初中數學幾何圖形中有關最值問題的解題思路分析

2022-10-31 04:49:44田海霞

數學學習與研究 2022年25期

◎田海霞

(重慶市酉陽土家族苗族自治縣酉州初級中學,重慶 409800)

一、特殊位置與極端位置法求解幾何最值問題

幾何問題中出現的特殊位置與極端位置是解題的突破口運用特殊位置與極端位置法求解幾何最值問題時，要學會在題目中對條件進行深入分析，尋找題目中能夠出現的中點、垂直位置關系、端點、臨界點等特殊位置點，這常常需要學生在題目中給出的已知的特殊幾何圖形中通過做輔助線的形式尋找隱含條件，如例1所示

1如圖所示，已知存在=10，是線段上任意一點，在的同一側分別以和為邊作等邊三角形和等邊三角形，則的長的最小值為________

圖1

解：如圖所示，作′⊥于點′，′⊥于點′，⊥′于點

則△為直角三角形，

滿足=+

∵△、△為等邊三角形，

當存在最小值時，=0，此時=，

即為中點時存在最小值，

拓展一：

如圖所示，正方形的邊長為1，點為邊上任意一點(可與點或點重合)，分別過點、、作射線的垂線，垂足分別是′、′、′，則′+′+′的最大值為________，最小值為________

圖2

解：連接、，

圖3

∴正方形的面積為=1×1=1

二、幾何定理(公理)法求解幾何最值問題

運用幾何定理(公理)法求解幾何最值問題時，需要學生具備綜合所學知識的基本能力求解最大值、最小值的相關問題，往往可以通過把幾何問題轉變為一個代數問題的形式來完成，這對學生的基本運算能力和代數的相關定理(公理)的掌握有一定的要求與不等式的相關知識聯系在一起的情況居多，同學們要對此加以注意，在練習中也應多多有針對性地開展訓練

2如圖所示，在平行四邊形中，已知=，=(>)，為邊上的一個動點，延長直線，直線交于點，則+的最小值為________

圖4

在解這道題目時，可以通過設未知數的形式，把幾何問題轉變為一個代數問題，然后利用學過的不等式等相關知識來求解在解此題時可設=，然后將題目中的、的長度分別用表示運用自己學過的不等式+≥2(當且僅當=時等號成立)，即可求解最小值

由題可知，△∽△，

拓展二：

如圖所示，已知∠=45°，角內有一點，=10，在角的兩邊有兩點、(均不同于點)，則△的周長的最小值為________

圖5

根據軸對稱圖形的性質，作出關于、的對稱點、，連接，根據兩點之間線段最短得到最小值，再構造直角三角形，利用勾股定理求出的值即可

解：

圖6

分別作關于、的對稱點、，

連接交、與點、，

則所得△符合條件

連接、，

則===10，

∠=∠+∠=2∠=2×45°=90°，

故△為等腰直角三角形，

三、數形結合法求解幾何最值問題

運用數形結合法求解幾何最值問題時，同學們應該做到對題目當中給出的已知條件進行變量的適當選取，要學會建立起幾何元素之間的函數關系、不等式關系、方程關系等，然后運用學過的其他相關代數知識方法求解一般來講運用數形結合的方法求解幾何的最值問題需要通過一元二次方程必定有解的代數模型，可以對一元二次方程進行判別式的計算，求解幾何的最值，也可以選擇構造二次函數的方法進行求解，如例3所示

3已知△是等腰直角三角形，其中直角邊長為1，∠=90°，而等腰直角三角形的三個頂點又分別在Rt△的三條邊上，其中Rt△的∠=90°，求解Rt△中的直角邊長的最大可能值

對題目當中給出的已知條件進行分析，已知△的頂點在Rt△的邊上，可能是在直角邊或是上，也可能是在斜邊上，如圖7、圖8所示若頂點在Rt△的斜邊上，則可以取邊的中點，通過幾何不等關系來求解直角邊的最大值；若頂點在Rt△的直角邊或是上，可以通過設未知數的方法，設=，=，建立，之間的關系式，之后采用代數的方法求解直角邊的最大值