基于學(xué)生綜合能力提升的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革探討

◇中原工學(xué)院 李士生 陳仁霞 馮 琪

針對目前離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中存在的痛點問題，遵循“以學(xué)生為根，以育人為本”的理念，從改革課堂教學(xué)目標(biāo)、探索線上線下教學(xué)相結(jié)合的新型教學(xué)模式、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、強(qiáng)調(diào)多元化考核方式四個方面闡述離散數(shù)學(xué)的教改措施，并積極融入數(shù)學(xué)建模思想及課程思政元素，旨在激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的動力，提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的創(chuàng)新應(yīng)用能力。

離散數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一門重要基礎(chǔ)學(xué)科，主要研究各種不同離散形式對象的結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)。一方面，離散數(shù)學(xué)著重培養(yǎng)學(xué)生的計算思維和邏輯思維，使其廣泛應(yīng)用在計算機(jī)相關(guān)領(lǐng)域；另一方面，離散數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)建模的一個重要工具，在物理、化學(xué)、生物等自然科學(xué)，電子工程、自動化等工程技術(shù)等領(lǐng)域也有著普遍的應(yīng)用[1]。因此，這些必要性和重要性都促使離散數(shù)學(xué)成為計算機(jī)相關(guān)專業(yè)的一門核心必修課程。以筆者學(xué)校為例，在計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)工程、信息安全、網(wǎng)絡(luò)軟件、移動互聯(lián)網(wǎng)、金融軟件、數(shù)據(jù)軟件等專業(yè)都開設(shè)有離散數(shù)學(xué)課程，這些專業(yè)分布在計算機(jī)、軟件、電信、彼得堡航空等幾個不同的學(xué)院。

近年來，圍繞離散數(shù)學(xué)的教學(xué)方法與內(nèi)容的改革如火如荼。趙國生等[2]和鄧輝文[3]分別提出離散數(shù)學(xué)課程線上線下混合式教學(xué)模式，給出各自相應(yīng)的實施方案。杜治娟[4]針對離散數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的一些問題，提出多元融合的教學(xué)方法。鄧秀勤等[5]和陳義明等[6]分別提出基于OBE教學(xué)理念和雨課堂深度學(xué)習(xí)的離散數(shù)學(xué)改革探討。上述文獻(xiàn)關(guān)注的是改變傳統(tǒng)教學(xué)中偏重知識點的講解和解題技巧，主要針對教學(xué)方式、方法和內(nèi)容的改革，對如何提高學(xué)生的綜合能力關(guān)注較少。筆者結(jié)合近十年的離散數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗，將教學(xué)目標(biāo)定位于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、抽象思維、自主學(xué)習(xí)及數(shù)學(xué)建模等綜合能力的培養(yǎng)，探討如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，利用現(xiàn)代信息化資源，構(gòu)建合適的教學(xué)手段及方法組織課堂教學(xué)，提高離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量。

1 離散數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的痛點問題

近幾年，伴隨著微課、MOOC課、在線開放課程等信息化課程的建設(shè)，課堂效率有所提高，學(xué)生有了更多的學(xué)習(xí)選擇。然而，在目前的離散數(shù)學(xué)授課中，學(xué)生的學(xué)習(xí)依然存在以下幾個比較突出的問題。

（1）分支多，概念多，內(nèi)容繁雜，章節(jié)聯(lián)結(jié)性差。離散數(shù)學(xué)一般分為數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)和圖論四個單元塊，每個單元的知識點多、涉及面廣、信息量大，且不同單元間關(guān)聯(lián)性不強(qiáng)。作為一般只有45-60學(xué)時的授課時間，面對如此多且比較“散”的知識點，不管對教師還是學(xué)生都是一個巨大的挑戰(zhàn)，教師感覺講授時間不夠，不能充分展開課堂教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來感覺比較緊湊，知識點前后銜接不緊密，很難做到融會貫通。比如，以圖論單元為例（如圖1），該單元包含大量的概念、性質(zhì)和定理。其中每個模塊中又包含眾多的概念、例題和結(jié)論，該單元知識點內(nèi)部相互關(guān)聯(lián)，而與其余單元銜接不緊。為此，若采用傳統(tǒng)授課方式，不區(qū)分核心知識點與一般知識點，教師無法在規(guī)定的課時內(nèi)講授完，學(xué)生也無法在有限的時間內(nèi)吸收消化。

圖1 圖論單元包含的知識模塊

（2）理論性強(qiáng)，內(nèi)容抽象，概念辨析度不高。離散數(shù)學(xué)不僅術(shù)語和概念多，而且存在不少概念高度抽象、理論性強(qiáng)，初學(xué)者難易理解和掌握。比如，數(shù)理邏輯單元對于“命題”定義為“能夠判斷真假的陳述句”。這個概念很簡單，但是諸如“2040年元旦鄭州會下雪”和“大偶然都是兩個素數(shù)之和”這樣兩個簡單的命題對學(xué)生來說就不易判斷。對前者來說，雖然當(dāng)前無法判斷真假，但是只要等到2040年元旦以后就可以出判斷真假；而對后者來說，我們目前還不能給出正確性證明或者給出反例。其次，一些概念的定義與通常數(shù)學(xué)和生活應(yīng)用不完全一致，辨析度不高。比如，蘊(yùn)含式的真假規(guī)定為為假當(dāng)且僅當(dāng)前件p為真后件q為假”。該定義表明只要p為假對應(yīng)的命題就為真，然而在數(shù)學(xué)或者生活應(yīng)用中一個語句若前件為假，這個語句本身就是錯誤的。

（3）課程考核方式單一，學(xué)生積極性不高。當(dāng)前不少高校對離散數(shù)學(xué)課程的考核還是以基礎(chǔ)知識為主，雖然增加了過程性考核，但仍偏重于課程基本知識的理解和記憶，較少考核知識的實際應(yīng)用，更少關(guān)注評價和創(chuàng)造的考核。考核是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個重要風(fēng)向標(biāo)，好的考核可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用，解決實際問題。

（4）思政元素較少融入課堂教學(xué)。離散數(shù)學(xué)作為計算機(jī)類學(xué)生的一門專業(yè)課，教師授課關(guān)注的核心在于育“才”重“器”，而對“德”和“人”關(guān)注甚少。事實上，離散數(shù)學(xué)各個單元的內(nèi)容都與社會生活緊密相關(guān)，將思政元素自然地融入教學(xué)課堂，既可以讓學(xué)生關(guān)注社會問題，陶冶學(xué)生的情操，又可以擴(kuò)展相應(yīng)知識點的內(nèi)涵和外延，便于學(xué)生將所學(xué)知識解決實際問題，進(jìn)而也有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和動力的激發(fā)。

2 教學(xué)改革創(chuàng)新措施

針對離散數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的痛點問題，結(jié)合筆者多年來的教學(xué)經(jīng)驗，下面通過幾個不同的方面給出改革方案。

2.1 改進(jìn)教學(xué)目標(biāo)

為了響應(yīng)教育部新時代“新工科”及培養(yǎng)“應(yīng)用型人才”的發(fā)展需求，對離散數(shù)學(xué)課程，學(xué)生既要掌握必備的基礎(chǔ)理論知識，更能把離散數(shù)學(xué)與后續(xù)專業(yè)課程相聯(lián)系，做到觸類旁通，學(xué)以致用。從這個意義上來說，教學(xué)目標(biāo)必須做出相應(yīng)的調(diào)整。學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高是培養(yǎng)應(yīng)用型人才的前提，所以在離散數(shù)學(xué)的授課過程中，要強(qiáng)化學(xué)生理論聯(lián)系實際的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力[7]。

發(fā)散性思維、抽象思維、計算思維、邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模能力等綜合能力的鍛煉和培養(yǎng)是離散數(shù)學(xué)課程的重要教學(xué)目標(biāo)。選取與實踐應(yīng)用聯(lián)系緊密的章節(jié)，布置相關(guān)的研討、實驗、上機(jī)等實踐作業(yè)，通過分組討論、錄制視頻、教師點評等方式，促使學(xué)生對所學(xué)知識消化吸收，拓廣學(xué)生的外延知識，盡力理論聯(lián)系實際，助力實際應(yīng)用問題的解決，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力。

2.2 探索線上線下相結(jié)合的教學(xué)模式

教學(xué)過程和信息技術(shù)相融合，課前、課中、課后都需要有機(jī)結(jié)合，形成閉環(huán)。采用的線上學(xué)習(xí)平臺包括Canvas教學(xué)輔助平臺、超星Mooc平臺、雨課堂等，教學(xué)的信息化使得學(xué)生可以隨時隨地的重復(fù)學(xué)習(xí)，教師可以隨時隨地輔導(dǎo)，增加了教學(xué)的靈活性和互動性。

完善學(xué)生線上學(xué)習(xí)的監(jiān)督評價機(jī)制：①線上學(xué)習(xí)記錄，包括觀看視頻、課件、互動話題討論等，作為平時成績的一部分，讓學(xué)生意識到線上學(xué)習(xí)的重要性；②作業(yè)形式的多樣化（包括書面作業(yè)、視頻作業(yè)、開放課題小組討論等），豐富學(xué)生的視野，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，增強(qiáng)學(xué)生的各種能力；③通過引導(dǎo)學(xué)生參與作業(yè)互評，讓學(xué)生取長補(bǔ)短，加深理解，發(fā)現(xiàn)自身的優(yōu)缺點，拓展自己的知識，延申看問題的角度。同時，督促學(xué)生進(jìn)行線上課前測試及預(yù)習(xí)，及時了解學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，增強(qiáng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力?？傊?，在有限的時間內(nèi)，整合線上線下課程資源，針對每節(jié)課的教學(xué)任務(wù)和目標(biāo)，實施精心選擇課堂例題和課后習(xí)題為核心的探究式、交互式、混合式等多種激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動力的教學(xué)模式。

2.3 優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)生綜合能力

著名教育學(xué)家蔡元培先生說過“教育者，養(yǎng)成人性之事業(yè)也”，作為一名教師，不僅僅是知識和技能的灌輸者，更應(yīng)該培養(yǎng)他們獨立人格、自由意志和創(chuàng)新能力，樹立正確的“三觀”，真正做到教書育人。因此，在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中，充分發(fā)掘所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想、內(nèi)涵和方法，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、邏輯思維以及計算思維；自然融入課程思政元素，達(dá)到立德樹人的目的；針對那些與前繼及后續(xù)相關(guān)的章節(jié)部分，增設(shè)實踐或上機(jī)環(huán)節(jié)，促使學(xué)生動手實踐，構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到學(xué)以致用，解決實際問題的能力；構(gòu)建“重能力—全過程—多元化”的考核評價體系，避免“一錘定音”，讓學(xué)生積極參與課堂，及時發(fā)現(xiàn)不足，最大限度地提升學(xué)生的綜合能力。

（1）數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的熏陶有助于提高學(xué)生的抽象概括能力以及數(shù)學(xué)思維能力。離散數(shù)學(xué)作為一門計算機(jī)類數(shù)學(xué)課程，如何將其特有的數(shù)學(xué)思想如類比、逆向、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想有效地貫穿到離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程，需要教師“站得高，看得遠(yuǎn)”，使得課堂教學(xué)“有深度，有廣度”，能夠啟迪學(xué)生，達(dá)到舉一反三，以點帶面，發(fā)掘其內(nèi)涵和外延。比如，在講解代數(shù)系統(tǒng)單元群的消去律時，不只需要講授如何證明消去律，更需要學(xué)生回顧諸如利用加法運算的消去律解方程、可逆矩陣計算矩陣方程等相關(guān)知識點，引導(dǎo)學(xué)生抽象、提煉并升華成一般定理，從而在更廣闊的領(lǐng)域使用。

（2）融入課程思政元素，給予學(xué)生正確的人生導(dǎo)向，增強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)知能力和系統(tǒng)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和開拓精神。公徐路[8]指出思政元素融入離散數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性和可行性，并給出了幾種不同的實施途徑。但在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，如何恰當(dāng)融入思政元素，達(dá)到“如鹽入水，潤物無聲”的效果并非易事。否則，僅有思政而不相關(guān)，就會出現(xiàn)課堂脫節(jié)，達(dá)不到預(yù)想的育人效果。這就要求授課教師必須精心設(shè)計和準(zhǔn)備，搜集資料，穿插自然。為此，本離散數(shù)學(xué)教研組的教師們定期進(jìn)行研討，探索如何挖掘離散數(shù)學(xué)課程中的思政元素，何時插入以及以何種方式融入教學(xué)過程等，避免“重形式輕效果”。比如，在講授圖論單元歐拉圖時，引入“Konigsberg七橋問題”，讓學(xué)生體會到大科學(xué)家歐拉從這個簡單生活實例抽象到一般的圖論問題，從而開創(chuàng)了這個圖論新的數(shù)學(xué)分支，同時通過歐拉圖的學(xué)習(xí)引導(dǎo)學(xué)生解決旅游景點中路線的選擇問題，將所學(xué)知識融入生活。

（3）增設(shè)實踐教學(xué)環(huán)節(jié)。由于學(xué)時的限制，大多高校離散數(shù)學(xué)是沒有實踐教學(xué)環(huán)節(jié)的，這顯然無法與應(yīng)用型計算機(jī)專業(yè)人才的培養(yǎng)方案相匹配。學(xué)生若只抽象地學(xué)習(xí)課程知識，不利于前繼和后續(xù)課程的聯(lián)系，承上啟下，容易造成課堂知識與生活實踐相脫節(jié)，也容易使學(xué)生體會不到離散數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的趣味性和重要性。因而，打破原有的純理論教學(xué)，在布置與章節(jié)對應(yīng)的課內(nèi)習(xí)題外，以前沿為導(dǎo)向，對那些與計算機(jī)課題相關(guān)的章節(jié)安排適量的課外練習(xí)，讓學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識，將其應(yīng)用到相關(guān)的實踐教學(xué)環(huán)節(jié)中，這可以通過數(shù)學(xué)建模、算法設(shè)計、代碼上機(jī)編程等方式解決生產(chǎn)生活中的具體問題來實現(xiàn)，從而達(dá)到學(xué)生知識體系的系統(tǒng)化。以此為課程教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生進(jìn)行主動學(xué)習(xí)，培養(yǎng)其“發(fā)現(xiàn)—分析—解決”實際問題的能力。比如，在數(shù)理邏輯單元編程實現(xiàn)命題等值演算的上機(jī)實驗；在集合論單元利用Warshall算法編程計算給定二元關(guān)系上的傳遞閉包；在代數(shù)結(jié)構(gòu)單元編程實現(xiàn)基置換群的古典密碼設(shè)計；在圖論單元通過Huffman 算法解決信號傳輸?shù)淖罴亚熬Y碼問題以及Dijkstra標(biāo)號法解決賦權(quán)圖上兩個給定點的最短路問題的上機(jī)實驗等。

2.4 強(qiáng)調(diào)多元化考核方式

構(gòu)建“重能力—全過程—多元化”的考核評價體系。利用Canvas平、學(xué)習(xí)通平臺的學(xué)生學(xué)習(xí)行為數(shù)據(jù)統(tǒng)計功能，對學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行全過程評價。改變傳統(tǒng)期末考試“一錘定音”的考核方程，這里學(xué)生最終學(xué)習(xí)成績由五部分組成，可以更加全面地評價學(xué)生的整體學(xué)習(xí)情況，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的參與度和積極性（見圖2）。

圖2 考核方式

3 結(jié)束語

以適應(yīng)教育部“新工科”及培養(yǎng)“應(yīng)用型人才”的發(fā)展需求，通過對離散數(shù)學(xué)課程實施重知識與能力為教學(xué)目標(biāo)，采取線上線下相結(jié)合的教學(xué)模式，融入課程思政于課堂，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，注重理論與實踐相結(jié)合，并強(qiáng)調(diào)多元化考核方式，使學(xué)生在掌握離散數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)建模能力穩(wěn)步提升，并能夠利用所學(xué)知識解決與計算機(jī)專業(yè)緊密相關(guān)的實際應(yīng)用問題，實現(xiàn)了教學(xué)深度和廣度的逐步提升，促進(jìn)了學(xué)生綜合能力的提高，初步達(dá)到了教學(xué)改革的初衷。同時，在實際的教學(xué)過程中，對于不同專業(yè)的學(xué)生，還需采用不同的教學(xué)方案，精選不同的知識模塊與思政元素，結(jié)合當(dāng)前信息化教學(xué)手段，以此使得離散數(shù)學(xué)課程在新時代應(yīng)用型人才培養(yǎng)中發(fā)揮重要的作用。