鍛煉學生的邏輯思維能力

圖7

(七)數形結合思維在平行四邊形解題中的應用

平行四邊形的應用是中考的一項重要內容，并且數形結合思想在平時解題過程中也發揮著重要的作用初中數學知識所涉及的范圍較廣，不能局限于應對考試，要注重培養學生正確的思維方式和學習方法，引導學生構建完整的知識體系，以提升學生的數學綜合能力數形結合思維有助于學生更加直觀地理解概念原理及結構關系等，能夠大大豐富學生解題的思路，進而達到一題多解、舉一反三比如：如圖8，菱形中點是邊的中點，點是邊上一動點(不與點重合)，延長交射線于點，聯結、求證：無論在何處，四邊形都是平行四邊形

圖8

解題過程中，首先要厘清平行四邊形的一些相關概念，而后進行解答

證明：∵四邊形是菱形，∴∥，∴∠=∠，∠=∠∵為的中點，∴=，∴△≌△，∴=，又=，∴無論在何處，四邊形都是平行四邊形

通過數形結合的思維進行解題，學生可以更加直觀地找出相關判定條件，有效鍛煉解題思維，大幅提升學習成績

(八)數形結合思維在概率解題中的應用

圖9

(九)數形結合思維在相似三角性的判定中的應用

圖10

從數學視角來看，如果教學過程中只注重結論，而忽視教學過程，將生動的過程變成刻板的程序，會嚴重阻礙學生個性思維的發展數學教學過程中應當有效培養學生的數形結合思維，以此豐富學生獲得知識的體驗，培養學生的綜合能力，鞏固學生學到的知識

比如：如圖10所示，點、在上，且∥，∥求證：△∽△這道題主要考查三角形相似的判定定理：(1)如果三角形的兩對角相等，那么這兩個三角形相似；如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似

證明：根據∥，∥，就可以得出∠=∠，∠=∠，根據三角形的判定定理，即可得出△∽△

通過這道題可以看出數形結合的重要性，如果解題過程中只有理論知識，而沒有圖形的輔助，學生將很難進行解題運用數形結合的方法答題，可以有效培養學生的自主探究能力為了有效促進數形結合的實施，教師需要提高數形結合方法的運用水平和能力，多角度思考問題

三、結束語

綜上所述，數形結合的解題思想在初中數學解題中的運用是十分廣泛的，它可以使復雜的問題簡單化，還能鍛煉學生的觀察能力對于初中階段的學生來說，熟練掌握數形結合的解題思想，可以為以后數學的高效學習奠定扎實的基礎