一道中考壓軸題的探索與變式

2022-10-26 08:30:36湖北省宜昌市第六中學

中學數學 2022年20期

關鍵詞：思路解題方法

?湖北省宜昌市第六中學李玲

1 引言

解答一道復雜的數學題，以特殊情形為起點，往往能抓住數學問題的本質.現以2021年浙江省衢州市中考數學第24題解答探索及變式研究為例，探討如何就題變式、就題借力，追尋解題教學初心，有效發展學生思維能力，力求解題教學效能最優.

2 試題呈現

推理:

如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結BE，CF，延長CF交AD于點G.

圖1

(1)求證：△BCE≌△CDG.

運用：

圖2

拓展:

3 解答研討

3.1 “兩等兩線”看折疊，洞察結構得思路

思路分析：第(1)問，識別折疊具有軸對稱的本質，洞察到“兩等兩線”結構：折痕BE所在直線既是∠FBC的平分線、也是對應點連線段CF的垂直平分線；還有全等三角形及等腰△BCF，△ECF這樣的基本圖形.執果索因，容易得到△BCE≌△CDG.

3.2 給定比值求線段，聯想構造妙轉化

第(2)問，在推理的基礎上添加了線段比及一條線段長兩個條件，緊扣“兩等兩線”如何去找關聯？結合條件及圖形分析，直接求解；或構建方程模型整體求解；或搜索關聯相似三角形進行轉化；或從直角入手建立坐標系，借助點的坐標去求線段長；或面積法入手建立方程等.

圖3

思路一：由條件易求出EF,HF,HD的長度，從正方形內折疊的圖形結構聯想轉化，想到雙勾股法.

思路二：由圖3中的對頂角和平行線，易得GH=FH=5，HD=4，再結合AB=BF=BC這個條件，在Rt△ABH中用勾股定理，先求出正方形的邊長，再利用線段和差關系間接求DE的長.

解法2是從條件出發，順思聯想，從前一問找思路.這樣的解答似乎還少了從設問間找關聯，從結論出發逆推的思路.第(2)問還可以看透圖形結構，求DE的長，由(1)易得GD=CE=EF,加上正方形易捕捉到AG=DE,從而在轉化思想下，不妨直接設AG=DE=x，“由因導果、執果索因”，直取目標，計算上會優于解法2.

思路三：如圖4,分別延長BH，CD交于點I,構造和DE有關的相似三角形，即△IDH∽△IFE，求出ID與IE的長.

圖4

構造和DE有關的相似三角形有多種方法.結合圖4，如，反“A”型△IDH∽△IFE，“A”型△IDH∽△ICB，“X”型△IDH∽△BAH，都可以求出DE的長，但在求解的過程中又引進了新的未知量，且計算的過程中同一個三角形三條邊都需要用到，并涉及勾股定理，總的來說相似法計算難度較大.

思路四：建系，利用一次函數求出D，E的坐標.

圖5

利用兩點間的距離公式及FH=5找等量關系，理論上可求出t的值，但因為計算量大，在此處不追求解法的數量，僅供了解.

思路五：當圖形中出現多處垂直，可以由垂直聯想到高，進而聯想到面積，用不同方法求同一個圖形的面積就可以得到等量關系，常稱作面積法.相較于前面4種解法，等量關系表面復雜，但計算并不復雜，計算難度較低，能順利得到結果.

解法5：由給定條件易得DG=9，HD=4.如圖3，設DE=x，由S梯HDCB=S△HDE+S△HEB+S△EBC，得

以上5種解法，學生最容易想到的思路是雙勾股法、勾股、相似、建系，計算上最為簡便的是解法1的雙勾股法和解法5的面積法.筆者尤其要提到面積法難想易算這一點，啟示我們無論做什么題，潛意識里不要見題就算，要先宏觀選擇方向，再微觀確定方法.

3.3 形變質不變，類比遷移可得法

第(3)問，當“正方形”的條件換為“矩形”，比值的條件不變時，聯系第(2)問的運用，發現問題表面上雖有變化，但在求解第(3)問時仍可沿用第(2)問的方法及思路.反過來，當把第(3)問的結果求出時，令k=1，利用第(2)問的結果來驗證計算過程是否正確.沿用(2)的解題思路及方法，字母代替數，比值代替相等，體現了變化中的不變性.因此，從特殊到一般，可以幫助我們厘清思路，找到解題方法及問題的本質.

圖6

圖7

因為運算量大,勾股法在第(3)問中不適用，所以不做詳細解答.同樣，對于沿用第(2)問中的相似法、建系法，實際計算過程繁雜，都不適用于第(3)問.

點H在點D的右側時，如圖8，連接CH,仍設EC=x，則DG=kx.

圖8

面積法的算式看起來非常復雜，但是化簡計算過程非常簡單.

4 變式拓展

結合以上解答探索，發現此題以正方形到矩形的折疊問題為探究背景，融入初中數學核心知識，滲透特殊到一般、數形結合、函數與方程、分類討論等核心數學思想方法.若對試題相關的命題素材進行變式，將會引導學生注重知識體驗的過程，優化學生思維方式，強化基本數學思想方法的感悟與內化，從而充分發揮此題的教學價值.基于此，筆者從以下三點進行了相關的變式思考.