經管類專業(yè)“運籌學”漸進式教學方法

陸 彪

（南京航空航天大學 經濟與管理學院，江蘇 南京 211106）

引言

“運籌學”是經濟管理類專業(yè)的重要基礎課程之一。運籌學致力于解決經濟管理領域的決策問題，通過采用定量方法，輔助管理者做出優(yōu)化決策。運籌學涉及十幾個分支，如線性規(guī)劃、運輸問題、動態(tài)規(guī)劃、圖論與網絡計劃、決策分析、存儲論、排隊論等。各分支都有一套獨特的方法體系，各方法體系之間的關聯性較弱。從該角度而言，“運籌學”是一個內涵非常豐富的課程。對于經管專業(yè)的學生而言，學好運籌學，掌握其思想和方法，可以為從事經濟管理方面的工作或研究打下堅實基礎。

由于“運籌學”包含的分支眾多，而且各分支方法差異較大，因此學好運籌學并非易事。同時，各分支方法都要求建立和解析數學模型，而經管類學生數學功底較弱，這增加了他們學好該門課程的難度。因此，作為經管類專業(yè)運籌學授課教師，必須尋求有效的教學方法以引導學生學好該門課程。事實上，雖然運籌學中各分支方法差異較大，但它們都遵循同樣的底層邏輯：首先根據實際問題構建數學模型，然后解析模型的最優(yōu)解，最后根據模型最優(yōu)解確定問題的最佳方案。這三個環(huán)節(jié)逐步遞進、由淺入深、由易入難，這啟發(fā)我們采用一種漸進式的教學方法。

漸進式教學是一種應用較廣的教學模式。文獻調研顯示，漸進式教學在初中物理教學、微生物實驗教學、機械制圖課程教學、國際貿易專業(yè)課程教學及在外科門診臨床實習教學等各層次、各類型的教學中都實現了良好的效果。漸進式教學的核心思想是循序漸進地引導學生對課程進行學習，最終實現良好的教學效果。“運籌學”遵循著“問題建模—模型解析—最優(yōu)解反饋”的邏輯，因此非常適合于采用漸進式教學方法。

本文旨在為經管類專業(yè)“運籌學”教學探索一種“建模—解析—反饋”的漸進式教學方法。首先分析“運籌學”教學中存在的問題，然后探索一種“建模—解析—反饋”的漸進式教學方法以應對存在的問題，從而實現經管類專業(yè)“運籌學”的教學目標。

一、“運籌學”教學中的問題分析

筆者近年來為經管類專業(yè)學生講授“運籌學”課程，通過觀察和交流，發(fā)現學生在運籌學的學習中還存在以下突出問題。

第一，學生對“運籌學”的學習興趣普遍不高。雖然“運籌學”對經管類專業(yè)學生是一門非常重要的課程，但在教學中發(fā)現很多學生沒有對“運籌學”表現出很強的興趣。通過與學生交流得知，很多學生感覺“運籌學”是一門偏數學的課程，與自己專業(yè)的關聯性不是很強。事實上，由于“運籌學”涉及大量的數學優(yōu)化問題，在一些學院被劃歸在數學學科之下。對于經管類專業(yè)的學生偏重數學解析的“運籌學”，自然難以引起他們的興趣。因此，只有從實際管理問題出發(fā)引出數學模型，才能夠激發(fā)他們的學習興趣。

第二，學生對“運籌學”存在恐懼心理。“運籌學”模型解析以最優(yōu)化理論作為基礎，其中涉及大量的數學推導和計算。經管類專業(yè)學生大多是文科生，數學基礎比較薄弱，很難輕易掌握其中的數學解析，從而產生恐懼心理。因此，在數學模型解析的教學中，教師需要傾注更多的心力，探索有效的方法，循循善誘。

第三，學生對模型最優(yōu)解實際意義的認知不深。大多數學生在得到模型最優(yōu)解后，通常不會去思考最優(yōu)解的實際含義。模型最優(yōu)解與實際問題最優(yōu)方案之間存在一定距離，學生需要把最優(yōu)解“翻譯”成最優(yōu)方案，這樣可以幫助他們深入地認識“運籌學”。

為解決以上問題，在“運籌學”教學中應該首先以實際問題為牽引，講授數學模型的構建，其次探索有效方法以講授數學模型的解析，最后講授模型最優(yōu)解對于實際問題的反饋，即采用一種“建模—解析—反饋”的漸進式教學方法。

二、“運籌學”漸進式教學方法

“運籌學”漸進式教學遵循“建模—解析—反饋”三個遞進的教學環(huán)節(jié)，如圖1所示。首先從實際問題出發(fā)，講授如何根據實際問題建立數學模型，其次講授如何解析數學模型獲得其最優(yōu)解，最后講授如何將模型最優(yōu)解反饋到實際問題以得到最優(yōu)方案。

圖1 “運籌學”漸進式教學模式

（一）建模環(huán)節(jié)：從實際問題到數學模型

“運籌學”立足于解決實際問題。對于經管類專業(yè)的學生來說，只有讓他們意識到“運籌學”在解決實際問題中的價值，才能激發(fā)他們對“運籌學”的學習興趣。為此在每個分支教學伊始，選取一個實際問題作為引導案例。一方面引起學生對本分支的學習興趣，另一方面讓學生初步了解本分支將解決哪類問題。例如，在給經管類專業(yè)學生講授線性規(guī)劃時，筆者用某人力資源規(guī)劃問題作為引導案例；在講授運輸問題時，用某汽車公司的生產基地與分銷中心的運輸問題作為引導案例。從課堂情況來看，學生表現出很強的興趣。

雖然不同的實際問題對應的數學模型不一樣，但它們都是由決策變量、目標函數和約束條件三部分組成。因此，在講授建模的過程中，著重培養(yǎng)學生的建模意識，以及正確定義決策變量和正確表示目標函數和約束條件的建模能力。

（二）解析環(huán)節(jié)：從數學模型到最優(yōu)解

在建立數學模型之后，需要講授如何解析數學模型以得到其最優(yōu)解，這是最難的，也是最重要的一個教學環(huán)節(jié)。實際上，每類數學模型都有對應的優(yōu)化方法。例如，線性規(guī)劃模型對應單純形算法，運輸模型對應表上作業(yè)法，整數規(guī)劃模型對應分支定界法或割平面法，最短路模型對應Dijkstra 算法或Floyd-Warshall 算法。這些方法的共同特點是既有邏輯步驟，每個步驟下又有具體操作細節(jié)。例如，分支定界算法的邏輯步驟是對線性規(guī)劃問題進行反復的分支和定界，直至找到整數最優(yōu)解，而如何分支和如何定界又是操作細節(jié)。

筆者在教學過程中發(fā)現，有些學生能夠掌握方法的邏輯步驟，卻在操作細節(jié)上不熟練；有些學生能夠較好地掌握細節(jié)，卻無法把握方法的整體邏輯步驟。因此，對于優(yōu)化方法的教學應該使得學生既能把握方法的整體脈絡，又能掌握具體的操作細節(jié)。在此目標下，對于每種方法可以繪制一個方法流程圖，明晰該方法的整體邏輯步驟。例如，見單純形算法的流程圖圖2。在講解一種方法的過程中，采用該方法的流程圖作為引導。即按照流程圖一步一步地講授，講到每個步驟時跳到該步驟對應的操作細節(jié)進行詳細講解，講完該步驟下的具體操作之后再跳回到流程圖的下一步，依次往下，直至講完方法。通過此方法讓學生既能掌握方法的整體邏輯，又能掌握具體的操作細節(jié)。

圖2 單純形算法流程圖

（三）反饋環(huán)節(jié)：從模型最優(yōu)解到問題最優(yōu)方案

在獲得模型最優(yōu)解之后，需要將模型最優(yōu)解反饋到實際問題，以獲得實際問題的最優(yōu)方案，形成一個教學閉環(huán)。這是最容易的一個教學環(huán)節(jié)，但也是不可或缺的一個環(huán)節(jié)，否則就無法形成教學閉環(huán)。在這個教學環(huán)節(jié)中，需要教授學生將模型最優(yōu)解“翻譯”成問題的最優(yōu)方案。例如，生產計劃問題最優(yōu)解為X=（10，20，25，0，0），其對應的最優(yōu)生產方案為生產A產品10件，生產B產品20件，生產C產品25件。X的最后兩個分量等于0，表示松弛變量或人工變量取值為0，沒有實際含義。又例如，表1所示為某運輸問題的最優(yōu)解。通過該最優(yōu)解可知=5，=3，=1，=6，其余的x=0。根據該最優(yōu)解，可得到最優(yōu)運輸方案為：從產地A運往銷地B物資5個單位，從A運往B物資3個單位，從A運往B物資6個單位，其余產銷地之間則不進行物資運輸。注意到，雖然=1，但是由于B是虛擬的銷地，因此實際上A并沒有生產這1個單位物資，也就不會往B運輸物資了。通過最后的反饋環(huán)節(jié)，使學生加深對模型最優(yōu)解實際意義的理解，也加深對于運籌學思想的理解，有利于夯實學生對于“運籌學”的學習興趣，進而提高運籌學的教學效率。

表1 某運輸問題的最優(yōu)解

結語

本文為經管類專業(yè)“運籌學”課程教學提出了一種“建模—解析—反饋”漸進式教學方法。該教學方法將“運籌學”教學劃分為“數學建模”“模型解析”和“最優(yōu)解反饋”三個環(huán)節(jié)。這三個環(huán)節(jié)層層遞進，首尾相連，形成一個教學閉環(huán)。建模環(huán)節(jié)著重培養(yǎng)學生對實際問題建立數學模型的能力，解析環(huán)節(jié)重點培養(yǎng)學生熟練掌握各種優(yōu)化方法的邏輯脈絡和具體操作，而反饋環(huán)節(jié)則培養(yǎng)學生對于模型最優(yōu)解實際意義的理解。通過該漸進式教學模式，激發(fā)學生學習“運籌學”的興趣，培養(yǎng)學生數學建模能力，引導學生掌握各種優(yōu)化方法，夯實學生對“運籌學”的理解，最終實現“運籌學”的教學目標。

在實施該漸進式教學方法的過程中也會遇到諸多問題。例如，如何根據學生的專業(yè)背景選擇合適的實際問題，如何應對學生基礎和學習能力的個體差異問題，以及如何在優(yōu)化方法講解中營造積極的學習氛圍等。這些問題需要在教學的過程中得到有效解決，才能夠保證該漸進式教學實現更好的效果。