一種新的卡爾曼濾波圖像復(fù)原算法

張 琦， 張 慧， 潘 健， 劉松林

(湖北工業(yè)大學(xué)太陽能高效利用及儲(chǔ)能運(yùn)行控制湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 電氣與電子工程學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

隨著科技的不斷發(fā)展，數(shù)字圖像在醫(yī)學(xué)、日常生活、軍事、天文學(xué)等方面受到更多的關(guān)注，逐漸成為人類獲取信息的主要途徑之一[1]。但是圖像在形成、采集、傳輸、存儲(chǔ)等過程中容易遭受以高斯噪聲為主的噪聲干擾，造成圖像退化，為后續(xù)圖像進(jìn)一步處理增加困難[2]。傳統(tǒng)的經(jīng)典復(fù)原方法可以獲得良好的復(fù)原效果，但仍存在著算法運(yùn)行時(shí)間長和不能保持復(fù)原圖像的邊緣細(xì)節(jié)等問題[3-9]。1960年，卡爾曼等人提出了適用于多維隨機(jī)過程的狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)，數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量小，過程具有遞推性的卡爾曼濾波法[10]。在卡爾曼濾波的基礎(chǔ)上，學(xué)者將卡爾曼濾波應(yīng)用到不同的場景，包括圖像復(fù)原領(lǐng)域,但卡爾曼濾波圖像復(fù)原方法不能得到清晰的復(fù)原圖像[11-17]。為了解決噪聲干擾問題，對(duì)退化圖像進(jìn)行降噪，且提升算法運(yùn)算效率，同時(shí)對(duì)復(fù)原圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息進(jìn)行保留，基于卡爾曼濾波算法無偏估計(jì)且以最小方差為準(zhǔn)則的特點(diǎn)，本文提出了一種交替卡爾曼濾波圖像復(fù)原算法。該算法優(yōu)勢是不需要估計(jì)退化圖像的退化函數(shù)，仿真結(jié)果表明，該算法能有效地減少噪聲對(duì)圖像的干擾，提升算法運(yùn)算效率，同時(shí)保證圖像良好的清晰度。

1 圖像退化-復(fù)原模型及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

1.1 圖像退化模型

圖像受到噪聲干擾會(huì)產(chǎn)生退化，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型有助于利用算法消除噪聲干擾，得到與原始圖像特征相近的復(fù)原圖像。實(shí)際上，建立目標(biāo)數(shù)學(xué)模型是相當(dāng)困難的，但是通過大量的實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，大部分退化過程可以模擬成線性模型[2]。因此人們通過在線性區(qū)域內(nèi)加入噪聲干擾，近似模擬出退化圖像的數(shù)學(xué)模型(圖1)。

圖1 圖像退化-復(fù)原的數(shù)學(xué)模型

一般地，采用線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)圖像系統(tǒng)建模，退化圖像g(x,y)的表達(dá)如下：

g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)

式中，g(x,y)表示退化圖像，f(x,y)表示原始圖像，h(x,y)表示退化函數(shù)，n(x,y)為模擬噪聲干擾，“*”為卷積符號(hào)。

1.2 復(fù)原圖像的評(píng)價(jià)指標(biāo)

一般地，復(fù)原圖像的評(píng)價(jià)指標(biāo)分為主觀和客觀兩個(gè)層面。

主觀評(píng)價(jià)主要是依靠人眼分辨圖像的清晰度，容易受到復(fù)原圖像本身的特征、觀察者自身主觀因素及觀察環(huán)境的影響。

與主觀評(píng)價(jià)不同的是，客觀評(píng)價(jià)是根據(jù)理想圖像和復(fù)原圖像的像素、灰度值和峰值信噪比等實(shí)際參數(shù)的比較，以此判斷復(fù)原圖像質(zhì)量的優(yōu)劣。

1.2.1峰值信噪比(PSNR)圖像峰值信噪比的大小也可以反映圖像的質(zhì)量好壞，峰值信噪比大小與圖像質(zhì)量好壞呈正相關(guān)[6]。其表達(dá)式如下：

1.2.2均方誤差(MSE)均方誤差是變量差值比較常用的尺度之一，將理想圖像f(x,y)在坐標(biāo)(x,y)處的灰度值與復(fù)原圖像f'(x,y)在坐標(biāo)(x,y)處的灰度值看作隨機(jī)變量，按照均方差最小準(zhǔn)則，均方誤差值越小表示復(fù)原圖像還原度越高，其表達(dá)式如下：

式中，P和Q分別表示圖像長度和寬度上的像素個(gè)數(shù)。

主觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)通過肉眼觀察，速度快，但隨機(jī)性較強(qiáng)；客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)通過數(shù)值計(jì)算進(jìn)行比較分析，速度較慢，評(píng)價(jià)較為準(zhǔn)確。根據(jù)二者的特點(diǎn)，將二者結(jié)合作為圖像復(fù)原程度的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

2 改進(jìn)卡爾曼濾波圖像復(fù)原算法

2.1 爾曼濾波圖像復(fù)原算法

隨機(jī)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測方程如下：

其中αk,k-1表示k-1到k時(shí)刻的n×n維非奇異狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移矩陣；βk,k-1是k-1時(shí)刻的n×p維系統(tǒng)噪聲矩陣；μk是k時(shí)刻的m×n維觀測矩陣；Wk-1為k-1時(shí)刻的p維系統(tǒng)噪聲；Vk為k時(shí)刻的m維觀測噪聲[16]。

假設(shè)Wk和Vk都是均值為零的高斯白噪聲，Wk和Vk相互獨(dú)立[16]。統(tǒng)計(jì)特性如下：

式中，Qk、Rk分別是系統(tǒng)過程噪聲Wk和觀測噪聲的方差，一般地，Qk是半正定的，Rk是正定的，δkj為Kronecker-δ函數(shù)[16]。

狀態(tài)一步預(yù)測方程如下：

(1)

狀態(tài)估計(jì)方程如下：

(2)

濾波增益方程如下：

(3)

進(jìn)一步預(yù)測均方差方程如下：

(4)

估計(jì)均方差方程如下：

Pk=[I-Kkμk]Pk,k-1

(5)

上述方程中式(1)～(2)是濾波計(jì)算方程；(3)～(5)是增益計(jì)算方程。

卡爾曼濾波的初始化參數(shù)值設(shè)定會(huì)影響濾波效果，即影響圖像復(fù)原效果。一般地，設(shè)定卡爾曼濾波初始值需要根據(jù)工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)總結(jié)[14]。在工程經(jīng)驗(yàn)總結(jié)參數(shù)范圍內(nèi)，通過多次仿真試驗(yàn)，確定較為理想?yún)?shù)值：αk,k-1=1，βk,k-1=0，μk=1，Rk=0.25，Qk=0.25。

2.2 算法步驟與流程圖

由于Kalman濾波復(fù)原存在問題，按行或列進(jìn)行圖像復(fù)原，行間或列間沒有關(guān)聯(lián),為充分利用復(fù)原點(diǎn)四周的像素信息，提升Kalman圖像復(fù)原效果，提出交替卡爾曼濾波圖像復(fù)原算法。該算法的思路：進(jìn)行第一次卡爾曼濾波時(shí)，其過程是行濾波，即取圖像(矩陣)的行作為輸入值，然后開始迭代運(yùn)算。在進(jìn)行第二次卡爾曼濾波時(shí)，取經(jīng)過第一次濾波后得到的圖像(矩陣)的列作為第二次濾波的輸入值。

本算法的詳細(xì)步驟(圖2)如下：1) 讀取理想的圖像；2) 若是彩色圖像,需要灰度化處理；3) 為理想的圖像加上噪聲；4) 進(jìn)行卡爾曼行濾波；5) 進(jìn)行卡爾曼列濾波；6) 求兩次濾波后圖像的平均圖像；7) 計(jì)算步驟3)、4)、5)、6)復(fù)原結(jié)果圖像的均方誤差和峰值信噪比(圖2)，其中1)～3)為進(jìn)行研究而增加的圖像。實(shí)際應(yīng)用中主要為4)～7)。

圖2 交替Kalman濾波圖像復(fù)原流程

2.3 仿真結(jié)果與分析

圖像(矩陣)通過行列的不同順序組合方式有四種結(jié)果，改進(jìn)的卡爾曼濾波復(fù)原法根據(jù)組合方式的不同進(jìn)行濾波，分為四類：行-行組合、行-列組合、列-列組合、列-行組合。分析圖3、圖4可得，與施加噪聲干擾圖像(b)相比，4種改進(jìn)卡爾曼濾波復(fù)原圖像中的噪聲點(diǎn)均明顯減少，說明本文提出的方法有較好的降噪能力。與圖(c)，(e)相比，圖(c)，(e)經(jīng)過行列交替進(jìn)行圖像復(fù)原，復(fù)原圖像較清晰，故將退化圖像矩陣的行、列信息交叉進(jìn)行卡爾曼濾波復(fù)原時(shí)效果較優(yōu)，將這種行、列信息交叉進(jìn)行圖像復(fù)原的算法稱為交替卡爾曼濾波復(fù)原法。

圖3 Saturn圖帶高斯噪聲干擾圖像與四種改進(jìn)卡爾曼濾波復(fù)原圖像

圖4 Peppers圖帶高斯噪聲干擾圖像與四種改進(jìn)卡爾曼濾波復(fù)原圖像

分析表1可得:同一物體的復(fù)原圖像和帶噪聲干擾圖像對(duì)比，均方誤差值大幅降低，且復(fù)原圖像的峰值信噪比相較帶噪聲干擾圖像獲得了提高，說明改進(jìn)卡爾曼濾波復(fù)原法對(duì)圖像具有良好的降噪能力；四種不同行列順序組合形式的卡爾曼濾波復(fù)原算法中行列交替卡爾曼濾波復(fù)原圖像的均方誤差小于行-行、列-列兩種行列信息不交叉復(fù)原的算法，同時(shí)相應(yīng)的峰值信噪比也略大，表明交替卡爾曼濾波復(fù)原算法的復(fù)原效果更好。由表2知，同一物體的復(fù)原圖像進(jìn)行對(duì)比，四種改進(jìn)卡爾曼濾波復(fù)原法運(yùn)行時(shí)間無明顯區(qū)別。綜合圖3、表1和表2可以看出: 相比于行列信息不交叉復(fù)原算法的濾波復(fù)原圖像, 交替卡爾曼濾波復(fù)原法的濾波復(fù)原圖像較為清晰，效果較好。

表1 帶高斯噪聲干擾圖像與四種改進(jìn)卡爾曼濾波復(fù)原圖像的數(shù)據(jù)比較

表2 交替卡爾曼濾波復(fù)原方法所用時(shí)間的對(duì)比

交替卡爾曼濾波復(fù)原法分為行-列、列-行兩種組合形式，兩者復(fù)原效果差別很小，為方便討論，本文選擇行-列組合方式對(duì)后面的內(nèi)容進(jìn)行分析。

2.4 交替卡爾曼濾波復(fù)原方法與其它復(fù)原方法的對(duì)比

觀察圖5、圖6可知，與帶高斯噪聲干擾圖像相比，三種不同濾波復(fù)原圖像中的噪聲點(diǎn)均明顯減少，說明維納復(fù)原法、卡爾曼濾波復(fù)原法和交替卡爾曼濾波復(fù)原法均具有良好的降噪能力。三種復(fù)原圖像相比圖(a)含有的噪聲點(diǎn)最少，圖(e)次之，圖(d)最多。因此，三種不同濾波復(fù)原法中維納濾波復(fù)原法降噪能力較優(yōu)，交替卡爾曼濾波復(fù)原法次之，卡爾曼濾波復(fù)原法較差。同時(shí)，不難看出，維納濾波復(fù)原法的濾波圖像相較于交替卡爾曼濾波復(fù)原圖像清晰度較差。綜合分析，交替卡爾曼濾波復(fù)原法優(yōu)于其它復(fù)原方法。

圖5 Saturn圖像復(fù)原方法的對(duì)比

圖6 Peppers圖像復(fù)原方法的對(duì)比

分析表3可知，對(duì)比三種圖像濾波復(fù)原方法，均方誤差值方面，卡爾曼濾波復(fù)原圖像最大，交替卡爾曼濾波復(fù)原圖像次之，維納濾波復(fù)原圖像最小；峰值信噪比方面，維納濾波復(fù)原圖像最大，交替卡爾曼濾波復(fù)原圖像次之，卡爾曼濾波復(fù)原圖像最小。

表3 帶高斯噪聲干擾圖像與三種濾波復(fù)原圖像的數(shù)據(jù)比較

相較于維納濾波算法的復(fù)原圖像，交替卡爾曼濾波復(fù)原圖像的峰值信噪比基本相同， 均方誤差值方面，Saturn圖，兩種復(fù)原圖像算法分別為0.0098、0.0058；Peppers圖，兩種復(fù)原圖像算法分別為0.0096、0.0084，降噪能力較維納濾波算法略差。

交替卡爾曼濾波復(fù)原圖像和卡爾曼濾波復(fù)原圖像相比，峰值信噪比差別不大，均方誤差降低50%以上，復(fù)原效果更接近理想圖像，降噪能力優(yōu)于卡爾曼濾波復(fù)原方法。由表4可知：在同一幅圖像中算法運(yùn)行時(shí)間長短依次為維納濾波復(fù)原法、交替卡爾曼濾波復(fù)原法、卡爾曼濾波復(fù)原法。

表4 三種圖像濾波復(fù)原方法所用時(shí)間

交替卡爾曼濾波圖像復(fù)原法所需的運(yùn)行時(shí)間較維納復(fù)濾波原法相比，占維納濾波復(fù)原法中的Saturn圖的1.57%；Peppers圖的1.98%，極大提升了算法運(yùn)行效率縮短了算法運(yùn)行時(shí)間。在能獲得較好復(fù)原效果的情況下，交替卡爾曼濾波復(fù)原方法計(jì)算時(shí)間降為維納濾波復(fù)原法計(jì)算時(shí)間的2%以下。

結(jié)合圖4、表3和表4，綜合分析三種濾波復(fù)原方法的圖像降噪能力、算法運(yùn)行效率以及濾波復(fù)原圖像的清晰度，交替卡爾曼濾波圖像復(fù)原方法優(yōu)于其他兩種圖像復(fù)原方法。

3 結(jié)論

本文提出一種交替卡爾曼濾波圖像復(fù)原算法，用于復(fù)原受高斯噪聲污染的圖像。通過與維納濾波復(fù)原結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以主觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)和客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)表明交替卡爾曼濾波復(fù)原圖像的結(jié)果明顯優(yōu)于維納濾波復(fù)原的結(jié)果。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法能有效地消除噪聲對(duì)退化圖像的干擾，提升算法運(yùn)算效率，同時(shí)較為清晰的呈現(xiàn)圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息。