具有輸入飽和的無人兩棲平臺路徑跟蹤

賈英新，華玉龍，田相軒

(1.陸軍裝甲兵學院軍政基礎系，北京100072； 2.陸軍航空兵學院無人機中心，北京101149； 3.陸軍裝甲兵學院信息通信系，北京，100072)

1 引言

對預定路徑的準確穩定跟蹤是無人裝備順利執行各種任務的基礎，對路徑跟蹤進行研究具有重要的現實意義。文獻[1-5]等研究了無人艇路徑跟蹤控制問題，考慮無人艇的前后不對稱性，建立了非完全對稱數學模型，在此基礎上結合line-of-sight (LOS)導引律制定控制器實現了無人艇對預定路徑的穩定跟蹤。然而，與無人艇相比無人兩棲平臺的工作環境更加復雜惡劣，工作任務多樣裝具經常變換，使得平臺模型參數攝動更加劇烈，現有控制律的魯棒性難以滿足要求。

此外，無人兩棲平臺的執行機構還存在輸入飽和特性，即只能對一定范圍內的輸入進行響應，而對超出范圍的輸入無法響應，輸入飽和特性進一步增加了控制器的制定難度。針對具有輸入飽和特性的路徑跟蹤問題，文獻[6-8]引入了飽和補償輔助系統，通過對執行機構無法響應的部分進行估計補償，改善了控制器的跟蹤效果；文獻[9，10]利用具有光滑特性的雙曲正切函數和Nussbaum函數對飽和函數進行處理，保證了受限控制系統的穩定。這兩種方法雖然都能夠解決系統的輸入飽和問題，但也存在控制器制定過程復雜、制定的控制器計算量大不易于工程實現等不足。

針對具有輸入飽和的非完全對稱無人兩棲平臺數學模型，本文提出了一種更為結構更為簡單的基于干擾觀測器的抗飽和控制方法。該方法將實際控制輸入看作不受限的理想控制輸入與執行機構無法響應的控制輸入兩部分的疊加，后者可被視為等效干擾并與模型不確定性及真實外界干擾一并應用干擾觀測器進行估計和補償。由于無需單獨的輔助系統對飽和特性估計和補償，因而簡化了控制器的制定過程；飽和補償與真實外界干擾補償合二為一，也使得制定的控制器結構更為簡潔，計算量小，易于工程實現。

2 無人兩棲平臺結構及數學建模

2.1 無人兩棲平臺結構

本文研究的無人兩棲平臺由某型兩棲車輛改裝而成，其結構簡圖如圖1所示：兩個臥式軸流噴水推進器以距離2l對稱布置于平臺兩側，推進器噴口(即水門)方向固定但大小可調；當水門逐漸關閉時多余的水經由倒車水道以角度δ向前噴出，當兩側水門開度不同時兩噴水推進器產生不等的推進力從而形成轉首力矩使得平臺轉向。在實際中通常將噴水推進器的縱向推力與水門開度之間的關系簡化為線性，則由幾何關系可得無人兩棲平臺的縱向推力、橫向推力以及轉首力矩分別為

圖1 無人兩棲平臺結構簡圖

(1)

式中：′=sin+(cos)2；和分別表示平臺的總長和總寬；表示倒車水道出口至平臺重心的縱向距離；和分別表示縱向和橫向推力；表示轉首力矩；表示反噴系數；表示推力減額分數；和分別表示噴水推進器對橫向推力和轉首力矩的影響系數。

將水門完全打開記為“1”，水門完全關閉記為“0”，則實際中水門開度可響應的范圍為，∈[0，1]；相應地，根據式(1)可知、、的可行范圍為

min≤≤max，min≤≤max，

min≤≤max

其中，“·”與“ ·”分別表示“·”的最小值與最大值，且min=-2cos，max=2(1-)，max=-min=(1+)sin，max=-min=(1+)(+′)。

由式(1)的第二、三式易知

=

(2)

由于無人兩棲平臺的航行速度通常不高，和變化不大，因此可知近似為常數，即轉首力矩與橫向推力成比例關系；在船舶領域，由于大部分船舶的舵角是可調的，因而是變化的，這是無人兩棲平臺與船舶最大的不同，這一特性可使得無人兩棲平臺的控制問題得以簡化。

2.2 非完全對稱無人兩棲平臺模型

當無人兩棲平臺在水面上航行時，可將其視為特殊形狀的船舶，忽略模型不確定性及外界環境的影響可建立無人兩棲平臺的平面三自由度數學模型為

(3)

式中：=[，，]∈表示大地坐標系下的位置坐標和首向角，=[，，]∈表示隨體坐標系下的速度；=[，，]表示實際控制輸入；矩陣()，，()以及分別表示大地坐標系到隨體坐標系的旋轉矩陣、質量矩陣、科里奧利向心力矩陣、以及阻尼矩陣，其數學形式分別為

3 飽和控制輸入轉換

在工程實際中，執行機構往往存在位置、速度、以及加速度等方面的限制，當控制輸入超過這些界限后就會使得執行機構陷入飽和，對于超出的部分則無法響應，進而影響系統的性能，甚至破壞系統的穩定性。但如果從最初設計階段即將執行機構的飽和特性考慮在內則可在一定程序上避免飽和問題的發生。

由于式(3)中的控制輸入為實際控制輸入，則可知∈[，]；引入一個理想控制輸入∈，為不考慮執行機構飽和特性時求得的控制輸入。與之前的關系為

(4)

式中：=[min，min，min]，=[max，max，max]。

由于式(4)連續但不可導，可能使得執行機構出現沖擊，為得到平滑的控制輸入，借鑒文獻[9]和[13]，將式(4)用雙曲函數代替

(5)

將式(5)代入式(3)可得

(6)

式中：Δ=-為執行機構無法響應的部分，稱為等效干擾。

至此，執行機構的飽和特性對系統的影響已轉化為等效干擾對系統的影響，接下來的任務是：設計控制器削弱等效干擾的影響，并且使得無人兩棲平臺的位置、速度信號收斂至預定值，即→，→，其中和表示預定路徑的位置及速度信號。

注1：與文獻[6-10]相比，本文對輸入飽和特性的處理方法具有以下優點：

1) 將執行機構無法響應的部分視為等效干擾，在控制器制定過程中可與模型不確定性及外界環境干擾合并處理，無需單獨引入輔助控制系統，簡化了控制器的制定過程；

2) 在控制器設計階段即消除了輸入的限制，可方便利用現有智能算法進行控制器設計，提高了設計靈活性。

4 基于LOS導引律的控制問題轉換

4.1 LOS導引律

()=arctan(′()′())

(7)

圖2 LOS導引律示意圖

本文主要對無人兩棲平臺的直線路徑跟蹤進行研究，對于直線路徑而言，有

(8)

式中：為跟蹤誤差。

與現實中水手操舵類似，無人兩棲平臺在路徑跟蹤過程中應始終朝向點航行，因而無人兩棲平臺的期望航向角應為

=

(9)

式中，為參考航向角。

同時考慮到由于操舵以及外界環境的影響，無人兩棲平臺的橫向速度不為零，即平臺在航行中存在漂角，于是有

=+

(10)

式中，=arctan()；為航向角。

因此，根據式(8)-(10)可知無人兩棲平臺的期望首向角為

(11)

式中，0≤Δ≤Δ≤Δ。

4.2 跟蹤誤差

路徑跟蹤誤差由無人兩棲平臺在{}中的坐標來描述，即

(12)

(13)

將式(12)展開可得：

=-(-())sin()+(-())cos()

(14)

對式(14)求導可得

(15)

根據式(6)、(7)、(12)及(15)可得無人兩棲平臺路徑跟蹤誤差系統為

(16)

根據文獻[14]的定理1可知：對于路徑跟蹤誤差系統(16)，在導引律(11)的作用下系統平衡點=0是一致半全局指數穩定()的。這說明導引律(11)可將無人兩棲平臺對期望位置的跟蹤簡化為對期望航向角的跟蹤，因此，本文接下來控制目標可描述為：設計控制律使得無人兩棲平臺的航向角和速度信號收斂至期望值，即→，→。

5 控制器設計

在本節中，將應用反步控制理論設計兩個全局一致漸近穩定控制器，在設計過程中一個忽略輸入飽和的影響，記為，另一個考慮輸入飽和的影響，記為。下面先對進行設計：

5.1 忽略輸入飽和影響的控制器(M1)設計

定義航向角及速度跟蹤誤差分別為

(17)

(18)

令

(19)

式中：> 0為設計參數。可得

Step 2：忽略等效干擾Δ的影響，結合式(6)并對式(18)求導可得

(20)

注2：當忽略等效干擾Δ后，式(6)與式(3)形式相同，但兩者意義不同：式(3)中的為有界的實際控制輸入，而式(6)中的為任意連續的理想控制輸入。

將進行擴展可得第二個Lyapunov候選函數

(21)

對式(21)求導可得：

(22)

令

(23)

式中：={，，}為待設計的正定矩陣。

將式(23)代入式(22)得：

根據式(5)及式(23)即可求得實際控制輸入，制定完畢。

注3：的制定過程是目前普遍采用的，即：

1)忽略輸入飽和的影響，即假設是理想的不受限的控制輸入(本文以表示)，基于LOS、SF等導引律應用backstepping、滑模變控制等算法求出此理想的不受限的控制輸入；

將理想控制輸入通過飽和函數或雙曲函數得到最終實際控制輸入。

5.2 考慮輸入飽和影響的控制器(M2)設計

在本節中將對考慮輸入飽和影響的控制器()進行設計。的設計過程與相同，只不過由于考慮輸入飽和的影響使得理想控制輸入變為

(24)

當系統存在模型不確定性及外界干擾時，一般采用自適應算法或觀測器來進行估計和補償，線性狀態擴張觀測器將干擾項視為一個新的狀態，將狀態空間由二維擴展至三維，通過狀態空間的求解實現對干擾項的估計和補償，目前已在船舶、機器人、航空航天等領域得到了廣泛的應用。借鑒文獻[15，16]，本文采用線性狀態擴張觀測器來對等效干擾Δ進行估計和補償。

(25)

聯立式(24)與式(25)可得

(26)

為分析方便，首先記式(26)中的前四項為

(27)

不失一般性，只對超出上界的情況進行分析。當與使得執行機構陷入飽和后，系統將經歷以下4個階段

1)≥，與都使得執行機構陷入飽和，即實際控制輸入都為=，則實際控制輸入對無人兩棲平臺做的功相等，即=；而對于超出上限部分執行機構無法響應，能量損失分別為Δ，Δ；

2)<，≥，沒有陷入飽和，陷入飽和，則實際控制輸入=>，有>，其中-即為對階段(1)中Δ的部分補償；

綜上，當執行機構陷入飽和后，由于具有飽和補償功能，且在前三階段做功更多，可使得無人兩棲平臺的狀態響應速度更快。

5.3 穩定性分析

由于式(23)與式(26)中的尚未確定，控制輸入無法求出，下面對進行設計。考慮到路徑跟蹤的控制目標之一是使無人兩棲平臺的速度跟蹤預定速度，并且根據式(18)可知當→0時有→，因此可令=。

聯立式(2)與式(26)可得：

(28)

綜上，即完成了考慮輸入飽和影響的無人兩棲平臺路徑跟蹤控制器設計，總結控制器制定過程可得如下定理：

證：定義觀測誤差為

(29)

選取Lyapunov候選函數為

(30)

將式(30)沿著式(25)求導可得

(31)

6 數值仿真

本文所研究的無人兩棲平臺是在某型兩棲戰車的基礎上改裝而成的，其主要參數為

=1494

基于Matlab編寫程序并進行仿真，結果如圖3至圖7所示。

圖3 控制輸入時間響應曲線對比

圖4 控制輸入做功曲線對比

圖5 無人兩棲平臺軌跡曲線對比

如圖3所示為控制器與控制輸入時間響應曲線對比，由于與存在比例關系，因而圖中只列出了的時間響應曲線。由圖可知縱向推力未能使執行機構陷入飽和，觀測器未對其進行飽和補償，因而圖3所示的兩條縱向推力曲線差別不大；但由于差別比較大，導致無人兩棲平臺狀態響應不同，因而曲線不會完全重合。由圖3中曲線可以看出：在仿真初始時刻及便都使得執行機構陷入飽和，0-040為飽和補償第1階段，040-410為飽和補償第2階段，第410-462為飽和補償第3階段，由第52節理論分析可知，飽和補償前三個階段所做的功應該比大，如圖4所示為實際控制輸入的做功曲線，由圖可知(462)=29600，(462)=40400，>，說明了前文理論分析的正確性；此外，由于與的縱向推力差別不大，由此可知在0-462階段內控制輸入做功的差值主要由及產生，因此可推算出在此階段內控制下無人兩棲平臺首向角的變化應該比大，如圖5所示為無人兩棲平臺軌跡曲線對比圖，由圖易知在作用下平臺的首向角響應比快，無人兩棲平臺以更快的速度收斂至預定路徑，說明了前面分析的正確性。

圖6 M2作用下無人兩棲平臺速度曲線

圖7 狀態擴張觀測器對等效干擾的觀測結果

圖6與圖7所示分別為作用下無人兩棲平臺速度曲線以及狀態觀測器對等效干擾的觀測效果，從另一方面說明了可有效實現無人兩棲平臺對預定路徑的穩定跟蹤。

7 結論

本文研究了輸入飽和影響下的無人兩棲平臺路徑跟蹤控制問題，得到了以下3點結論：

1) 對實際控制輸入進行轉換，將其分解為不受限的理想控制輸入和執行機構無法響應的控制輸入兩部分，并將執行機構無法響應的部分視為等效干擾，此等效干擾可與真實外界干擾及模型不確定性合并處理，有效簡化了控制器的制定過程；

2) 經過實際控制輸入轉換，可將原系統視為不受限的理想輸入控制下的標稱系統受到等效干擾的影響，針對此干擾影響下的標稱系統可應用多種方法進行控制器設計，增加了控制器設計的靈活性；

3) 基于標稱系統文中應用LOS引導律及反步控制設計路徑跟蹤控制器，并應用干擾觀測器對等效干擾進行估計和補償，有效解決了路徑跟蹤控制問題。